北京大學(xué)量子力學(xué)課件 第28講.ppt

1、,第 二 十 八 講 .簡并能級的一級修正,要有非零解(即 不全為 )，則必須 由這可解得,A. 新的零級波函數(shù) 之間是正交的 B 在 子空間中是對角的,簡并態(tài)的二級微擾 A. 若,B. 若 則,因此，求得,C簡并態(tài)可用非簡并微擾處理的條件 則可選非微擾態(tài)為 的共同本征態(tài)作為零 級波函數(shù),若 任意 則 可用非簡并微擾方法處理,例1: 在均勻電場中的剛體轉(zhuǎn)子 所以 的能級 有 重簡并,而 （ 在 方向） 如取 的共同本征函數(shù)作為零 級波函數(shù)，則可直接用非簡并微擾方法求 微擾對能級能量的影響,而我們現(xiàn)在取 的共同本征態(tài)， ，簡并態(tài)的標(biāo)記恰好為 的量子數(shù)。 因 所以 因此，如處理 ，則不必擔(dān)心其 它

2、簡并態(tài) ( ）的存在。,例2：在均勻外電場中的平面轉(zhuǎn)子 有本征態(tài),相應(yīng)本征值為 。所以，是兩重簡并 而 ( 在 軸 ),即，簡并態(tài)之間無作用；顯然 按照前面的討論?，F(xiàn)在態(tài)的簡并是以 的量子數(shù) 來表示的。但 所以原則上不能用非簡并微擾去做。,在上一節(jié)，我們已看到，用非簡并微 擾論去求二級修正，所得結(jié)果，對 是錯誤的 我們已利用正確的公式 求得正確的能量二級修正,所以，利用 不行。看能否找到另 一力學(xué)量來將 的簡并態(tài)分類，以便能 用非簡并微擾論來處理？,有一算符 使 由于,所以 因此， 的本征態(tài)，不是按分類， 而是按 分類，即取 的共同本征 函數(shù)組作為零級波函數(shù)，則可用非簡并微擾方 法來處理。,注

3、意,于是，一級微擾修正為 而二級微擾修正,錯誤,例3： 若以 來分類，兩重簡并態(tài),或以 來分類，兩重簡并態(tài) 由于 , ，所以 原則上都不能用非簡并微擾方法去做。 若用非簡并微擾方法求能量的修正，則,而用第二組,但若用 ，它是將 顯然， 若取 的共同本征函數(shù)為 的本征函數(shù),這時，可用非簡并微擾方法做 如嚴(yán)格按簡并微擾論做，在第一組,在第二組,在處理簡并能級微擾時，要特別 用心于 A. 選取正確的零級波函數(shù); B. 正確判斷能否用非簡并微擾 論的方法去求微擾修正。,8.2 變分法：定態(tài)微擾論有效，是必須找到 ， 要求 有解析解，且逼近 。但這并不是容 易做到的。 另一種求解法，是用變分法求定態(tài)解。

4、 （1）體系的哈密頓量在某一滿足物理要求的試 探波函數(shù)上的平均值必大于等于體系基態(tài)能量 證：,設(shè)： 是 的本征態(tài)，本征值為 顯然， 形成正交完備組，于是,當(dāng) 時，等號成立。 因此，當(dāng)我們用一試探波函數(shù)去找能量平均 值時，一般總比基態(tài)能量大。再通過求變分，以 得盡可能小的平均值及相應(yīng)波函數(shù)，使之較為接 近真值。當(dāng)然，這平均值仍大于等于基態(tài)能量， 即由變分給出的平均值是基態(tài)能量的上限。 （2）Ritz 變分法 現(xiàn)可利用變分原理到具體問題上，以求體系 的近似本征能量和本征函數(shù)。 基本思想：根據(jù)物理上的考慮給出含一組參,量的試探波函數(shù) A.求能量平均值，以 表示， B. 對 求極值，從而確定 顯然，

5、（基態(tài)能量）,當(dāng)然，如果要求第 條能級的近似本征值 和本征函數(shù)，則要求知道第一條（基態(tài)） 第 條能級的波函數(shù)，（設(shè) 已歸一化）。取試探波函數(shù) ，然后處理一 下，給出新的波函數(shù) 再求 的極值，定出,從而給出第 條能級的近似本征值（即上限） 及近似波函數(shù),所以，是第 條能級的上限。 例：求氦原子的基態(tài)能量(即外有兩個電子) 我們知道，氦原子的哈密頓量為（忽略）,從物理上考慮，當(dāng)二個電子在原子中運動， 它們互相屏蔽，使每個電子感受到原子核的作 用不是兩個單位的正電荷，而是比它小。究竟 是多少？很自然可把它當(dāng)作待定參量，利用 Ritz 變分法來求基態(tài)能量的近似值。 因類氫離子的基態(tài)波函數(shù)為,則 滿足

6、所以，取試探波函數(shù)為,顯然， 于是,（這里 是已歸一化的）,Ritz變分，是由給定 （函數(shù)形式給定） ，即 ，僅改變參量 ，使 取極?。ǖ瘮?shù)形式不變） ，所以只能得到近似的本征函數(shù)和本征值的上限,8.3 量子躍遷 前二節(jié)，我們解決的是 與 無關(guān)，但不 會直接求解，而利用 有解析解，并且 較小，通過定態(tài) 微擾論求解 的近似本征值和本征函數(shù),或通過變分法，利用試探波函數(shù)，來獲得所求 能級的能量上限。 現(xiàn)在要處理的問題是：體系原處于 的本征 態(tài)（或疊加），而后有一微擾 作用到該體 系。因此， 與 有關(guān) 顯然，這時體系的能量不是運動常數(shù)，其狀 態(tài)并不處于定態(tài)（即使 在一段時間中不變）， 在 的各定態(tài)

7、中的幾率并不是常數(shù)，而是隨時 間變化的。,也就是，體系可以從 的一個態(tài)以一定幾 率躍遷到另一態(tài)，我們稱這為量子躍遷。處理這 樣的問題就需要利用含時間的微擾論。 總之，含時間的微擾論就是處理體系所處的 位勢隨時間發(fā)生變化時，或變化后，體系所處狀 態(tài)發(fā)生的變化。 (1) 含時間的微擾論： 與 有關(guān)，體系的 哈氏量原為 ，隨 有一微擾,因 不顯含 ，而有 則 的通解為,而 是常數(shù) 而當(dāng) 時，即 時，處于 即微擾不存在時，體系處于定態(tài) 上。 當(dāng)微擾存在時，特別是與 有關(guān)時，則體 系處于 的各本征態(tài)（或定態(tài)）的幾率將可 能隨時間發(fā)生變化,設(shè)： 當(dāng)然， 仍可按 的定態(tài) 展開。但由于 不是 的定態(tài)，所以展開

8、系數(shù)是與 有 關(guān)。,代人S.eq. 與 標(biāo)積，得,于是有,（ 為 的本征態(tài)） 是 時刻，以 描述的體系，處 于 的本征態(tài) 中的幾率振幅。實際上，上 式是S.eq.在 表象中的矩陣表示。這方程的 解依賴初態(tài)和 。 假設(shè) 很小，可看作一微擾，則可通過 逐級近似求解。 令,則有,于是有解 ，它 與 無關(guān) 由初條件 時，體系處于 即得 于是有,又由,由此類推 而,（2） 躍遷幾率：若 很小，即躍 遷幾率很小。我們只要取一級近似即可，則 這表明，體系在 時刻處于 定態(tài) 。在 時刻，體系可處于 的定 態(tài) ， 而其幾率振幅為 （ ）。 因此，我們在 時刻，測量發(fā)現(xiàn)體系處于 這一態(tài)的幾率為,例1：處于基態(tài)（

9、）的氫原子，受 位勢 （ 為實參數(shù)）擾動, 求 時，處于態(tài) 的幾率,求, 選擇定則：由 , 對 選擇定則為：,當(dāng) 很大（即微擾時間很短）， 所以氫原子受擾動后仍處于基態(tài)（Sudden 近 似）; 當(dāng) 很?。ㄎ_緩慢加上），,所以氫原子經(jīng)擾動后仍處于基態(tài)（非簡并態(tài)） (Adiabatic 近似）。 例2將自旋為 ，磁矩為 的粒子 置于轉(zhuǎn)動磁場中,時，粒子處于 的狀態(tài)，討 論躍遷情況 解：設(shè) 時，粒子處于 ，末態(tài)為,僅與自旋相關(guān)，所以其它量子數(shù)應(yīng)不變 。而 時處于 ，所以僅 項引起躍遷，而 項不引起躍遷。,于是 （3） 微擾引起的躍遷 A.常微擾下的躍遷率：在某些實驗中，,微擾常常是不依賴于 的（在作用時間內(nèi)） （ ）,所以， 時，體系處于 本征態(tài) ， 而在 時刻，體系處于 的本征態(tài) 的幾 率為 （當(dāng) 時，一級近似就滿足了）,總躍遷幾率為 ( 是末態(tài)能量為 的態(tài)密度，要注意的 是 的能級密度，而不是 的。) 單位時間躍遷幾率（稱為躍遷速率或躍遷 率）,而 所以，當(dāng) t 足夠大，則有,它表明： 躍遷率與時間無關(guān)。通常