數(shù)學(xué)思維的魅力.ppt

1、數(shù)學(xué)思維的魅力,九江學(xué)院 譚毓澄 tt_,目錄 前言 乒乓球稱重問題 問題1 問題2 問題3 分蛋糕問題 問題1 問題2 問題3 問題4 結(jié)束語(yǔ),電影美麗心靈開頭有一段臺(tái)詞：“是數(shù)學(xué)家贏得了世界大戰(zhàn),是數(shù)學(xué)家破解了日本密碼，也是數(shù)學(xué)家發(fā)明了原子彈”。的確，數(shù)學(xué)給予人類巨大精神財(cái)富，數(shù)學(xué)也影響歷史進(jìn)程。2千多年來，歐幾里德的幾何原本一直是人類理性精神的典范。,笛卡爾、費(fèi)馬、牛頓、萊布尼茨創(chuàng)立的微積分，宣告了西方科學(xué)黃金時(shí)代的到來。馮諾依曼的計(jì)算機(jī)，維納的控制論、仙農(nóng)的信息論，將人類帶入了航天飛行和手機(jī)普及的時(shí)代。,就社會(huì)的個(gè)體而言，數(shù)學(xué)也同等重要。有人說哲學(xué)是使人聰明的學(xué)問，我們可以說數(shù)學(xué)是使人

2、智慧的學(xué)問，其實(shí)數(shù)學(xué)與哲學(xué)的關(guān)系非常密切。數(shù)學(xué)家B.Demollins 說：沒有數(shù)學(xué)，我們無法看透哲學(xué)的深度；沒有哲學(xué)，人,們也無法看透數(shù)學(xué)的深度；而若沒有兩者，人們就什么也看不透。數(shù)學(xué)是關(guān)于思維的科學(xué)，有了數(shù)學(xué)我們的思維會(huì)變得高效、變得美妙。今晚我們將通過一些趣味問題的解決一起感受數(shù)學(xué)思維的魅力。,一、 乒乓球稱重問題 問題1 現(xiàn)有10簍蘋果，其中9簍大蘋果，每個(gè)3 兩，1簍小蘋果，每個(gè)2兩， 請(qǐng)用臺(tái)秤稱重1次找出這簍小蘋果。,方法：將10簍蘋果依次編號(hào)為1，2，3，10，于是從1號(hào)簍中取出1個(gè) 蘋 果，2號(hào)簍中取2個(gè)蘋，10號(hào)簍中取出10個(gè)蘋果，一起共55個(gè)蘋果稱重。,若全為大蘋果，則重量

3、應(yīng)為553=165兩，實(shí)際稱重?cái)?shù)字肯定比165小，設(shè)實(shí)際稱重?cái)?shù)字比165小k兩,則第k簍蘋果即為小蘋果。 問題2 有5袋乒乓球，每袋單個(gè)球重分別為24，25，26，27，28（克/10)，,若只能稱重1次，而要分別出各袋球的單個(gè)重量，請(qǐng)給出一種稱重方案。 方法：將5個(gè)袋分別編號(hào)為1，2，3，4，5?，F(xiàn)從1號(hào)袋中取出1個(gè)球，2號(hào)袋中取出5個(gè)球，3號(hào)袋中取出25個(gè)球，4號(hào)袋中取125個(gè)球，5號(hào)袋中取625個(gè)球，共取781個(gè)球。,根據(jù)781個(gè)球稱重的結(jié)果就可以分析出各袋中單個(gè)球的重量。如各袋中單個(gè)小球重為,編號(hào)為 5 4 3 2 1,取球數(shù),625 125 25 5 1,再比如 ,5 4 3 2 1

4、,已知781個(gè)球共重19166，問各袋中單個(gè)球重？ 19166-18744=422，,422=,=,于是可以斷言1，2，3，4，5各袋中單個(gè)球重分別為24，27，25，28，26.上面做法用到了5進(jìn)制，其實(shí)也可以用6進(jìn)制，7進(jìn)制，10進(jìn)制等。問題2最容易理解的做法是采用100進(jìn)制。,按100進(jìn)制稱法，總重恰好是 2427252826 。,問題3 現(xiàn)有12個(gè)乒乓球，其中一個(gè)乒乓球質(zhì)量不合格（比標(biāo)準(zhǔn)球輕或重），請(qǐng)用天平稱三次，找出這個(gè)質(zhì)量不好的球。,分析：稱量一次最多能從幾個(gè)球中找出不合格的球？結(jié)論：若知道偏重或偏輕，則可從3個(gè)球中找出不合格的球；若不知道是偏重還是偏輕，則只能從2個(gè)球中找出不合格

5、的球，但需一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球。,依據(jù)上面的分析，我們有下面的稱法.,下面再?gòu)挠成?、信息角度來看待上述問題。 天平稱三次，每一次都有左重、左輕、平衡三種 可能，稱重3次可以反映27種信息。12個(gè)球中有 一個(gè)不合格球，考慮偏重偏輕情況共有24種可 能，提供的27種信息并未充分用上。前面已分析 此問題中球的個(gè)數(shù)可增加至13個(gè) （26 種可能）。,若用排除法確定不合格球，則14個(gè)球中含 不合格球恰好對(duì)應(yīng)27種情形， 這是理論上的 分析，實(shí)際要做到這點(diǎn)需借助另外的標(biāo)準(zhǔn)球。 利用映射方法也可以幫助找到問題解決 方案。記0表示平衡；-1表示左輕；1表示左 重。將各種情形列出如下：,1,2,3,4,5,6,7,8,9

6、,10,11,12,13,14 0 0 0,依據(jù)上面排列可得12個(gè)球的稱重方案：,第1次,第2次,第3次,此方案也可作為13個(gè)球的方案，三次均平 衡時(shí)，13號(hào)球?yàn)椴缓细袂颉Ｒ玫?4個(gè)球方案需增加1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球，記為 ，于是有,第1次,第2次,第3次,二、分蛋糕問題 問題1 一塊蛋糕切4刀最多能切多少塊（薄蛋糕）？切n刀呢？,+_,所以,問題2 一塊蛋糕切3、4刀，最多能切多少塊(厚蛋糕）？n刀呢？,切1、2、3刀結(jié)果是明顯的，現(xiàn)在來看切4刀情形。每一刀是一個(gè)平面，要想切出最多塊，當(dāng)然第4個(gè)平面須與前面3個(gè)平面相交，相交部分為直線。如圖,每塊彩色部分對(duì)應(yīng)切3刀后的1小塊，切第4刀后，每小塊一分為2

7、，故共有15塊,一般地，要想切出最多塊，第n刀需 與前面n-1刀相交，并經(jīng)過前n-1刀切出 的 塊，并將它們一分為二。記 切n刀后所得最多塊數(shù)為 ，則,+,_,于是,規(guī)定:,問題3 現(xiàn)有2塊薄蛋糕，能否一刀將2個(gè) 蛋糕平分？,追問：一刀能將3塊厚蛋糕平分嗎？,這個(gè)結(jié)果的嚴(yán)格證明要用到拓?fù)鋵W(xué)中波蘇克（Borsuk)-烏拉姆（Ulam)定理,問題4 如何公平地將一塊蛋糕分配給2、 3、n個(gè)人？ 兩個(gè)人分蛋糕時(shí)，采用“我分你選”的算法，可以實(shí)現(xiàn)公平分配。（權(quán)力平衡亦或權(quán)力制約） 60年代初，John Sclfridgc 和 John H.Conway首先發(fā)現(xiàn)了三個(gè)人分蛋糕時(shí)的一種無妒忌算法：,第一步

8、，甲把蛋糕分成他認(rèn)為具有等值的3塊。 第二步，乙可以采取下列兩個(gè)行動(dòng)之一： (a)若有兩塊蛋糕份量同為最大，他可以什么也不做； (b) 若有一塊蛋糕最大，他可以對(duì)其修整，使之達(dá)到(a)所說的情況。修整下來的剩余蛋糕放到一邊。,第三步，丙，乙和甲依次選一塊蛋糕，選他們認(rèn)為最大的一塊。若乙在上面第二步中修整了一塊蛋糕，那么他必須選修理過的蛋糕，除非丙已經(jīng)先選這一塊蛋糕。至此，蛋糕的一部分已無妒忌方式分完了。,第四步，如果乙在第二步什么也沒有做，那么不再存在剩余蛋糕，因此蛋糕已被分完。否則，被修理過的那塊蛋糕將由乙或丙選去。由乙或丙將剩余蛋糕分為相等的三份。 剩下的事情就是讓丙，甲和乙或乙，甲和丙從剩余蛋糕中各取一份。,按以上分法，由于丙是第一個(gè)選，因此他沒有理由眼紅。無論剩余蛋糕怎么分，甲都不會(huì)妒忌丙,因?yàn)楸淦淞恳仓荒苓x到一份甲認(rèn)為是1/3塊的蛋糕。甲也不會(huì)對(duì)乙眼紅，因?yàn)樗纫蚁冗x。乙也沒有理由抱怨，因?yàn)槭Ｓ嗟案獗緛砭褪撬约悍值摹?n個(gè)人分蛋糕情形，是否有無妒忌的分法呢？此問題讓人困惑了30年。1995年，紐約大學(xué)的steven J.Brains以及聯(lián)盟學(xué)院的Alan D.Taylor發(fā)現(xiàn)了適于任意多個(gè)人的無妒忌分法。這一方法很復(fù)雜。從分蛋糕問題可看出數(shù)學(xué)技術(shù)也能解決社會(huì)科學(xué)中的公平、合理等難題。,原本普通的問題