第1章 5數(shù)學(xué)歸納法 北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊課件

第1章§5數(shù)學(xué)歸納法基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)列中的命題.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點

數(shù)學(xué)歸納法的定義數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法.它的基本步驟是:不要誤以為n0=1(1)證明:當(dāng)n取第一個值n0(n0是一個確定的正整數(shù),如n0=1或2等)時,命題成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥n0)時命題成立,證明當(dāng)n=k+1時,命題也成立.根據(jù)(1)(2)可以斷定命題對一切從n0開始的正整數(shù)n都成立.名師點睛數(shù)學(xué)歸納法中的兩個步驟之間的關(guān)系記P(n)是一個關(guān)于正整數(shù)n的命題.可以把用數(shù)學(xué)歸納法證明的形式改寫如下:條件:(1)證P(n0)為真;(2)證若P(k)(k∈N+,k≥n0)為真,則P(k+1)也為真,結(jié)論:P(n)為真.第一步驗證了當(dāng)n=n0時結(jié)論成立,即命題P(n0)為真;第二步是證明一種遞推關(guān)系,實際上是要證明一個新命題:若P(k)為真,則P(k+1)也為真.只要將這兩個步驟完成,就有P(n0)為真,P(k)真,P(k+1)真……,從而完成證明.思考辨析1.數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值是否一定為1?提示

不一定.如證明n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°,第一個值n0=3.2.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為

n(n-3)條時,第一步應(yīng)驗證n的值是多少?提示

n=4.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)在利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時,只要推理過程正確,也可以不用歸納假設(shè).(

)(2)與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法.(

)(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時,由n=k到n=k+1,等式的項數(shù)一定只增加了一項.(

)×××2.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+(2n-1)+2n=2n-1+(n∈N+)的過程中,由n=k遞推到n=k+1時,左邊增加的項數(shù)為

.

2k

解析

左邊增加的項為(2k+1)+(2k+2)+…+2k+1,共2k+1-2k=2k項.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一對數(shù)學(xué)歸納法原理的理解【例1】

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2n>(n+1)2(n∈N+)時,初始值n0應(yīng)等于

.

6解析

由題意,當(dāng)n=1時,21<(1+1)2;當(dāng)n=2時,22<(2+1)2;當(dāng)n=3時,23<(3+1)2;當(dāng)n=4時,24<(4+1)2;當(dāng)n=5時,25<(5+1)2;當(dāng)n=6時,26>(6+1)2,所以用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2n>(n+1)2(n∈N+)時,初始值n0應(yīng)等于6.★(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)的過程如下:①當(dāng)n=1時,左邊=1,右邊=21-1=1,等式成立.②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,則當(dāng)n=k+1時,1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1,所以當(dāng)n=k+1時等式也成立.由此可知對于任意正整數(shù)n等式都成立.上述證明,錯誤是

.

未用歸納假設(shè)

解析

本題在由n=k成立證明n=k+1成立時,應(yīng)用了等比數(shù)列的求和公式,而未用上歸納假設(shè),這與數(shù)學(xué)歸納法的要求不符.規(guī)律方法

數(shù)學(xué)歸納法的三個注意點(1)驗證是基礎(chǔ):找準(zhǔn)起點,奠基要穩(wěn),有些問題中驗證的初始值不一定是1.(2)遞推是關(guān)鍵:數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)在于遞推,要正確分析式子中項數(shù)的變化,弄清式子兩邊的構(gòu)成規(guī)律.(3)利用假設(shè)是核心:在第二步證明n=k+1所對應(yīng)的命題時,一定要利用歸納假設(shè).A.過程全部正確 B.n=1驗證不正確C.歸納假設(shè)不正確 D.從n=k到n=k+1的推理不正確D解析

在證明n=k+1所對應(yīng)的命題時,沒有應(yīng)用n=k時的歸納假設(shè),不是數(shù)學(xué)歸納法.探究點一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式規(guī)律方法

用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時,應(yīng)關(guān)注以下三點(1)弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況;(2)弄清從n=k到n=k+1等式兩端增加了哪些項,減少了哪些項;(3)證明n=k+1時結(jié)論也成立,要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系,并朝n=k+1證明目標(biāo)的表達式變形.探究點三用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式規(guī)律方法

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四個關(guān)鍵

探究點四用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題【例4】

已知數(shù)列{an},a1=1,an+1=(n=1,2,3,…).(1)求a2,a3,a4,a5;(2)猜想數(shù)列{an}的通項公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.

規(guī)律方法

“歸納—猜想—證明”的一般步驟

(1)求a2,a3,a4的值;(2)猜想an的表達式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)數(shù)學(xué)歸納法證明等式.(2)數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.(3)數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題.2.方法歸納:數(shù)學(xué)歸納法.3.常見誤區(qū):n的第一個取值不正確;當(dāng)n=k+1時,添加的式子不正確.學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)123451.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N+),驗證n=1時,左邊應(yīng)取的項是(

)A.1 B.1+2C.1+2+3 D.1+2+3+4D解析

當(dāng)n=1時,左邊=1+2+3+4.12345D1234512345(k2+1)+(k