1.7.1定積分的簡單應(yīng)用(李用)

1、,1.7.1定積分的簡單應(yīng)用,定積分在幾何中的應(yīng)用,1.平面圖形的面積:,其中F(x)=f(x),2.微積分基本定理:,一、復(fù)習(xí),因?yàn)閒(x)在a,b內(nèi)連續(xù)是f(x)的一個原函數(shù).又F(x)是f(x)的原函數(shù)，F(xiàn)(x)=+C.在上式中令x=a,則由得到C=F(a)移項(xiàng)得令即得,證明：,x=a、x=b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。,=-S,=s,3.定積分的幾何意義:,類型一.求由一條曲線y=f(x)和直線x=a,x=b(ab)及x軸所圍成平面圖形的面積S,練習(xí).求拋物線y=x2-1，直線x=2，y=0所圍成的圖形的面積。,解：如圖：由x2-1=0得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,0)，(1,

2、0).所求面積如圖陰影所示：,所以：,類型一：由一條曲線和直線所圍成平面圖形的面積的求解,類型2：由兩條曲線y=f(x)和y=g(x)，直線x=a,x=b(ab)所圍成平面圖形的面積S,注：,解:作出y2=x,y=x2的圖象如圖所示:,即兩曲線的交點(diǎn)為(0,0),(1,1),兩曲線圍成的平面圖形的面積的計算,求兩曲線圍成的平面圖形的面積的一般步驟:,(1)作出示意圖;(弄清相對位置關(guān)系),(2)求交點(diǎn)坐標(biāo);(確定積分的上限,下限),(3)確定積分變量及被積函數(shù);,(4)列式求解.,解:,兩曲線的交點(diǎn),直線與x軸交點(diǎn)為(4,0),S1,S2,X型求解法,Y型求解法,解:,兩曲線的交點(diǎn),練習(xí),解:

3、,兩曲線的交點(diǎn),于是所求面積,說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式,練習(xí),練習(xí)3,解,所圍成的圖形如圖所示：,平面圖形的面積。,則,y,o,x,2,-2,練習(xí)4計算：由曲線,曲邊梯形的面積,直線,和,軸所圍成的,=,-,解:,練習(xí)5如圖所示由,和,所圍圖形的,面積是多少？,y,o,x,2,-2,-4,解:,B,D,C,A,-,-,定積分在物理中的應(yīng)用,設(shè)做變速直線運(yùn)動的物體運(yùn)動的速度v=v(t)0，則此物體在時間區(qū)間a,b內(nèi)運(yùn)動的距離s為,一、變速直線運(yùn)動的路程,解：由速度時間曲線可知：,例題,法二：由定積分的幾何意義，直觀的可以得出路程即為如圖所示的梯形的面積，即,二、變力沿直線所作的功,1

4、、恒力作功,2、變力所做的功,問題：物體在變力F(x)的作用下做直線運(yùn)動，并且物體沿著與F(x)相同的方向從x=a點(diǎn)移動到x=b點(diǎn)，則變力F(x)所做的功為:,例2:如圖：在彈性限度內(nèi)，將一彈簧從平衡位置拉到離水平位置l米處，求克服彈力所作的功,解：在彈性限度內(nèi)，拉伸（或壓縮）彈簧所需的力(x)與彈簧拉伸（或壓縮）的長度x成正比,即：F(x)=kx,所以據(jù)變力作功公式有,例題,練一練,1.設(shè)彈簧在1N力的作用下伸長0.01米，要使彈簧伸長0.1米，需作多少功？,解,如圖：建立直角坐標(biāo)系。,因?yàn)閺椓Φ拇笮∨c彈簧的伸長（或壓縮）成正比，即,比例系數(shù),已知,代入上式得,從而變力為,所求的功,練一練4

5、一點(diǎn)在直線上從時刻t=0(s)開始以速度v=t2-4t+3(m/s)運(yùn)動,求:(1)在t=4s的位移;(2)在t=4s運(yùn)動的路程.,t=4s時刻該點(diǎn)距出發(fā)點(diǎn)4/3m(2)t=4s時刻運(yùn)動的路程為4,設(shè)物體運(yùn)動的速度v=v(t)(v(t)0)，則此物體在時間區(qū)間a,b內(nèi)運(yùn)動的路程s為,1、變速直線運(yùn)動的路程,2、變力沿直線所作的功,物體在變力F(x)的作用下做直線運(yùn)動，并且物體沿著與F(x)相同的方向從x=a點(diǎn)移動到x=b點(diǎn)，則變力F(x)所做的功為:,小結(jié),通一類,1一點(diǎn)在直線上從時刻t0(單位：s)開始以速度vt24t3(單位：m/s)運(yùn)動，求：(1)在t4s時的位置；(2)在t4s時運(yùn)動的

6、路程,1、一物體在力F(x)=3x+4(單位:N)的作用下,沿著與力F相同的方向,從x=0處運(yùn)動到x=4處(單位:m),求F(x)所作的功.,練一練,40J,2.一物體沿直線以v=2t+3(t的單位為s,v的單位為m/s)的速度運(yùn)動,求該物體在35s間行進(jìn)的路程.,練習(xí)：A、B兩站相距7.2km,一輛電車從A站開往B站,電車開出ts后到達(dá)途中C點(diǎn),這一段的速度為1.2t(m/s),到C點(diǎn)的速度為24m/s,從C點(diǎn)到B點(diǎn)前的D點(diǎn)以等速行駛,從D點(diǎn)開始剎車,經(jīng)ts后,速度為(24-1.2t)m/s,在B點(diǎn)恰好停車,試求:（1）A、C間的距離;（2）B、D間的距離;（3）電車從A站到B站所需的時間。

7、,略解:(1)設(shè)A到C的時間為t1則1.2t=24,t1=20(s),則AC,(2)設(shè)D到B的時間為t2則24-1.2t2=0,t2=20(s),則DB,例2：一個帶+q電量的點(diǎn)電荷放在r軸上坐標(biāo)原點(diǎn)處，形成一個電場，已知該電場中，距離坐標(biāo)原點(diǎn)為r處的單位電荷受到的電場力由公式：確定，在該電場中，一個單位正電荷在電場力作用下，沿著r軸方向從r=a到r=b（a4時，P點(diǎn)向x軸負(fù)方向運(yùn)動故t6時，點(diǎn)P移動的路程,悟一法,例2設(shè)有一長25cm的彈簧，若加以100N的力，則彈簧伸長30cm，又已知彈簧伸長所需要的拉力與彈簧的伸長量成正比，求使彈簧由25cm伸長到40cm所做的功,通一類,2在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體，在等溫條件下，由于氣體的膨脹，把容器中的一個活塞(面積為S)從點(diǎn)a處推到點(diǎn)b處，計算在移動過程中，氣體壓力所做的功,做變速直線運(yùn)動的物體的速度為v(t)4t2，求t0到t3時經(jīng)過的路程,設(shè)物體運(yùn)動的速度v=v(t)(