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1、高三數(shù)學(xué)不等式高考復(fù)習(xí)二:不等式的證明人教實(shí)驗(yàn)B版(理)【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容:不等式高考復(fù)習(xí)二:不等式的證明二. 教學(xué)目的掌握不等式證明的方法與技巧三. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)不等式的證明方法四. 知識分析【不等式證明的方法技巧】方法一用比較法證明不等式比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是兩個實(shí)數(shù)大小順序和運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用,包括作差法和作商法。作差法的一般步驟為“作差變形判斷符號”。其中變形是作差法的關(guān)鍵,配方和因式分解是常用的變形手段,為了便于判斷“差式”的符號,常將“差式”變形為一個常數(shù)、一個常數(shù)與幾個平方和或幾個因式的積的形式,當(dāng)所得的“差式”是某個字母的二次三項式時,
2、則常用判別式法判斷符號。作商法的一般步驟為“作商變形判斷商與數(shù)1的大小關(guān)系”。一般地,證冪、指數(shù)不等式,常用作商法,證對數(shù)不等式,常用作差法。當(dāng)“差”或“商”式中含有字母時,一般需對字母的取值進(jìn)行分類討論。例 若,求證:。證明證法一:當(dāng)時,=。,。,。若,則=。,。,故原不等式成立。證法二:此題也可用作商法。即,。方法二用綜合法證明不等式用綜合法證明不等式中所依賴的不等式主要是重要不等式。要掌握重要不等式及其變形形式,一般說來,當(dāng)條件中信息量較大,不易于推理,或要證不等式與重要不等式相差較明顯時,用綜合法證明不等式。例 設(shè)、b、c,求證:。證明,。于是,同理,三式相加即得:。方法三用分析法證明
3、不等式用分析法證明不等式要把握三點(diǎn): 1. 尋找使不等式成立的充分條件時,往往是先尋找使不等式成立的必要條件,再考慮這個必要條件是否充分。 2. 分析法和綜合法要結(jié)合起來使用,也就是“兩頭湊”,會使問題較易解決。 3. 分析法的敘述較繁瑣,且不易看懂,往往是用分析法探尋思路,用綜合法敘述證明過程。一般來說,如果已知條件信息量較小,或已知與待證間的直接聯(lián)系不明顯,“距離”較大,用分析法來證明。例 已知正數(shù)a、b、c滿足,求證:。證明要證,只需證,也就是只要證,兩邊都是非負(fù)數(shù),只要證,也就是只要證,即只要證。,只需證。這就是已知條件,且以上各步都可逆,證得。方法四用反證法證明不等式用反證法證明不等
4、式,常從否定結(jié)論出發(fā)通過邏輯推理,導(dǎo)出矛盾,從而肯定命題成立。但要注意對結(jié)論的反面要一一否定,不能遺漏,方能得出原不等式成立。例 已知a、b、c,求證:、不能同時大于。證明證法一:假設(shè)三式同時大于即有,。三式同向相乘,得。又,同理,因此與假設(shè)矛盾,原命題正確。證法二:假設(shè)三式同時大于。,。同理都大于。三式相加,得,矛盾,原命題成立。方法五換元法證明不等式 1. 代換變換多以三角代換出現(xiàn),把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題,利用三角函數(shù)的性質(zhì),使問題得到證明。 2. 根據(jù)具體問題,實(shí)施的代換方法有:(1)若,可設(shè)。(2)若,可設(shè)。(3)對于,由或知,可設(shè)或。(4)對于,可設(shè)或。(5)對于,由或知,可設(shè)
5、或。(6)若,可設(shè),。例 若,求證:。證明,所以可設(shè)且。=。方法六放縮法證明不等式例 設(shè),當(dāng)時,總有,求證:。證明,。又,。方法七判別式法證明不等式例 設(shè),且。求證:。證明,而,、為方程的兩實(shí)根,而,故方程有均大于c的兩不等實(shí)根。設(shè),則方法八用函數(shù)法證明不等式例 試證。證明令,令,在,單調(diào)遞增,即?!镜湫屠}】例1 若x、y、z,a、b、c,求證:。剖析:本小題考查運(yùn)用比較法和綜合法證明不等式。證明:證法一:,。證明二:=,。點(diǎn)悟:上述配方技巧的實(shí)現(xiàn)關(guān)鍵在于合理的分項。例2 已知0,。求證:。剖析:本小題考查綜合法的應(yīng)用。證明:證法一:。當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號。證法二:,。當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號。
6、點(diǎn)悟:在本題中,與取等號的條件是一致的,即,否則最終的等號不能取到。注意“1”的靈活運(yùn)用。例3 已知a、b、m都是正數(shù),并且,求證:。剖析:本小題考查不等式證明方法的靈活運(yùn)用。證明:證法一:(商值比較法),從而,。證法二:(換元法)設(shè),則。證法三;(函數(shù)單調(diào)性法)作輔助函數(shù)。函數(shù)在上單調(diào)遞增,又,即。證法四:(放縮法)a、b、m,且,。點(diǎn)悟:該題證明方法多種多樣,需在學(xué)習(xí)過程中熟練掌握、及時歸納。例4 (2020全國II)已知函數(shù),。(1)求函數(shù)的最大值;(2)設(shè),證明。剖析:本小題考查函數(shù)不等式的綜合應(yīng)用。解析:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?。令,解得。?dāng)時,;當(dāng)時,。又,故當(dāng)且僅當(dāng)時,取得最大值,最
7、大值為0。(2)證法一:。由(1)結(jié)論知,由題設(shè),得0,因此。又,。證法二:,設(shè),則。當(dāng)時,因此在上為減函數(shù);當(dāng)時,因此在上為增函數(shù)。當(dāng)時,有極小值。=0,。設(shè),則當(dāng)。因此在上為減函數(shù)。,即。點(diǎn)悟:本題難度較大,它將函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)等知識融于一題,入手雖較易,但卻不易得證。而利用第一問的結(jié)論來推證第二問的不等式是突破第二問的重要信息?!疽族e題剖析】易錯題一 已知,求證:。解題思路:,故。失分警示:同學(xué)們常出現(xiàn)下面的錯誤證法:,以上三式相加得,從而證不出所要證的不等式。錯誤原因是三個等號同時成立的條件不具備。易錯題二 已知a、b、c,求證:。解題思路:a、b、c,同理,+得,即。失分警示:誤區(qū)
8、:a、b、c,又,得。上面的證明似乎天衣無縫,但細(xì)心者不難發(fā)現(xiàn),在證明的過程中用到的論據(jù)之一“若0,則”是虛假的,事實(shí)上,舉一反例就可發(fā)現(xiàn)它是一假命題,例如有,而。因此,原題的真實(shí)性仍無法判定。在不等式證明中,經(jīng)常會出現(xiàn)與此題類似的錯誤,即用一個錯誤的命題去說明某個結(jié)論成立,這種證明顯然沒有意義,當(dāng)然防止此錯誤的發(fā)生也并不是一件很簡單的事情,要求對不等式的性質(zhì)非常熟悉,才能做到證明時證據(jù)充足。易錯題三 已知不等式對大于1的自然數(shù)n都成立,求證:實(shí)數(shù)a的取值范圍為。解題思路:設(shè),則。所以,即是關(guān)于的遞增函數(shù)。所以,所以原不等式可化為。整理得解得,所以就是所求。失分警示:因?yàn)?,所以原不等式為?;?/p>
9、得解得。所以就是所求。上述解法由的放縮是不合理的,使不等式范圍變大了。易錯題四 設(shè),n為偶數(shù),證明:。解題思路:(1)當(dāng),時,。所以,故。(2)當(dāng)、b有一個為負(fù)值時,不妨設(shè)0,且,所以。又n為偶數(shù),所以,又,故,即綜合(1)、(2)知原不等式成立。失分警示:誤區(qū):,因?yàn)闉榕紨?shù),又和同號,故。n為偶數(shù)時,和不一定同號,這里忽略了在題設(shè)條件的情況下,應(yīng)分0、和a、b中有一個負(fù)值兩種情況加以討論。【模擬試題】(答題時間:40分鐘)一、選擇題1. 設(shè)P=(m2+1)(n2+4),Q=(mn+2)2(mn),則( )A.PQB.PQC.PQD.PQ 2. 已知為常數(shù),且a與b為正數(shù),則( ) 3. 已知
10、ab0,則在下列不等式中不成立的是( )abbaaabb abbaaaba aabb ()ab1A. B. C. D. 4. 設(shè),則a,b,c的大小關(guān)系是( ) 5. 若0ab1,則( )A.a+b+B.a+b+C.a+b+D.a+b+ 6. 設(shè)且,則( ) 7. 設(shè),那么一定有( ) 8. 設(shè),且,若,則必有( ) 9. 設(shè)mn,x=m4m3n,y=mn3n4,則x、y的大小關(guān)系為( )A.xyB.x=yC.xyD.與m、n的取值有關(guān)二、填空題 10. 若,且,則的最大值是_。11. 設(shè)a0,b0,c0,則的最小值為_. 12. 若且,給出四個式子:,其中代數(shù)式值最大的一個是_。 13. 設(shè)
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