廣西柳州市鹿寨縣鹿寨中學(xué)2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次月考試題 理（含解析）（通用）

1、廣西柳州市鹿寨縣鹿寨中學(xué)2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次月考試題 理（含解析）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求解出集合，根據(jù)交集定義求得結(jié)果.【詳解】 本題正確選項：【點睛】本題考查集合運算中的交集運算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知均為實數(shù)，若（為虛數(shù)單位），則（ ）A. 0B. 1C. 2D. -1【答案】C【解析】分析】將已知等式整理為，根據(jù)復(fù)數(shù)相等可求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，即：則： 本題正確選項：【點睛】本題考查復(fù)數(shù)相等的定義，涉及簡單的復(fù)數(shù)運

2、算，屬于基礎(chǔ)題.3.某地一所中學(xué)在校初中學(xué)生人數(shù)是在校高中學(xué)生人數(shù)的2倍，教務(wù)處對在校初中和在校高中男女生的人數(shù)分別進(jìn)行了統(tǒng)計，得到如下扇形統(tǒng)計圖，則全校在校男生的人數(shù)是（ ）A. 1700B. 1750C. 1800D. 1850【答案】A【解析】【分析】根據(jù)扇形圖可求得在校高中生人數(shù)和高中男生人數(shù)；再根據(jù)初中生人數(shù)為高中生人數(shù)的倍和初中男生所占比例可求得初中男生人數(shù)，加和得到結(jié)果.【詳解】在校高中生有：名，其中高中男生有：名在校初中生有：名，其中初中男生有：名全校在校男生共有：名本題正確選項：【點睛】本題考查根據(jù)扇形統(tǒng)計圖計算總數(shù)和頻數(shù)的問題，屬于基礎(chǔ)題.4.已知，則的大小關(guān)系是（ ）A.

3、 B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)在上的單調(diào)性即可求得結(jié)果.【詳解】冪函數(shù)在上是減函數(shù) ，即：本題正確選項：【點睛】本題考查利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題，屬于基礎(chǔ)題.5.已知三棱柱的高為2，底面三角形的邊長分別為3，4，5.若球內(nèi)切于三棱柱，其正視圖和俯視圖如圖所示，則其左視圖是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正視圖和俯視圖可知，由球與三個側(cè)面相切即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)球的半徑為，由正視圖、俯視圖可得又球與三棱柱的三個側(cè)面相切，可得其左視圖如選項所示本題正確選項：【點睛】本題考查三視圖判斷問題，屬于基礎(chǔ)題.6.已知等差數(shù)列的公差為2，且，

4、成等比數(shù)列，則的前9項和為（ ）A. 0B. 12C. 72D. 18【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，成等比數(shù)列可得，將等式表示為和公差形式，可求得，利用等差數(shù)列前項和公式求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，即：解得：的前項和為：本題正確選項：【點睛】本題考查等差數(shù)列前項和的計算，關(guān)鍵是利用等比關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于等差數(shù)列首項的方程，解方程求得首項.7.在正方形中，是的中點，與交于點，若，則的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)可知，根據(jù)平面向量基本定理可求得，從而求得和的值，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】在正方形中，可知 ， 本題正確選項：【點睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，關(guān)鍵

5、是利用三角形相似得到.8.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，點是拋物線上一點，點是上一點，且，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由可知是線段靠近點的三等分點；根據(jù)的橫坐標(biāo)可求得點的橫坐標(biāo)，利用，根據(jù)拋物線焦半徑公式可求得結(jié)果.【詳解】由，得是線段靠近點的三等分點由得：，點橫坐標(biāo)為：點的橫坐標(biāo)為： 本題正確選項：【點睛】本題考查拋物線性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠根據(jù)向量的關(guān)系確定點的位置，結(jié)合拋物線焦半徑公式求得結(jié)果.9.一個袋中裝有大小相同的黑球和白球共6個，從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是.現(xiàn)從袋中任意摸出2個球，則得到的都是白球的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案

6、】B【解析】【分析】根據(jù)摸一個球得到黑球的概率求得黑球和白球的數(shù)量，利用古典概型可求得結(jié)果.【詳解】由題意知：黑球有：個，則白球有個所求概率為：本題正確選項：【點睛】本題考查古典概型的概率問題求解，屬于基礎(chǔ)題.10.已知雙曲線的右焦點為，為坐標(biāo)原點，以為圓心、為半徑的圓與軸交于兩點，與雙曲線的一條漸近線交于點，若，則雙曲線的漸近線方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】取的中點，利用點到直線距離公式可求得，根據(jù)可得，從而可求得漸近線方程.【詳解】如圖，取的中點，則為點到漸近線的距離則又為的中點 ，即：故漸近線方程為：本題正確選項：【點睛】本題考查雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵

7、是能夠利用點到直線距離公式和中位線得到之間的關(guān)系.11.已知是上以3為周期的奇函數(shù)，且，則（ ）A. -3B. -2C. -1D. 0【答案】D【解析】【分析】由奇函數(shù)可得且；由周期為可得；利用奇偶性和周期性可求得，進(jìn)而得到；加和得到結(jié)果.【詳解】是上的奇函數(shù) 且又周期，即，又 本題正確選項：【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性的綜合應(yīng)用問題，屬于中檔題.12.在三棱錐中，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取的中點為，由二面角平面角的定義可知；根據(jù)球的性質(zhì)可知若和中心分別為，則平面，平面，根據(jù)已知的長度關(guān)系可求得，在直角三角形中利用

8、勾股定理可求得球的半徑，代入球的表面積公式可得結(jié)果.【詳解】取的中點為由和都是正三角形，得，則是二面角的平面角，即設(shè)球心為，和中心分別為由球的性質(zhì)可知：平面，平面又， ，外接球半徑：外接球的表面積為：本題正確選項：【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用球的性質(zhì)確定球心的大致位置，從而可利用勾股定理求解出球的半徑.二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.若實數(shù)滿足不等式組，則的最小值是_【答案】1【解析】【分析】根據(jù)約束條件畫出可行域，將問題轉(zhuǎn)化為求解在軸截距的最小值；根據(jù)圖象可知當(dāng)過時，截距最小，代入求得結(jié)果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部

9、分所示：將變?yōu)椋簞t求的最小值即為求在軸截距的最小值由圖象平移可知，當(dāng)直線過點時，截距最小則：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查線性規(guī)劃求解最值的問題，關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為在軸截距最小的問題，屬于基礎(chǔ)題.14.已知為等差數(shù)列的前項和，且，若是的最小值，則_【答案】5【解析】【分析】利用等差數(shù)列通項公式和前項和公式可求得和，從而得到通項公式；根據(jù)求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由得：，解得：由得：，解得：由，解得： 本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查等差數(shù)列前項和的最值問題，關(guān)鍵是能夠求出等差數(shù)列的通項公式，從而根據(jù)變號項確定取值.15.若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)最大值是_【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)

10、的單調(diào)減區(qū)間，利用子集思想，即可得到結(jié)果.【詳解】令，即，函數(shù)圖象在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以的最大值為故答案為：【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性的逆用，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題.16.已知函數(shù)有四個零點，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由題意可知是偶函數(shù)，根據(jù)對稱性問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩個交點.【詳解】因為是偶函數(shù)，根據(jù)對稱性，在上有兩個不同的實根，即在上有兩個不同的實根，等價轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩個交點，而，則當(dāng)時，當(dāng)時，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，于是，故故答案為：【點睛】已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題

11、設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：60分17.在四邊形中，.（1）求的大小；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在中利用余弦定理求得，可得，從而求得；（2）根據(jù)三角形和四邊形內(nèi)角和分別求得，；在中利用正弦定理可求得結(jié)果.【詳解】（1）在中

12、，由余弦定理，得：由，得：（2）由（1）得： 在中，由正弦定理得：【點睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問題，屬于基礎(chǔ)題.18.如圖，在直角梯形中，為的中點.將沿折起，使點到達(dá)點的位置，且平面與平面所成的二面角為.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）詳見解析；（2）【解析】【分析】(1)由題意可得故平面，從而得到平面平面(2) 以為坐標(biāo)原點，分別以的方向為軸、軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系求出及平面的法向量，代入公式可得結(jié)果.【詳解】證明：在直角梯形中，由平面幾何的知識，得四邊形為正方形，則又平面，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.解：由得

13、是二面角的平面角，即 .又，所以為正三角形.以為坐標(biāo)原點，分別以的方向為軸、軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系則從而設(shè)平面的一個法向量為，則即，得設(shè)直線與平面所成角為則直線與平面所成角的正弦值.【點睛】用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.19.已知橢圓的左、右焦點分別為，是橢圓上在第二象限內(nèi)的一點，且直線的斜率為.（1）求點的坐標(biāo)；（2）過點作一條斜率為正數(shù)的直線與橢圓從左向右依次交于兩點，是否存在實數(shù)使得？若存在，求出的值；若不存

14、在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，使得【解析】【分析】（1）由和直線的斜率可得方程；代入橢圓方程解方程即可求得點坐標(biāo)；（2）由和點坐標(biāo)得：軸；假設(shè)直線：，代入橢圓方程可求得的范圍和韋達(dá)定理的形式，利用韋達(dá)定理表示出，可整理出，從而可得；結(jié)合軸可知，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】（1）由及直線的斜率為得直線的方程為：代入橢圓方程整理得：解得：或（舍），則：點的坐標(biāo)為（2）由及得：軸設(shè)直線的方程為：代入橢圓方程整理得：由直線與橢圓交于，兩點得：，結(jié)合，解得：由韋達(dá)定理得：，直線和的傾斜角互補，從而結(jié)合軸得：，故綜上所述：存在，使得【點睛】本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用問題，涉及到交點坐標(biāo)的求解、橢

15、圓中滿足某條件的定值問題的求解問題，考查了韋達(dá)定理在直線與橢圓問題中的應(yīng)用問題，對計算能力有一定的要求.20.某區(qū)組織部為了了解全區(qū)科級干部“黨風(fēng)廉政知識”的學(xué)習(xí)情況，按照分層抽樣的方法，從全區(qū)320名正科級干部和1280名副科級干部中抽取40名科級干部預(yù)測全區(qū)科級干部“黨風(fēng)廉政知識”的學(xué)習(xí)情況.現(xiàn)將這40名科級干部分為正科級干部組和副科級干部組，利用同一份試卷分別進(jìn)行預(yù)測.經(jīng)過預(yù)測后，兩組各自將預(yù)測成績統(tǒng)計分析如下表：分組人數(shù)平均成績標(biāo)準(zhǔn)差正科級干部組806副科級干部組704（1）求；（2）求這40名科級干部預(yù)測成績的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差；（3）假設(shè)該區(qū)科級干部的“黨風(fēng)廉政知識”預(yù)測成績服從正態(tài)分

16、布，用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計值.利用估計值估計：該區(qū)科級干部“黨風(fēng)廉政知識”預(yù)測成績小于60分的約為多少人？附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則；.【答案】（1）8,32；（2）72，6；（3）36.【解析】【分析】（1）首先求得樣本容量與總體的比為，根據(jù)比例可求得；（2）根據(jù)平均數(shù)計算公式可求得平均數(shù)；根據(jù)正科級和副科級干部組的標(biāo)準(zhǔn)差可分別求得正科級和副科級干部組每個人成績的平方和；代入方差公式可求得總體的方差，進(jìn)而得到標(biāo)準(zhǔn)差；（3）首先確定的估計值，的估計值；根據(jù)原則求得；根據(jù)正態(tài)分布曲線可求得，從而可求得預(yù)測成績小于分的人數(shù).【詳解】（1）樣本容量與總體的比為：則抽取的

17、正科級干部人數(shù)為；副科級干部人數(shù)為，（2）這名科級干部預(yù)測成績的平均分：設(shè)正科級干部組每人的預(yù)測成績分別為，副科級干部組每人的預(yù)測成績分別為則正科級干部組預(yù)測成績的方差為：解得：副科級干部組預(yù)測成績的方差為：解得：這名科級干部預(yù)測成績的方差為這名科級干部預(yù)測成績的平均分為，標(biāo)準(zhǔn)差為（3）由，得的估計值，的估計值由得：所求人數(shù)為：人【點睛】本題考查統(tǒng)計中的頻數(shù)的計算、平均數(shù)和方差、標(biāo)準(zhǔn)差的求解、正態(tài)分布中的概率求解問題，是對統(tǒng)計知識的綜合考查，屬于常規(guī)題型.21.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，求證：.【答案】（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；（2）證明見

18、解析.【解析】【分析】（1）求得后，分別在和兩種情況下判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得到原函數(shù)的單調(diào)性；（2）將所證問題變?yōu)樽C明：；令，利用導(dǎo)數(shù)分別求出和，因為最值取得的點不同，可證得，繼而得到結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由得：當(dāng)時，；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增（2）要證，即證，即證：設(shè)，則當(dāng)時，；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增是的極小值點，也是最小值點 令，則當(dāng)時，；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減是的極大值點，也是最大值點 ，當(dāng)時，前后取等號的條件不一致 綜上所述：當(dāng)時，【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用問題，涉及到討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式的問題.本題中證明不等式的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€函數(shù)之間最值的比較，易錯點是忽略最值取得點的不同，從而導(dǎo)致證明錯誤.（二）選考題：共10分.請考生在22、23兩題中任選一題