第4章 自主數(shù)學(xué)建模的結(jié)題報告 北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊課件

第四章§1自主數(shù)學(xué)建模的結(jié)題報告【內(nèi)容概述】數(shù)學(xué)建?；顒邮菍ΜF(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決問題的過程.主要包括:在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,分析問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,確定參數(shù)、計(jì)算求解,檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型,最終解決實(shí)際問題.數(shù)學(xué)建?；顒邮腔跀?shù)學(xué)思維運(yùn)用模型解決實(shí)際問題的一類綜合實(shí)踐活動,是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容.【數(shù)學(xué)建?！繑?shù)學(xué)建?；顒拥幕具^程如下:數(shù)學(xué)探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學(xué)問題,開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程.具體表現(xiàn)為:發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題,猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論,提出解決問題的思路和方案,通過自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論.數(shù)學(xué)探究活動是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實(shí)踐活動,也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容.本專題在必修課程和選擇性必修課程的基礎(chǔ)上,通過具體實(shí)例,建立一些基于數(shù)學(xué)表達(dá)的經(jīng)濟(jì)模型和社會模型,包括存款貸款模型、投入產(chǎn)出模型、經(jīng)濟(jì)增長模型、凱恩斯模型、生產(chǎn)函數(shù)模型、等級評價模型、人口增長模型、信度評價模型等.在教學(xué)活動中,要讓學(xué)生知道這些模型形成的背景、數(shù)學(xué)表達(dá)的道理、模型參數(shù)的意義、模型適用的范圍,提升數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象素養(yǎng);知道其中的有些模型(以及模型的衍生)獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎的理由,理解數(shù)學(xué)的應(yīng)用,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,提升實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力.【數(shù)學(xué)建模實(shí)例】

實(shí)例1

設(shè)計(jì)的最優(yōu)化問題[問題情境]如圖,高新區(qū)某居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所,它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為400m2的十字形地域.計(jì)劃在正方形MNPQ上建一座花壇,造價為8400元/m2;在四個相同的矩形(圖中陰影部分)上鋪花崗巖地坪,造價為420元/m2;再在四個空角(圖中四個三角形)上鋪草坪,造價為160元/m2.設(shè)總造價為y(單位:元),AD長為x(單位:m).(1)用x表示AM的長度,并求x的取值范圍;(2)當(dāng)x為何值時,總造價y最小?并求出這個最小值.[分析]本題涉及如何進(jìn)行設(shè)計(jì)可以達(dá)到效益的最大化,只需根據(jù)題目的條件建立相應(yīng)的函數(shù)模型然后求解模型即可.(1)根據(jù)已知條件,結(jié)合矩形的面積公式,以及AM>0,即可求解;(2)根據(jù)已知條件,結(jié)合基本不等式,即可求解.實(shí)例2

鞋子尺碼問題[情境]

網(wǎng)上購鞋常常看到下面的表格.腳長與鞋號對應(yīng)表腳長a/mm220225230235240245250255260265鞋號b34353637383940414243請解決下面的問題:(1)找出滿足表中對應(yīng)規(guī)律的計(jì)算公式,通過實(shí)際腳長a計(jì)算出鞋號b;(2)根據(jù)計(jì)算公式,計(jì)算30號童鞋所對應(yīng)的腳長是多少?(3)如果一個籃球運(yùn)動員的腳長為282mm,根據(jù)計(jì)算公式,他該穿多大號的鞋?[分析]

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的一個基本表現(xiàn),就是能夠針對具體的數(shù)據(jù),選擇合適的數(shù)學(xué)模型表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系,解決實(shí)際問題.[解](1)構(gòu)建數(shù)據(jù)表,利用計(jì)算工具的電子表格作出散點(diǎn)圖,選擇幾種函數(shù)模型進(jìn)行擬合;對比擬合結(jié)果,發(fā)現(xiàn)線性函數(shù)的擬合效果最好,進(jìn)而確定計(jì)算公式是一個線性模型,最后確定模型中的參數(shù),如表所示.a220225230235240245250255260265b34353637383940414243然后建立關(guān)系式b=0.2a-10.(2)令b=30,代入公式b=0.2a-10,得a=200,腳的長度為200mm.(3)當(dāng)a=282時,代入公式b=0.2a-10,解得b=46.4,所以分兩種情況:如果簡單地進(jìn)行“四舍五入”,那么選46號鞋;如果想穿鞋不擠腳,可以選47號鞋.【跟蹤訓(xùn)練】

[情境]

為了實(shí)現(xiàn)綠色發(fā)展,避免浪費(fèi)能源,某市政府計(jì)劃對居民用電采用階梯收費(fèi)的方法.為此,相關(guān)部門在該市隨機(jī)調(diào)查了200戶居民六月份的用電量(單位:kW·h),以了解這個城市家庭用電量的情況.數(shù)據(jù)如下:10710178992081277422331131214135896660115189135146127203979662651115615110681629167932121596163178194194216101981397811019210596225013825112011210020198841372032601341566170100721641741319310016380769515218288247191701304911411016320226518941461491471773395710910718210114827428982213165224142611081379025420183253113130821701101086325023712084154288170123172319621331301271077196140771061321061351321678225854251107699872481091342504232011318014411653020017413516046213913330419128312113211813412417820662612027414180187883241364981697757根據(jù)以上數(shù)據(jù),應(yīng)當(dāng)如何確定階梯電價中的電量臨界值,才能使得電價更為合理?[分析]

選取六月份調(diào)查,是因?yàn)檫@個城市六月份的部分時間需要使用空調(diào),因此六月份的用電量在一年12個月中處于中等偏上水平.如果階梯電價臨界值的確定依賴于居民月用電量的分布,例如計(jì)劃實(shí)施3階的階梯電價,有人給出一個分布如下:75%用戶在第一檔(最低一檔),20%用戶在第二檔,5%用戶在第三檔(最高一檔).這樣,需要通過樣本數(shù)據(jù)估計(jì)第一檔與第二檔、第二檔與第三檔的兩個電量臨界值,即75%和95%這兩個電量臨界值.通過樣本估計(jì)總體百分位數(shù)的要領(lǐng)是對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行排序,得到有序樣本(在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱之為順序統(tǒng)計(jì)量).[解]利用電子表格軟件,對上面的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行排序,可以得到下面的結(jié)果:81822314248495051565757606161616262636365666769707071727274767777787880808282828384848888899091939394959696969798989899100100100101101101105106106106107107107107108108109109110110110111112113113114115116118120120120121123124127127127130130130131131132132132133133134134134135135135135136137137138139139140141142144146146147148149151152154156159160162163163164165167169170170172174174177178178180182182187189191191192194194200201201202203203206208212213214216223224237247250250251253254258260265274274283288289304319320324339462498530542626樣本數(shù)據(jù)總共有200個,最小值是8,最大值是626,說明200戶居民六月份的最小用電量為8kW·h,最大用電量為626kW·h,極差為618.因?yàn)閿?shù)據(jù)量是200,所以這組數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)就是有序樣本第100個數(shù)130和第101個數(shù)130的平均數(shù),即130,說明這個城市六月份居民用電量的中間水平大約在130kW·h.下面確定75%和95%這兩個電量臨界值.類似中位數(shù)的計(jì)算,因?yàn)?00×75%=150,所以第一個臨界值為有序樣本中第150個數(shù)178和第151個數(shù)178的平均數(shù),仍然是178.因?yàn)?00×95%=190,所以第二個臨界值為有序樣本中第190個數(shù)289和第191個數(shù)304的平均數(shù),這個平均數(shù)為296.5(因?yàn)槭菍Π俜治粩?shù)的估計(jì),為了便于操作可以取值為297).依據(jù)確定了的電量臨界值,階梯電價可以規(guī)定如下:用戶每月用電量不超過178kW·h(或每年用電量不超過2136kW·h),按第一檔電價標(biāo)準(zhǔn)繳費(fèi);每月用電量(單位:kW·h)在區(qū)間(178,297]內(nèi)(或每年用電量在區(qū)間(2136,3564]內(nèi)),其中的178kW·h按第一檔電價標(biāo)準(zhǔn)