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文檔簡介

1、1,實例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？,問題的實質(zhì)：應沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即負梯度方向）爬行,一、問題的提出,第六節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度,2,討論函數(shù) 在一點P沿某一方向的變化率問題,二、方向?qū)?shù)的定義,（如圖）,3,當 沿著 趨于 時，,是否存在？,4,記為,5,(2)方向?qū)?shù)與偏導數(shù)的關系,6,7,8,證明,由于函數(shù)可微，則增量可表示為,兩邊同除以,得到,9,故有方向?qū)?shù)

2、,10,例1 已知平面x o y上各點的溫度T = x2 + y2， 求在點（1，1）處沿與x軸正向成30o，45o 轉(zhuǎn)角方向的溫度變化率。,（1,1）,0,x,y,l1,l2,解,因 T = x2+y2 可微分，所以有,11,解,12,推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義,13,14,解,令,故,方向余弦為,15,故,16,三、梯度的概念,17,18,結(jié)論：,19,在幾何上 表示一個曲面,曲面被平面 所截得,所得曲線在 x o y 面上投影如圖,等高線,梯度為等高線上的法向量,20,等高線的畫法,播放,21,例如,22,梯度與等高線的關系：,23,類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.,梯度的概念可以推廣到三元函數(shù),24,25,解,由梯度計算公式得,故,26,27,等高線的畫法,28,等高線的畫法,29,等高線的畫法,30,等高線的畫法,31,等高線的畫法,32,

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