平面向量中范圍最值等綜合問題玩轉(zhuǎn)壓軸題突破140分之高三數(shù)學(xué)選填題高端精品

1、一方法綜述平面向量中的最值與范圍問題是一種典型的能力考查題，能有效地考查學(xué)生的思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)潛能，能綜合考察學(xué)生分析問題和解決問題的能力，體現(xiàn)了高考在知識點交匯處命題的思想，是高考的熱點，也是難點，其基本題型是根據(jù)已知條件求某個變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍的等，解決思路是建立目標函數(shù)的函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，同時向量兼顧“數(shù)”與“形”的雙重身份，所以解決平面向量的范圍、最值問題的另外一種思路是數(shù)形結(jié)合二解題策略類型一 與向量的模有關(guān)的最值問題【例1】【2018河北定州中學(xué)模擬】設(shè)向量滿足， ， ，則的最大值等于（ ）A. 4 B. 2 C. D. 1【答

2、案】A【指點迷津】由已知條件得四點共圓是解題關(guān)鍵，從而轉(zhuǎn)化為求外接圓直徑處理.【舉一反三】1、【2018遼寧沈陽東北育才學(xué)模擬】在中， ，點是邊上的動點，且,，則當取得最大值時， 的值為（ ）A. B. 3 C. D. 【答案】D 2、【2018湖南長沙市長郡中學(xué)模擬】已知向量滿足： ，且，若，其中， 且，則的最小值是_【答案】【解析】，且，當時， ， ，又且，當且僅當時取“=”， 的最小值是，故答案為.3、【2018浙東北聯(lián)盟聯(lián)考】已知向量，滿足， ，若，則的最大值為_，最小值為_【答案】 4 【解析】設(shè)， ，即， ，由二次函數(shù)性質(zhì)可得， ， ，最大值為，最小值為，故答案為， .類型二 與向

3、量夾角有關(guān)的范圍問題【例2】已知向量與的夾角為，時取得最小值，當時，夾角的取值范圍為_.【分析】將表示為變量的二次函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值問題，當時，取最小值，由已知條件，得關(guān)于夾角的不等式，解不等式得解【指點迷津】求變量的取值范圍、最值，往往要將目標函數(shù)用某個變量表示，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，期間要注意變量之間的關(guān)系，進而得解【舉一反三】1、非零向量滿足=，則的夾角的最小值是 【答案】【解析】由題意得，整理得，即，夾角的最小值為2、已知向量=（2，1），=（，1），則與的夾角為鈍角時，的取值范圍為（ ）A. B. C. 且2 D. 無法確定【答案】C【解析】與的夾角為鈍角，=210，解

4、得，又當=2時，滿足向量，且反向，此時向量的夾角為180，不是鈍角，故的取值范圍為，且2.故選C.類型三 與向量投影有關(guān)的最值問題【例3】設(shè)， ， ，且，則在上的投影的取值范圍( )A. B. C. D. 【答案】D當時， 當故當時， 取得最小值為，即當時， ，即綜上所述故答案選【指點迷津】由已知求得及，代入投影公式，對分類后利用二次函數(shù)求最值，在分類討論時需要討論完整，不要漏掉哪種情況，討論完可以檢查下是否把整個實數(shù)全部取完?！九e一反三】1、已知的外接圓的圓心為，半徑為2，且，則向量在向量方向上的投影為( )A. 3 B. C. -3 D. 【答案】B本題選擇B選項.2、【2018福建省閩侯

5、第六中學(xué)模擬】設(shè)， 且， 則在上的投影的取值范圍（ ）A. B. C. D. 【答案】D 法2：不妨設(shè)為坐標原點， ， ，則，也就是.而在上的投影為.令，如果，則，所以也就是，所以；當時， ；當時， ，所以也就是，所以.綜上， 的取值范圍為.類型四 與平面向量數(shù)量積有關(guān)的最值問題【例4】【2018廣州華南師范大學(xué)附中模擬】如圖，半徑為1的扇形中， ， 是弧上的一點，且滿足， 分別是線段上的動點，則的最大值為（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】C【指點迷津】平面向量數(shù)量積的求法有：定義法；坐標法；轉(zhuǎn)化法；其中坐標法是同學(xué)們最容易忽視的解題方法，要倍加注視，若有垂直或者容易出現(xiàn)垂直的背景可建

6、立平面直角坐標系，利用坐標法求解.【舉一反三】1、【2018福建莆田市第二十四中學(xué)模擬】已知正方形的邊長為，點是邊上的動點，則的最大值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A 2、【2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬】在平面內(nèi)， ，動點， 滿足， ，則的最大值是A. 3 B. 4 C. 8 D. 16【答案】D【解析】由，得.所以是等邊三角形，設(shè)的邊長為，則，得.以BC為x軸,以BC的中垂線為y軸建立坐標系,則，由，得點P滿足： .則為PC的中點，設(shè)，則，滿足： ，整理得： ，即點M在以為圓心，1為半徑的圓上，則的最大值是圓心到B的距離加半徑： .故選B.3、【2008云南大理市云南師范大學(xué)附屬中學(xué)模

7、擬】已知圓O的半徑為2，是圓上任意兩點，且，是圓的一條直徑，若點滿足OC=(-1)OP+OQ（），則的最小值為（ ）A. -1 B. -2 C. -3 D. -4【答案】C類型五 平面向量系數(shù)的取值范圍問題【例5】【2018遼寧沈陽市四校協(xié)作體聯(lián)考】在矩形中， 動點在以點為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A圓的方程為（x1）2+（y2）2=，設(shè)點P的坐標為（cos+1， sin+2），（cos+1， sin+2）=（1，0）+（0，2）=（，2），cos+1=， sin+2=2，+=cos+sin+2=sin（+）+2，其中tan=2，1sin（+）1

8、，1+3，故+的最大值為3，故選：A【指點迷津】（1）向量的運算將向量與代數(shù)有機結(jié)合起來，這就為向量和函數(shù)的結(jié)合提供了前提，運用向量的有關(guān)知識可以解決某些函數(shù)問題；（2）以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題；（3）向量的兩個作用：載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題；工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題.【舉一反三】1、【2018重慶第一中學(xué)模擬】給定兩個單位向量， ，且，點在以為圓心的圓弧上運動， ，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B因為， 所以有最小值-1.故選B

9、2、【2018四川德陽聯(lián)考】已知點A在線段BC上（不含端點），O是直線BC外一點，且,則的最小值是_【答案】 3、【2018湖北鄂東南省級示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟】已知，點在內(nèi)，且與的夾角為，設(shè)，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如圖所示，建立直角坐標系由已知，則 故選B 類型六 平面向量與三角形四心的結(jié)合【例6】【2018全國名校大聯(lián)考】已知的三邊垂直平分線交于點， 分別為內(nèi)角的對邊，且，則的取值范圍是_【答案】【指點迷津】平面向量中有關(guān)范圍最值問題的求解通常有兩種思路：“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接

10、進行判斷；“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決【舉一反三】1、【2018河北武邑中學(xué)調(diào)研】在中， ， ，若為外接圓的圓心（即滿足），則的值為_.【答案】8【解析】設(shè)BC的中點為D，連結(jié)OD,AD，則，則：2、【2018江西南昌市第二中學(xué)模擬】如圖，O為ABC的外心，為鈍角，是邊的中點，則的值為（ ）A. 4 B. 5 C. D. 7【答案】B 3、【河南省洛陽市2018屆高三上學(xué)期尖子生第一次聯(lián)考】已知點是銳角三角形的外心，若（， ），則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】O

11、是銳角ABC的外心，O在三角形內(nèi)部，不妨設(shè)銳角ABC的外接圓的半徑為1，又，|=| |，可得=+2mn，而=|cosA0B|=1.1=+2mn+2mn， 1，如果 1則O在三角形外部，三角形不是銳角三角形， 1，故選：C.三強化訓(xùn)練1【2018湖南五市十校聯(lián)考】在中， ， ，點是所在平面內(nèi)一點，則當取得最小值時， （ ）A. B. C. D. 24【答案】D 2. 【2018山西芮城中學(xué)模擬】長度都為的向量， 的夾角為，點在以為圓心的圓?。踊。┥?， ，則的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】=m+n，2=（m+n）2，即，即m2+n2+mn=1，故，（當且僅當m=n時，等

12、號成立）；故，故的最大值為，故答案為： 3. 【遼寧沈陽交聯(lián)體聯(lián)考】如圖，在扇形中， ， 為弧上且與不重合的一個動點，且，若（）存在最大值，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 4. 【2018云南昆明市高新技術(shù)開發(fā)區(qū)模擬】在等腰梯形中，已知， ， ， ，動點和分別在線段和上，且， ，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】以A為原點，以AB為x軸，以過點A 垂直AB的直線為y軸建立平面直角坐標系，則， ，設(shè)，根據(jù)， ， ，設(shè)， ， ， ， ， ，當時， 取得最小值為，選D.5、【2018吉林實驗中學(xué)模擬】在中，點是的中點，過點的直線分別交直線， 于不同兩

13、點，若， ， 為正數(shù)，則的最小值為A. 2 B. C. D. 【答案】A【解析】 M、O、N三點共線， ， 故選：A6. 【2018遼寧莊河市聯(lián)考】已知直線PA,PB分別于半徑為1的圓O相切于點A,B,PO=2,PM=2PA+(1-)PB 若點在圓O的內(nèi)部（不包括邊界），則實數(shù)的取值范圍是( )A. -1,1 B. C. D. 【答案】B 7、【2018江西南昌三中模擬】在中，點是的三等分點（靠近點B），過點的直線分別交直線， 于不同兩點，若， ， 均為正數(shù)，則的最小值為（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】C 8. 【2018屆高三南京市聯(lián)合體學(xué)校調(diào)研】已知為直線： 上兩動點，且，圓： ,圓上存在點， 使，則線段中點的橫坐標取值范圍為_【答案】【解析】由題，設(shè) ，線段中點 則由已知及余弦定理可得 ，即 又 ，兩邊平方 解得 ，即 ，則 ，即 即答案為9. 【2018四川成都市第七中學(xué)模擬】中， 是斜邊上一點，且滿足： ，點在過點的直線上，若則的最小值為_【答案】 10、已知為橢圓上任意一點， 為圓的任意一條直徑，則的取值范