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1、2020/8/3,阜師院數(shù)科院,第 四 章 留 數(shù) 定 理,4.1 留數(shù)定理,回憶柯西定理:如果 f(z) 是復(fù)閉通區(qū)域上的解析函數(shù),則,這樣的積分不為零,必定包含奇點(diǎn)。因此,研究奇點(diǎn)是求積分的第一要務(wù)。,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,1. 定理,設(shè)函數(shù) f(z) 在回路 l 所圍區(qū)域 B 是除有限個孤立奇點(diǎn) ,外解析,在閉區(qū)域 上除點(diǎn) 外連續(xù),則,又:,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,證明,如圖,當(dāng)區(qū)域中含有一個孤立奇點(diǎn)時在其收斂環(huán)可寫,當(dāng)區(qū)域中有 n 個孤立奇點(diǎn)時,#,柯西定理,閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外境界線逆時鐘方向的積分 等于沿所有內(nèi)境界線逆時鐘方向的積分的和。,一個孤立奇點(diǎn),20
2、20/8/3,阜師院數(shù)科院,當(dāng)區(qū)域中有 n 個孤立奇點(diǎn)時,#,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,2. 留數(shù)的計算,A. 單極點(diǎn)的情況:,作為冪零項(xiàng),B. m 階極點(diǎn)的情況,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,m-1 次求導(dǎo)后 項(xiàng)為冪零項(xiàng),2020/8/3,阜師院數(shù)科院,首先必須確定極點(diǎn)的階!,分析經(jīng)驗(yàn),2020/8/3,阜師院數(shù)科院,3. 例,(1),處的留數(shù)。,解,分母的因式分解,一個單極點(diǎn),(2),求 的極點(diǎn),以及在極點(diǎn)上的留數(shù)。,解,極點(diǎn)為,無窮多個單極點(diǎn),2020/8/3,阜師院數(shù)科院,(3),求 的極點(diǎn),以及在極點(diǎn)上的留數(shù)。,解,A. 單極點(diǎn),2020/8/3,阜師院數(shù)科院,(4),計算沿
3、單位圓 的如下回路積分。,解,尋找被積函數(shù)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn),即它的分母在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)。,B. 3階極點(diǎn),2020/8/3,阜師院數(shù)科院,其中,在單位圓外。,又,在單位圓內(nèi),2020/8/3,阜師院數(shù)科院,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,4.2 應(yīng)用留數(shù)定理計算實(shí)變函數(shù)定積分,留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)的定理,若要在實(shí)變函數(shù)定積分中應(yīng)用,必須將實(shí)變函數(shù)變?yōu)閺?fù)變函數(shù)。這就要利用解析延拓的概念。留數(shù)定理又是應(yīng)用到回路積分的,要應(yīng)用到定積分,就必須將定積分變?yōu)榛芈贩e分中的一部分。,如圖,對于實(shí)積分 ,變量 x 定義在閉區(qū)間 a,b (線段 ),此區(qū)間應(yīng)是回路 的一部分。實(shí)積分 要變?yōu)榛芈贩e分,則實(shí)函數(shù)必須解
4、析延拓到復(fù)平面上包含回路的一個區(qū)域中, 而實(shí)積分 成為回路積分的一部分:,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,左邊可以利用留數(shù)定理,右邊對 的積分在解析延拓允許的情況下,可以自由選擇,通常選擇 使積分最易完成。這樣可以完成實(shí)變函數(shù)定積分。,現(xiàn)在,大部分這樣的積分可以應(yīng)用計算軟件完成,我們在這兒只給出最基礎(chǔ)的類型。,類型一:三角函數(shù)的有理式的積分,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,變量變換,積分區(qū)域變換:線段到單位圓。,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,例,解,類型二:,其中,復(fù)變函數(shù) f(z) 在實(shí)軸上無奇點(diǎn),在上半平面除有限個奇點(diǎn)外是解析的;當(dāng) z 在實(shí)軸和上半平面趨于無窮大時,zf(z) 一致地趨
5、于零。,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,這個積分通??醋鳛闃O限,而當(dāng) 時,此極限稱為 I 的主值,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,例,n 為正整數(shù).,解:,上半平面上有 n 階極點(diǎn) i 。,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,類型一:三角函數(shù)的有理式的積分,變量變換,類型二:,f(z) 在實(shí)軸上無奇點(diǎn),在上半平面除有限個奇點(diǎn)外解析;當(dāng) z 在實(shí)軸和上半平面趨于無窮大時,zf(z) 一致地趨于零。,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,類型三:,偶函數(shù) F(z) 和奇函數(shù) G(z) 在實(shí)軸上無奇點(diǎn),在上半平面除有限個奇點(diǎn)外是解析的;當(dāng) z 在實(shí)軸和上半平面趨于無窮大, F(z) 和 G(z) 一致地趨于零。,作變換,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,約當(dāng)引理,對于正整數(shù) m ,上述極點(diǎn)沿 的積分為,證,同理,2020/8/3,阜師院數(shù)科院,只需證明,有界。,是一條對角線,在 范圍
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