2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.3.2 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式學(xué)案 蘇教版必修5

1、23.2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式.2.熟悉等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì).3.系統(tǒng)了解判斷數(shù)列是否成等比數(shù)列的方法知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣思考1已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，如何表示an?思考2我們?cè)?jīng)把等差數(shù)列的通項(xiàng)公式做過(guò)如下變形： ana1(n1)dam(nm)d.等比數(shù)列也有類似變形嗎？思考3我們知道等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以變形為andna1d，其單調(diào)性由公差的正負(fù)確定等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是否也可做類似變形？梳理公比為q的等比數(shù)列an中，ana1qn1qn.an的單調(diào)性由a1，q共同確定如下：當(dāng)或時(shí)，an是遞增數(shù)列；當(dāng)或時(shí)，an是遞減數(shù)列；當(dāng)q0時(shí)

2、，an是擺動(dòng)數(shù)列，當(dāng)q1時(shí)，an是常數(shù)列知識(shí)點(diǎn)二由等比數(shù)列衍生的等比數(shù)列思考等比數(shù)列an的前4項(xiàng)為1,2,4,8，下列判斷正確的是(1)3an是等比數(shù)列；(2)3an是等比數(shù)列；(3)是等比數(shù)列；(4)a2n是等比數(shù)列梳理(1)在等比數(shù)列an中按序號(hào)從小到大取出若干項(xiàng)：ak1，ak2，ak3，akn，若k1，k2，k3，kn，成等差數(shù)列，那么ak1，ak2，ak3，akn，是等比數(shù)列(2)如果an，bn均為等比數(shù)列，那么數(shù)列，anbn，|an|仍是等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)三等比數(shù)列的性質(zhì)思考在等比數(shù)列an中，aa1a9是否成立？aa3a7是否成立？aan2an2(n2，nN*)是否成立？梳理一般地，在等

3、比數(shù)列an中，若mnst，則有amanasat(m，n，s，tN*)若mn2k，則amana(m，n，kN*)類型一等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用命題角度1方程思想例1一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18，求它的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)反思與感悟已知等比數(shù)列an的某兩項(xiàng)的值，求該數(shù)列的其他項(xiàng)或求該數(shù)列的通項(xiàng)常用方程思想，通過(guò)已知可以得到關(guān)于a1和q的兩個(gè)方程，從而解出a1和q，再求其他項(xiàng)或通項(xiàng)跟蹤訓(xùn)練1在等比數(shù)列an中(1)已知a13，q2，求a6；(2)已知a320，a6160，求an.命題角度2等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例2某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過(guò)一年剩余的這種物質(zhì)是原來(lái)的84%，這種物質(zhì)的

4、半衰期為多長(zhǎng)？(精確到1年，放射性物質(zhì)衰變到原來(lái)的一半所需時(shí)間稱為這種物質(zhì)的半衰期)反思與感悟等比數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題，在實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中較為常見(jiàn)，解題的關(guān)鍵是弄清楚等比數(shù)列模型中的首項(xiàng)a1，項(xiàng)數(shù)n所對(duì)應(yīng)的實(shí)際含義跟蹤訓(xùn)練2某制糖廠2011年制糖5萬(wàn)噸，如果從2011年起，平均每年的產(chǎn)量比上一年增加20%，那么到哪一年，該糖廠的年制糖量開(kāi)始超過(guò)30萬(wàn)噸？(結(jié)果保留到個(gè)位，lg 60.778，lg 1.20.079)類型二等比數(shù)列的性質(zhì)命題角度1序號(hào)的數(shù)字特征例3已知an為等比數(shù)列(1)若an0，a2a42a3a5a4a625，求a3a5；(2)若an0，a5a69，求log3a1log3a2log3a1

5、0的值反思與感悟抓住各項(xiàng)序號(hào)的數(shù)字特征，靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)，可以順利地解決問(wèn)題跟蹤訓(xùn)練3在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a3a54，則a1a2a3a4a5a6a7_.命題角度2未知量的設(shè)法技巧例4有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，求這四個(gè)數(shù)反思與感悟合理地設(shè)出未知數(shù)是解決此類問(wèn)題的技巧一般地，三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為，a，aq；三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為ad，a，ad.若四個(gè)同號(hào)的數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為，aq，aq3；四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a3d，ad，ad，a3d.跟蹤訓(xùn)練4有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，

6、后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，首末兩項(xiàng)和為21，中間兩項(xiàng)和為18，求這四個(gè)數(shù)1在等比數(shù)列an中，a28，a564，則公比q為_(kāi)2在等比數(shù)列an中，an0，且a1a1027，log3a2log3a9_.3在1與2之間插入6個(gè)正數(shù)，使這8個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的6個(gè)數(shù)的積為_(kāi)4已知數(shù)列an滿足3an1an0，a2，則an_.1借助通項(xiàng)公式或其推廣形式列方程組是求等比數(shù)列基本量a1，q，n的常用方法2巧用等比數(shù)列的性質(zhì)，減少計(jì)算量，這一點(diǎn)在解題中也非常重要答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1ana1a1qqa1qn1.思考2 在等比數(shù)列中，由通項(xiàng)公式ana1qn1，得qnm，所以anamqnm(n，mN*)思考3

7、設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q.則ana1qn1qn，其形式類似于指數(shù)型函數(shù)，但q可以為負(fù)值由于an1ana1qna1qn1a1qn1(q1)，所以an的單調(diào)性由a1，q，q1的正負(fù)共同決定知識(shí)點(diǎn)二思考由定義可判斷出(1)，(3)，(4)正確知識(shí)點(diǎn)三思考a5a1q4，a9a1q8，a1a9aq8(a1q4)2a，aa1a9成立同理aa3a7成立，aan2an2也成立題型探究例1解設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)是a1，公比是q，那么，得q，將q代入，得a1.因此，a2a1q8.綜上，這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)分別是與8.跟蹤訓(xùn)練1解(1)由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得，a63(2)6196.(2)設(shè)等比數(shù)列

8、的公比為q，那么解得所以ana1qn152n1.例2解設(shè)這種物質(zhì)最初的質(zhì)量是1，經(jīng)過(guò)n年，剩余量是an，由條件可得，數(shù)列an是一個(gè)等比數(shù)列其中a10.84，q0.84，設(shè)an0.5，則0.84n0.5.兩邊取對(duì)數(shù)，得nlg 0.84lg 0.5，用計(jì)算器算得n4.答這種物質(zhì)的半衰期大約為4年跟蹤訓(xùn)練2解記該糖廠每年制糖產(chǎn)量依次為a1，a2，a3，an，.則依題意可得a15，1.2(n2且nN*)，從而an51.2n1，這里an30，故1.2n16，即n1log1.269.85.故n11.答從2021年開(kāi)始，該糖廠年制糖量開(kāi)始超過(guò)30萬(wàn)噸例3解(1)a2a42a3a5a4a6a2a3a5a(a3a5)225，an0，a3a50，a3a55.(2)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得a5a6a1a10a2a9a3a8a4a79，a1a2a9a10(a5a6)595，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a9a10)log39510.跟蹤訓(xùn)練3128解析a3a5a4，an0，a42.a1a2a3a4a5a6a7(a1a7)(a2a6)(a3a5)a4432128.例4解設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為ad，a，ad，由條件得解得或所以當(dāng)a4，d4時(shí)，所