高等數(shù)學(xué)-冪級(jí)數(shù).ppt

1、1,主講教師: 王升瑞,高等數(shù)學(xué),第二十七講,2,習(xí)題課,級(jí)數(shù)的收斂、求和與展開,三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法,四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和付式級(jí)數(shù)展開法,一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法,二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法,第十一章,3,常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),一 般 項(xiàng) 級(jí) 數(shù),正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù),冪級(jí)數(shù),三角級(jí)數(shù),收 斂 半 徑 R,泰勒展開式,數(shù)或函數(shù),函 數(shù),數(shù),任 意 項(xiàng) 級(jí) 數(shù),傅氏展開式,傅氏級(jí)數(shù),泰勒級(jí)數(shù),滿足狄 氏條件,一、主要內(nèi)容,4,1、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),級(jí)數(shù)的部分和,定義,級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散,5,性質(zhì)1: 級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),性質(zhì)2: 收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.,性質(zhì)3:在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響

2、級(jí)數(shù)的斂散性.,性質(zhì)4:收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂于,級(jí)數(shù)收斂的必要條件:,收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì),斂散性不變.,原來(lái)的和.,6,常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法,正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù),任意項(xiàng)級(jí)數(shù),1.,4.充要條件,5.比較法,6.比值法,7.根值法,4.絕對(duì)收斂,5.交錯(cuò)級(jí)數(shù) (萊布尼茨定理),3.按基本性質(zhì);,一般項(xiàng)級(jí)數(shù),4.絕對(duì)收斂,7,定義,2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法,審斂法,(1) 比較審斂法,8,(2) 比較審斂法的極限形式,設(shè),與,都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果,則 (1) 當(dāng),時(shí)，二級(jí)數(shù)有相同的斂散性,(2) 當(dāng),時(shí)，若,收斂則,收斂。,(3) 當(dāng),時(shí)，若,發(fā)散則,發(fā)散。,9,10,11,定義 正 、負(fù)項(xiàng)相間

3、的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).,3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法,12,定義 正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).,4、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法,13,5、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),(1) 定義,(2) 收斂點(diǎn)與收斂域,14,(3) 和函數(shù),15,(1) 定義,6、冪級(jí)數(shù),16,(2) 收斂性,17,推論,18,定義: 正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.,冪級(jí)數(shù)的收斂域稱為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.,19,a.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):,加減法,(其中,(3)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算,20,乘法,(其中,除法,21,b.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì):,22,7、冪級(jí)數(shù)展開式,(1) 定義,23,(2) 充要條件,(3) 唯一性,24,(3) 展開方法,a.直接法(泰勒級(jí)數(shù)

4、法),步驟:,b.間接法,方法,求展開式.,根據(jù)惟一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分等,25,(4) 常見函數(shù)展開式,26,27,(1) 三角函數(shù)系,三角函數(shù)系,8、傅里葉級(jí)數(shù),28,其中,稱為傅里葉級(jí)數(shù).,(2) 傅里葉級(jí)數(shù),定義,三角級(jí)數(shù),29,(3) 狄利克雷(Dirichlet)充分條件(收斂定理),30,(4) 正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù),31,32,奇延拓:,(5) 周期的延拓,偶延拓:,33,34,(在收斂域內(nèi)進(jìn)行),基本問題：判別斂散；,求收斂域；,求和函數(shù)；,級(jí)數(shù)展開.,為傅立葉級(jí)數(shù).,為傅氏系數(shù)) 時(shí),時(shí)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);,時(shí)為冪級(jí)數(shù);,35,一、

5、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法,1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性,2. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法,必要條件,發(fā) 散,滿足,比值審斂法,根值審斂法,收 斂,發(fā) 散,不定,比較審斂法,用它法判別,積分判別法,部分和極限,36,3. 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法,為收斂級(jí)數(shù),Leibniz判別法: 若,且,則交錯(cuò)級(jí)數(shù),收斂 ,概念:,且余項(xiàng),37,例1. 若級(jí)數(shù),均收斂 , 且,證明級(jí)數(shù),收斂 .,證:,則由題設(shè),收斂,收斂,收斂,收斂 .,38,利用比值判別法, 可知原級(jí)數(shù)發(fā)散.,用比值法, 可判斷級(jí)數(shù),因 n 充分大時(shí),再由比較法可知原級(jí)數(shù)收斂 .,發(fā)散,收斂,P322 題2. 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:,39,用比值判別法

6、可知:,時(shí)收斂 ;,時(shí), 與 p 級(jí)數(shù)比較可知,時(shí)收斂;,時(shí)發(fā)散.,時(shí)發(fā)散.,P322 題2. 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性,40,P322 題3. 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),和,也收斂 .,提示: 因,存在 N 0,又因,利用收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確.,都收斂, 證明級(jí)數(shù),當(dāng)n N 時(shí),41,P322 題5.討論下列級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性與條件收斂性:,提示:,P 1 時(shí), 絕對(duì)收斂 ;,0 p 1 時(shí), 條件收斂 ;,p0 時(shí), 發(fā)散 .,因各項(xiàng)取絕對(duì)值后所得強(qiáng)級(jí)數(shù),故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 .,提示:,42,又因,單調(diào)遞減, 且,所以原級(jí)數(shù)僅條件收斂 .,由Leibniz判別法知級(jí)數(shù)收斂 ;,解,P322 題

7、5.討論下列級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性與條件收斂性:,即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂,43,因,所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 .,P322 題5.討論下列級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性與條件收斂性:,44,解: 原式=,的和 .,P323 題9(2). 求級(jí)數(shù),45,例2.,設(shè),在,的某個(gè)鄰域內(nèi)有連續(xù)二階導(dǎo),數(shù)，且,證 絕對(duì)收斂。,證：,利用麥克勞林公式：,（下證收斂，略）,46,二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法, 標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù): 先求收斂半徑 R ,再討論, 非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù),通過換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式,直接用比值法或根值法,處的斂散性 .,P323 題7. 求下列級(jí)數(shù)的斂散區(qū)間:,練習(xí):,47,解:,當(dāng),時(shí), 原式=,時(shí)原級(jí)數(shù)收斂 .,令,原級(jí)

8、數(shù)發(fā)散.,48,解:,當(dāng),因此級(jí)數(shù)在端點(diǎn)發(fā)散 ,時(shí), 原式=,故收斂區(qū)間為,同理級(jí)數(shù)發(fā)散.,49,解法1:,故收斂區(qū)間為,中一般項(xiàng),不趨于0,令,原級(jí)數(shù)收斂,P323 題7. 求下列級(jí)數(shù)的斂散區(qū)間:,50,解法2: 因,故收斂區(qū)間為,級(jí)數(shù)收斂;,一般項(xiàng),不趨于0,級(jí)數(shù)發(fā)散;,51,例1.,解法2 利用根值判別法, 其收斂半徑,52,例2、設(shè),解：,由阿貝爾定理，,試求在,在,處的收斂，,處的斂散性。,在如上范圍內(nèi)絕對(duì)收斂，,故,時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。,53,解:, 收斂半徑為,例3. 求,發(fā)散。, 原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?的收斂域.,收斂。,54, 求部分和式極限,三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法,求和, 映射

9、變換法,逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分,對(duì)和式積分或求導(dǎo),直接求和: 直接變換,間接求和: 轉(zhuǎn)化成冪級(jí)數(shù)求和, 再代值,求部分和等, 初等變換法: 分解、套用公式,（在收斂區(qū)間內(nèi)）, 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 求和,去分子常積分,55,解,例1,收斂域?yàn)?56,例2,解,57,求,的和函數(shù)。,解:,例3,58,求,的和函數(shù)。,解:,逐項(xiàng)求導(dǎo)得,再逐項(xiàng)求導(dǎo), 得,分部積分 , 得,例3,59,例4. 求冪級(jí)數(shù),先求出收斂區(qū)間,則,設(shè)和函數(shù)為,解,60,的和函數(shù)。,解:,例5 求,61,例6 P323 題8.,解:,顯然 x = 0 時(shí)上式也正確,故和函數(shù)為,而在,x0,求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)：,級(jí)數(shù)發(fā)散,62,例6 P323

10、題8.,解:,x0,求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)：,可見收斂半徑,63,顯然 x = 0 時(shí), 和為 0 ;,根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性 , 有,x = 1 時(shí),級(jí)數(shù)也收斂 .,即得,64,其收斂域?yàn)?-1，1)，和函數(shù)為,，則,的和 .,例7 求級(jí)數(shù),65,四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和付式級(jí)數(shù)展開法, 直接展開法, 間接展開法,練習(xí):,1. 將函數(shù),展開成 x 的冪級(jí)數(shù)., 利用已知展式的函數(shù)及冪級(jí)數(shù)性質(zhì), 利用泰勒公式,解:,1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開法,66,2. 函數(shù)的付式級(jí)數(shù)展開法,系數(shù)公式及計(jì)算技巧;,收斂定理;,延拓方法,上的表達(dá)式為,將其展為傅氏級(jí)數(shù) .,P323 題11. 設(shè) f (x)是周期為2的函數(shù),它在,解答提示,67,68,思考: 如何利用本題結(jié)果求級(jí)數(shù),根據(jù)付式級(jí)數(shù)收斂定理 , 當(dāng) x = 0 時(shí), 有,提示:,69,例2、設(shè),是周期為,的周期函數(shù)