第1章 矢量分析.ppt

1、1.1 矢量及其代數(shù)運算 1.2 圓柱坐標與球坐標 1.3 矢量場* 1.4 標量場* 1.5 亥姆霍茲定理(略） ,第一章 矢量分析與場論,本章主要知識點：,標量,矢量,標量場,矢量場,場,通量 散度,環(huán)量 旋度,方向導數(shù),梯度,高斯散度定理,斯托克斯定理,1.3.2 矢量場的通量及散度,1. 矢量場的通量(Flux),面元矢量：,面元外法線方向,標量積稱為矢量 穿過 的通量。,定義：,矢量場 穿過整個曲面 的通量為：,如果 是一個閉合曲面，則其通量為：,通量是一個積分量。它描繪閉合面內較大范圍內的發(fā)散源的分布情況。若要 描述場中每一個點上源的性質，必須引入新的矢量 散度。,稱此極限為矢量場

2、 在點P處的散度。,設有矢量場 ，在場中任一點P處作 一個包含P點在內的任一閉合曲面 ， 設 所限定的體積為V， 當體積V以任意方式縮向P點（ ）時， 取下列極限:,2.矢量場的散度 （divergence ）,1) 散度定義,記作,定義式,散度的物理意義：從點P單位體積散發(fā)的通量。 它是一個標量，它描述的是場分量沿各自方向上的變化規(guī)律。 直角坐標系中，散度的表達式為：,（1-3-12）,哈 密 頓 算 子,3) 高斯散度定理（Divergence Theorem）,即矢量場 散度的體積分等于該矢量穿過包圍該體積的 封閉曲面的總通量。 散度定理應用：將一個封閉的面積分變成等價的體積分或反之。,

3、【例1-3】在矢量場 中，有一個邊長為1的立方體，它的一個頂點在坐標原點上，如圖示。試求： (1) 矢量場 的散度； (2) 從六面體內穿出的通量，并驗證高斯散度定理。 解：(1) 根據(jù)散度計算公式得， (2) 從單位立方體穿出的通量：,故從立方體內穿出的通量為2，且高斯散 度定理成立，即,1.3.3 矢量場的環(huán)量和旋度,1.環(huán)量定義(Circulation) 設有矢量場 ， 為場中 的一條封閉的有向曲線，則定義矢量場 環(huán)繞閉合路徑 的 線積分為該矢量的環(huán)量，記作,圖 1-14矢量場的環(huán)量,環(huán)量是一標量，反映了閉合曲線內旋渦場的分布情況。要分析每個點附近旋渦源的分布情況，引入旋度。,1) 環(huán)量

4、密度,2. 矢量場的旋度(curl),環(huán)量面密度與 所圍成的面元 的方向有關。在給定點上，不同方向（或路徑），環(huán)量面密度不同。,此極限值就是矢量場在P點沿 方向的環(huán)量面密度。,2）旋度：取環(huán)量面密度最大的矢量，記作： 其模值等于矢量 在給定點處的最大環(huán)量面密度；方向為此時的面元方向 。,旋度表示該矢量場單位面積上的環(huán)量它描述的是場分量沿 著與它相垂直方向上的變化規(guī)律。 旋度的一個重要性質是任意矢量的旋度的散度恒等于零。即：,注：矢量 在圓柱坐標系和球坐標系中的旋度表達式見附錄1 （P237）。,直角坐標系中，旋度的表達式為：,3)斯托克斯定理（Stokes Theorem）,斯托克斯定理完成矢

5、量旋度的面積分與該矢量的線積分之間的互換。,矢量場在閉合曲線 上的環(huán)量等于閉合曲線 所包圍曲面 上旋度的總和。,【例1-4】 已知一矢量場 試求： (1) 該矢量場的旋度； (2) 該矢量場沿半徑為3的四分之一 圓盤邊界的線積分，如圖示，驗證斯托 克斯定理。 解：(1),(2) 矢量沿四分之一圓盤邊界的線積分：,由極坐標與直角坐標的關系得：,可見，斯托克斯定理 成立。,1.4 標量場,本節(jié)要點：考察標量場在空間的分布及變化規(guī)律。 等值面 方向導數(shù) 梯度,1.4.2 方向導數(shù)(Directional Derivative),1. 方向導數(shù)的定義 設P0是標量場=(M)中的一個已知點，從P0出發(fā)沿

6、 某一方向引一條射線l, 在l上P0的鄰近取一點P， ， 如圖1-19所示。,圖 1-19 u沿不同方向的變化率,如果當P趨于P0時， 的極限存在， 則稱此極限為函數(shù)u(P)在點P0處沿l方向的方向導數(shù)，記為,方向導數(shù)是函數(shù) 在點P0處沿l方向對距離的變化率。當 時表示在點p0處沿l方向是增加的，反之就減小。,式中，cos、cos、cos為l方向的方向余弦。,2. 方向導數(shù)的 計算公式 在直角坐標系中，若函數(shù)u=u(x, y, z)在點P0(x0, y0, z0)處可微，則有,例2 求數(shù)量場 在點M(1, 1, 2)處沿 方向的方向導數(shù)。 解：l方向的方向余弦為,而,數(shù)量場在l方向的方向導數(shù)為,在點M處沿l方向的方向導數(shù),1.4.3 標量場的梯度（Gradient）變化率最大的方向,1. 梯度的定義,梯度是一個矢量，其方向為函數(shù)u在點P處變化率為最大的方向；其大小就是這個最大變化率的值。,在直角坐標系中， 梯度用哈密頓微分算子又可以表示為,2. 梯度的性