第二章-z變換與離散時間傅里葉變換.ppt

1、第二章 z變換和DTFT,本章主要內容：,1、z變換的定義及收斂域 2、z變換的反變換 3、z變換的基本性質和定理 4、離散信號的DTFT 5、z變換與DTFT的關系 6、離散系統(tǒng)的z變換法描述,2.1 z變換的定義及收斂域,信號和系統(tǒng)的分析方法有兩種： 時域分析方法 變換域分析方法 連續(xù)時間信號與系統(tǒng) LT FT 離散時間信號與系統(tǒng) ZT FT,一、ZT的定義,z 是復變量，所在的復平面稱為z平面,二、ZT的收斂域,對于任意給定序列x(n)，使其z變換X(z)收斂的所有z值的集合稱為X(z)的收斂域。 級數(shù)收斂的充要條件是滿足絕對可和,1）有限長序列,除0和兩點是否收斂與n1和n2取值情況有

2、關外，整個z 平面均收斂。,如果n20 ，則收斂域不包括點 如果n10 ，則收斂域不包括0點 如果n10n2，收斂域不包括0 、點,2）右邊序列,因果序列的z變換必在處收斂 在處收斂的z變換， 其序列必為因果序列,3）左邊序列,4）雙邊序列,例1,收斂域應是整個z的閉平面,例2：求x(n)=RN(n)的z變換及其收斂域,例3：求x(n)=anu(n)的變換及其收斂域,例4：求x(n)=-anu(-n-1)的變換及其收斂域,例5：求x(n)=a|n|，a為實數(shù)，求ZT及其收斂域,給定z變換X(z)不能唯一地確定一個序列，只有同時給出收斂域才能唯一確定。 X(z)在收斂域內解析，不能有極點，故：

3、右邊序列的z變換收斂域一定在模最大的有限極點所在圓之外 左邊序列的z變換收斂域一定在模最小的有限極點所在圓之內,2.2 z反變換,實質：求X(z)冪級數(shù)展開式 z反變換的求解方法： 圍線積分法（留數(shù)法） 部分分式法 長除法,z反變換: 從X(z)中還原出原序列x(n),1、圍數(shù)積分法求解（留數(shù)法）,若函數(shù)X(z)zn-1在圍數(shù)C上連續(xù)，在C以內有K個極點zk，而在C以外有M個極點zm，則有：,1、圍數(shù)積分法求解（留數(shù)法）,根據(jù)復變函數(shù)理論，若函數(shù)X(z)在環(huán)狀區(qū)域 內是解析的，則在此區(qū)域內X(z)可展開成羅朗級數(shù)，即 而 其中圍線c是在X(z)的環(huán)狀 收斂域內環(huán)繞原點的一條 反時針方向的閉合單

4、圍線。,若F(z)在c外M個極點zm，且分母多項式z的階次比分子多項式高二階或二階以上，則：,利用留數(shù)定理求圍線積分，令,若F(z)在圍線c上連續(xù)，在c內有K個極點zk，則：,單階極點的留數(shù)：,思考：n=0,1時，F(xiàn)(z)在圍線c外也無極點，為何,2、部分分式展開法求解IZT ：,常見序列的ZT參見書p.54頁的表2-1,若函數(shù)X(z) 是z的有理分式，可表示為：,利用部分分式的z反變換和可以得到函數(shù)X(z) 的z反變換。,例2設 利用部分分式法求z反變換。,解：,3、冪級數(shù)展開法求解（長除法）:,一般X(z)是有理分式，可利用分子多項式除分母多項式（長除法法）得到冪級數(shù)展開式，從而得到x(n

5、)。,1、線性性,2.3 Z變換的基本性質和定理,R1R2,R,|a|R,R,2、序列的移位,3、z域尺度變換 （乘以指數(shù)序列）,4、 z域求導 （序列線性加權）,Z變換的基本性質（續(xù)）,5、翻褶序列,1/R,R,6、共軛序列,7、初值定理,8、終值定理,Z變換的基本性質（續(xù)）,9、有限項累加特性,ZT的主要性質參見書p.69頁的表2-2,10、序列的卷積和,11、序列乘法,12、帕塞瓦定理,2.4 序列ZT、連續(xù)信號LT和FT的關系,若：,連續(xù)信號采樣后的拉氏變換LT,抽樣序列：,當,兩變換之間的關系，就是由復變量s平面到復變量z平面的映射，其映射關系為,對比：,進一步討論這一映射關系：,1

6、,s平面到z平面的 映射是多值映射。,:,:,:,:,抽樣序列在單位圓上的z變換，就等于其理想抽樣信號的傅里葉變換,數(shù)字頻率w表示z平面的輻角，它和模擬角頻率W的關系為,在以后的討論中，將用數(shù)字頻率w來作為z平面上單位圓的參數(shù)，即,所以說，數(shù)字頻率是模擬角頻率的歸一化值，或是模擬頻率對抽樣頻率的相對比值乘以2p,2.5 離散信號的付氏變換DTFT,一、DTFT的定義,變換對：,稱為離散時間傅里葉變換（DTFT）。,FT存在的充分必要條件是：,如果引入沖激函數(shù)，一些絕對不可和的序列，如周期序列，其傅里葉變換可用沖激函數(shù)的形式表示出來。,二、比較ZT和DTFT的定義：,利用ZT和DTFT的關系可以

7、有ZT計算DTFT。,序列的傅里葉變換是序列的z變換在單位圓上的值,例1、計算門序列的DTFT,(類似Sa(.)函數(shù) ),(線性相位),解：,DTFT,幅頻特性：,相頻特性：,圖示說明：,例2、已知 ( ),計算其DTFT。,由此可以得到FT的幅頻特性和相頻特性,物理說明: 若 (語音信號處理中常用該指數(shù) 函數(shù)展寬單音信號的頻譜) ,該信號3db帶寬 (或 )。具體求 解過程如下： 令 即 可解出,三、FT與DTFT的關系,歸一化,利用FT與DTFT關系計算下列序列的 DTFT,例：,解：1）,2）,3）,2.6 DTFT的一些性質,1、線性性：,2、實序列：,實偶性：,實奇性：,3、時移特性

8、：,4、乘以指數(shù)序列 （調制性）,5、序列線性加權,6、序列翻褶,7、序列共軛,8、卷積定理： (時域) (頻域),DTFT的主要性質參見書p.78頁的表2-3,9、帕色伐爾定理：(Parseval Theory),頻域卷積在一周期內積分,稱周期卷積。,下面舉例說明DTFT性質得使用。計算下列積分I的值。,解：根據(jù),利用時域卷積定理有：,上式卷積n=0時就是積分I的值。,2.7 周期性序列的DTFT,1、復指數(shù)序列的傅里葉變換,復指數(shù)序列ejw0n的傅里葉變換，是以w0為中心，以2p的整數(shù)倍為間距的一系列沖激函數(shù)，其積分面積為2p 思考，DTFTcos(w0n+f)、 DTFTsin(w0n+

9、f),2、常數(shù)序列的傅里葉變換,常數(shù)序列的傅里葉變換，是以w=0為中心，以2p的整數(shù)倍為間距的一系列沖激函數(shù)，其積分面積為2p,3、周期為N的抽樣序列串的傅里葉變換,周期為N的周期性抽樣序列，其傅里葉變換是頻率在w=2p/N的整數(shù)倍上的一系列沖激函數(shù)之和，這些沖激函數(shù)的積分面積為2p/N,4、一般性的周期為N的周期性序列的傅里葉變換,周期性序列 （周期為N）的傅里葉變換是一系列沖激函數(shù)串，其沖激函數(shù)的積分面積等于 乘以2p/N ，而 是x(n) 的一個周期的傅里葉變換X(ejw)在頻域中w= 2p/N的整數(shù)倍的各抽樣點上的抽樣值。,即：,e滿足0e 2p/N,從w=0之前開始抽樣； 在w=2p

10、之間結束抽樣； 此區(qū)間共有N個抽樣值： 0kN-1,周期序列的DFS正變換和反變換,周期序列的傅里葉級數(shù)（DFS）,其中：,2.8 Fourier變換的對稱性質,共軛對稱序列：,共軛反對稱序列：,任意序列可表示成xe(n)和xo(n)之和:,其中：,定義：,其中：,同樣，x(n)的Fourier變換 也可分解成：,對稱性質,序列 Fourier變換,實數(shù)序列的對稱性質,序列 Fourier變換,實數(shù)序列的Fourier變換滿足共軛對稱性,實部是的偶函數(shù) 虛部是的奇函數(shù),幅度是的偶函數(shù) 幅角是的奇函數(shù),2.9 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)、系統(tǒng)的頻率響應,LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)： 單位抽樣響應h(n

11、)的z變換,其中：y(n)=x(n)*h(n) Y(z)=X(z)H(z),系統(tǒng)的頻率響應 ：,單位圓上的系統(tǒng)函數(shù),單位抽樣響應h(n)的DTFT,1、若LSI系統(tǒng)為因果穩(wěn)定系統(tǒng),穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的Roc須包含單位圓， 即頻率響應存在且連續(xù),H(z)須從單位圓到的整個z域內收斂即系統(tǒng)函數(shù)H(z)的全部極點必須在單位圓內,1）因果：,2）穩(wěn)定：,序列h(n)絕對可和，即,而h(n)的z變換的Roc：,3）因果穩(wěn)定：Roc：,2、系統(tǒng)函數(shù)與差分方程,常系數(shù)線性差分方程：,取z變換,則系統(tǒng)函數(shù),3、系統(tǒng)的頻率響應的意義,1）LSI系統(tǒng)對復指數(shù)序列的穩(wěn)態(tài)響應：,2）LSI系統(tǒng)對正弦序列的穩(wěn)態(tài)

12、響應,輸出同頻 正弦序列 幅度受頻率響應幅度 加權 相位為輸入相位與系統(tǒng)相位響應之和,3）LSI系統(tǒng)對任意輸入序列的穩(wěn)態(tài)響應,其中：,微分增量（復指數(shù)）：,4、頻率響應的幾何確定法,利用H(z)在z平面上的零極點分布,頻率響應：,則頻率響應的,令,幅角：,幅度：,零點位置影響凹谷點的位置與深度 零點在單位圓上，谷點為零 零點趨向于單位圓，谷點趨向于零 極點位置影響凸峰的位置和深度 極點趨向于單位圓，峰值趨向于無窮 極點在單位圓外，系統(tǒng)不穩(wěn)定,5、IIR系統(tǒng)和FIR系統(tǒng),無限長單位沖激響應（IIR）系統(tǒng)： 單位沖激響應h(n)是無限長序列,有限長單位沖激響應（FIR）系統(tǒng)： 單位沖激響應h(n)是有限長序列,IIR系統(tǒng)：至少有一