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1、,2,一、重點與難點,重點：,難點：,留數(shù)的計算與留數(shù)定理,留數(shù)定理在定積分計算上的應用,3,二、內(nèi)容提要,留數(shù),計算方法,可去奇點,孤立奇點,極點,本性奇點,函數(shù)的零點與 極點的關(guān)系,對數(shù)留數(shù),留數(shù)定理,留數(shù)在定積 分上的應用,輻角原理,路西原理,4,1. 孤立奇點的概念與分類,2）孤立奇點的分類,內(nèi)的洛朗級數(shù)的情況分為三類:,i) 可去奇點; ii) 極點; iii) 本性奇點.,5,i) 可去奇點,6,ii) 極點,7,極點的判定方法,在點 的某去心鄰域內(nèi),其中 在 的鄰域內(nèi)解析, 且,(b) 由定義的等價形式判別,8,iii)本性奇點,9,3)函數(shù)的零點與極點的關(guān)系,10,2. 留數(shù),

2、11,12,如果 為 的一級極點, 那末,a),2)留數(shù)的計算方法,13,14,3)無窮遠點的留數(shù),15,定理,16,3. 留數(shù)在定積分計算上的應用,1）三角函數(shù)有理式的積分,正方向繞行一周.,17,18,2）無窮積分,19,3）混合型無窮積分,20,特別地,21,4.對數(shù)留數(shù),22,輻角原理,路西定理,23,三、典型例題,解,24,解,25,26,例2 求函數(shù) 的奇點，并確 定類型.,解,是奇點.,是二級極點;,是三級極點.,27,例3 證明 是 的六級極點.,證,28,例4 求下列各函數(shù)在有限奇點處的留數(shù).,解,(1)在 內(nèi),29,解,30,解,為奇點,當 時 為一級極點，,31,32,解,的一級極點為,33,例5 計算積分,為一級極點， 為七級極點.,解,34,由留數(shù)定理得,35,例6,解,在 內(nèi),36,37,解,例7 計算,38,39,例8 計算,解,令,40,極點為：,41,例9 計算積分,解,極點為,其中,由留數(shù)定理，有,42,43,例

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