2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 平面解析幾何初步 2.2.1 第1課時 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 蘇教版必修2

1、22.1第1課時圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1會用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(重點、難點)2會根據(jù)已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(重點)3能準(zhǔn)確判斷點與圓的位置關(guān)系(易錯點)基礎(chǔ)初探教材整理1圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程閱讀教材P107P108例1，完成下列問題1圓的定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓其中定點是圓的圓心；定長是圓的半徑2圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓特殊情況一般情況圓心(0,0)(a，b)半徑r(r0)r(r0)標(biāo)準(zhǔn)方程x2y2r2(xa)2(yb)2r2備注確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵是確定圓心和半徑1圓(x2)2(y3)22的圓心和半徑分別是_【答案】(2，3)，2以原點為圓心，2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方

2、程是_【答案】x2y243以原點為圓心，且過點(2,2)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_【解析】由題意可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y2r2，又(2,2)在圓上，故2222r2，即r28.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y28.【答案】x2y28教材整理2點與圓的位置關(guān)系閱讀教材P107P108，完成下列問題設(shè)點P到圓心的距離為d，圓的半徑為r，則點與圓的位置關(guān)系對應(yīng)如下：位置關(guān)系點在圓外點在圓上點在圓內(nèi)d與r的大小關(guān)系drdrdr1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)方程(xa)2(yb)2m2一定表示圓()(2)確定一個圓的幾何要素是圓心和半徑()(3)圓(x1)2(y2)24的圓心坐標(biāo)是(1,2)，半徑是4.()

3、(4)點(0,0)在圓(x1)2(y2)21上()2若點P(1，)在圓x2y2m2上，則實數(shù)m_. 【解析】把點P(1，)代入x2y2m2，得13m2，m2或2.【答案】2或2小組合作型求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)圓心為點C(8，3)，且經(jīng)過點P(5,1)；(2)以P1(1,2)，P2(3,4)為直徑的端點(3)與x軸相交于A(1,0)，B(5,0)兩點且半徑為.【精彩點撥】(1)(2)直接求出圓心半徑代入求解；(3)設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由已知條件列方程組求解【自主解答】(1)由題意可知，圓的半徑rPC5，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x8)2(y3)225，(2)由題意可知，P1，P2的中點

4、P的坐標(biāo)為(1,3)又P1P22，所以圓的半徑為P1P2.即所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y3)25.(3)法一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)25.因為點A，B在圓上，所以可得到方程組：解得或所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x3)2(y1)25或(x3)2(y1)25.法二：由于A，B兩點在圓上，所以線段AB是圓的一條弦，根據(jù)平面幾何知識，知這個圓的圓心在線段AB的垂直平分線x3上，于是可以設(shè)圓心為C(3，b)，又由AC，得 ，解得b1或b1，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2(y1)25或(x3)2(y1)25.求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法：(1)待定系數(shù)法(代數(shù)法)：設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，方程中有三個未知數(shù)a

5、，b，r，根據(jù)題目條件列出a，b，r的方程組求解，代數(shù)法體現(xiàn)了方程思想(2)幾何法：即利用圓的幾何性質(zhì)直接求出圓心和半徑的方法，幾何法體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想再練一題1已知圓心為C的圓經(jīng)過點A(0,2)和B(3,3)，且圓心C在直線l：xy50上求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程. 【解】法一：設(shè)圓的方程為(xa)2(yb)2r2，則解得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2(y2)225.法二：因為A(0,2)，B(3,3)，所以線段AB的中點坐標(biāo)為，直線AB的斜率kAB，故線段AB的垂直平分線方程是y3，即3xy70.由得所以圓心C的坐標(biāo)為(3，2)圓的半徑rAC5，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2(y2)225.圓的方程的實

6、際應(yīng)用如圖221所示是一座圓拱橋，當(dāng)水面距拱頂2 m時，水面寬12 m，當(dāng)水面下降1 m后，水面寬多少m？(結(jié)果保留兩位小數(shù))圖221【精彩點撥】由條件，此問題應(yīng)首先建立坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為求圓的方程，再利用條件求水面寬度【自主解答】以拱頂為坐標(biāo)原點，以過拱頂?shù)呢Q直直線為y軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)圓拱所在圓的圓心為C，水面所在弦的端點為A，B，則A(6，2)設(shè)圓的方程為x2(yr)2r2，將A(6，2)代入方程，得r10，圓的方程為x2(y10)2100，當(dāng)水面下降1 m后，可設(shè)點A(x0，3)(x00)如圖所示，將A(x0，3)代入圓的方程，求得x0，水面下降1 m，水面寬為2x0214.28

7、(m)本題考查應(yīng)用坐標(biāo)法研究與平面圖形有關(guān)的實際問題，因此，要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用圓的方程來解決一般思路是根據(jù)題設(shè)條件建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過待定系數(shù)法設(shè)圓的方程進行求解再練一題2已知隧道的截面是半徑為4 m的半圓，車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛，一輛寬為3 m，高為3.5 m的貨車能不能駛?cè)脒@個隧道？【解】如圖，以某一截面半圓的圓心為坐標(biāo)原點，半圓的直徑AB所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，那么半圓的方程為x2y216(y0)，將x3代入得y33.5，即在離中心線3 m處，隧道的高度低于貨車的高度因此，該貨車不能駛?cè)脒@個隧道探究共研型點與圓的位置關(guān)系探究1點(1,

8、1)是否在圓(x1)2y22上？【提示】點(1,1)不在圓(x1)2y22上，因為將點(1,1)代入圓的方程左邊得(11)21212.探究2在探究1中，點(1,1)與圓(x1)2y22是什么關(guān)系？【提示】點(1,1)在圓內(nèi)探究3如何判斷點(m，n)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系？【提示】將點A(m，n)代入方程左邊，若(ma)2(nb)2r2，點A在圓上；若(ma)2(nb)2r2，點A在圓外已知圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x5)2(y6)2a2(a0)(1)若點M(6,9)在圓上，求半徑a；(2)若點P(3,3)與Q(5,3)有一點在圓內(nèi)，另一點在圓外，求a的取值范圍【精彩點撥】(1)點在圓上

9、，滿足圓的方程求得a值(2)點在圓內(nèi)(外)，則點與圓心的距離小于(大于)圓的半徑，求a的范圍【自主解答】(1)點M(6,9)在圓上，(65)2(96)2a2，即a210.又a0，a.(2)PC，QC3，PCQC，故點P在圓外，點Q在圓內(nèi)，3a.判斷點與圓的三種位置關(guān)系有兩種方法：(1)將所給的點M到圓心C的距離與半徑r比較：若CMr，則點M在圓上；若CMr，則點M在圓外；若CMr，則點M在圓內(nèi)(2)可用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來確定點M(m，n)在圓C上(ma)2(nb)2r2；點M(m，n)在圓C外(ma)2(nb)2r2；點M(m，n)在圓C內(nèi)(ma)2(nb)2r2.再練一題3已知兩點M(3,8)和

10、N(5,2)(1)求以MN為直徑的圓C的方程；(2)試判斷P1(2,8)，P2(3,2)，P3(6,7)是在圓上，在圓內(nèi)，還是在圓外？【解】(1)法一：設(shè)圓心C(a，b)，半徑r，則由C為MN的中點得a4，b5，由兩點間的距離公式得rCM.所求圓的方程為(x4)2(y5)210.法二：直徑所對的圓周角是直角，對于圓上除M，N外任意一點P(x，y)，有PMPN，即kPMkPN1，1(x3且x5)化簡得x2y28x10y310，即(x4)2(y5)210.又M(3,8)，N(5,2)的坐標(biāo)滿足方程，所求圓的方程為(x4)2(y5)210.(2)分別計算點到圓心的距離CP1，CP2，CP3 ，因此，

11、點P2在圓上，點P1在圓外，點P3在圓內(nèi)1已知兩圓C1：(x5)2(y3)29和C2：(x2)2(y1)25，則兩圓圓心間的距離為_【解析】C1(5,3)，C2(2，1)，|C1C2|5.【答案】52已知圓的方程是(x2)2(y3)24，則點P(3,2)與圓的位置關(guān)系是_【解析】(32)2(23)224.P點在圓內(nèi)【答案】P點在圓內(nèi)3圓心在第二象限，半徑為1，并且與x，y軸都相切的圓的方程為_. 【解析】由條件知，|a|b|r1.圓心在第二象限，a1，b1，所求的方程為(x1)2(y1)21.【答案】(x1)2(y1)214與圓(x2)2(y3)216同圓心且過點P(1,1)的圓的方程是_【解析】由題意，設(shè)所求圓的方程為(x2)2(y3)2r2，則有(12)2(13)2r2，即r225，故所求圓的方程為(x2)2(y