3.1.1__方程的根與函數(shù)的零點.ppt

1、第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.1 函數(shù)與方程 3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點,我國古代數(shù)學(xué)家已比較系統(tǒng)地解決了部分方程的求解的問題.如約公元50100年編成的九章算術(shù)，就給出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具體方法,11世紀(jì)，北宋數(shù)學(xué)家賈憲給出了三次及三次以上的方程的解法。 13世紀(jì)，南宋數(shù)學(xué)家秦九韶給出了求任意次代數(shù)方程的正根的解法,今天我們來學(xué)習(xí)方程的根與函數(shù)的零點！,1.理解函數(shù)零點的概念，了解函數(shù)零點與方程根的關(guān)系.（難點） 2.掌握函數(shù)零點的判斷方法并會判斷函數(shù)零點的個數(shù).(易錯點） 3.會求函數(shù)的零點.（重點）,探究：下列一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象有何關(guān)系？ （1）方程

2、x2-2x-3=0與函數(shù)y=x2-2x-3 （2）方程x2-2x+1=0與函數(shù)y=x2-2x+1 （3）方程x2-2x+3=0與函數(shù)y=x2-2x+3,方程,x2-2x+1=0,x2-2x+3=0,y=x2-2x-3,y=x2-2x+1,函數(shù),函 數(shù) 的 圖 象,方程的實數(shù)根,x1=-1,x2=3,x1=x2=1,無實數(shù)根,(-1,0)、(3,0),(1,0),無交點,x2-2x-3=0,y=x2-2x+3,函數(shù)的圖象 與x軸的交點,x,y,1,3,2,1,1,2,1,2,3,4,.,.,.,.,0,.,方程ax2+bx+c =0(a0)的根,函數(shù)y=ax+bx +c(a0)的圖象,判別式=

3、b24ac,0,=0,0,函數(shù)的圖象 與x軸的交點,有兩個相等的 實數(shù)根x1=x2,沒有實數(shù)根,(x1,0),(x2,0),(x1,0),沒有交點,兩個不相等 的實數(shù)根x1、 x2,一般結(jié)論,一般地，方程f(x)=0的實數(shù)根，也就是其對應(yīng)函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo).,即方程f(x)0有實數(shù)根 函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點,對于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù)x 叫做函數(shù)y=f(x)的零點.,函數(shù)零點的定義：,注意：,零點不是一個點,零點指的是一個實數(shù),方程f(x)0有實數(shù)根 函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點 函數(shù)yf(x)有零點,方程 的根是函數(shù) 的圖象與 軸的

4、交點的橫坐標(biāo).,由此可知，求方程f(x)=0的實數(shù)根，就是求函數(shù)y= f(x)的零點.對于不能用公式法求根的方程f(x)=0來說，可以將它與函數(shù)y=f(x)聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點，從而求出方程的根.,函數(shù)零點既是對應(yīng)方程的根，又是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo).,零點是對于函數(shù)而言，根是對于方程而言,例1 函數(shù)f(x)=x(x4)的零點為（ ） A(0，0)，(2，0) B0 C(4，0)，(0，0)， D4，0,D,由x(x4)=0得x=0或x=4. 注意：函數(shù)的零點是實數(shù)，而不是點.,探究：如何求函數(shù)的零點？,哪一組能說明小明的行程一定曾渡過河？,（1）,（2）,如何求函數(shù)的零點？,

5、1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,x,y,O,-1,-2,-1,-4,-3,-2,觀察二次函數(shù)f(x)x22x3的圖象： 在區(qū)間-2，1上有零點_； f(-2)=_，f(1)=_， f(-2)f(1)_0(填“”或“”) 在區(qū)間(2，4)上有零點_； f(2)f(4)_0（填“”或 “”）,x=1,4,5,x=3,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,x,y,O,-2,-1,-4,-3,-2,-1,思考：觀察圖象填空，在怎樣的條件下， 函數(shù) 在區(qū)間 上存在零點？,有,有,有,在區(qū)間(a,b)上,f(a)f(b)_0(填“”或 “”)在區(qū)間(a,b)上,_(填“有”或“無”)零 點；在區(qū)

6、間(b,c)上,f(b)f(c) _0(填“”或 “”)在區(qū)間(b,c)上,_(填“有”或“無”)零 點；在區(qū)間(c,d)上f(c)f(d) _0(填“”或 “”)在區(qū)間(c,d)上,_(填“有”或“無”) 零點；,有,a,b,c,【提升總結(jié)】,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，即存在c(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根。,例2 判斷正誤，若不正確，請使用函數(shù)圖象舉出反例 （1）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a)f(b)0，則f(x)在區(qū)間(a,b)

7、內(nèi)有且僅有一個 零點.（ ） （2）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a)f(b)0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)沒有零點.（ ） （3）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上滿足f(a)f(b) 0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零點.（ ）,解：（1）已知函數(shù)y=f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且 f(a)f(b) 0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個 零點. （ ）,如圖,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有3個零點,故“在區(qū)間(a,b) 內(nèi)有且僅有一個零點”的說法是錯誤的.,（2）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a)f(b) 0，則f(x)在區(qū)間(a,b)

8、內(nèi)沒有零點.（ ）,a,b,O,x,y,可知，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a) f(b)0，但f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點.故論斷不正確。,如圖,（3）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上滿足f(a)f(b)0， 則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零點.（ ）,雖然函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上滿足f(a)f(b) 0,但是圖象不是連續(xù)的曲線，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)不存在零點.,如圖,若函數(shù)y=5x2-7x-1在區(qū)間a,b上的圖象 是連續(xù)不斷的曲線，且函數(shù)y=5x2-7x-1在(a, b)內(nèi)有零點，則f(a)f(b)的值( ) A.大于0 B.小于0 C.無法判斷 D.等于

9、0,C,【變式練習(xí)】,由表可知f(2)0，,由于函數(shù)f(x)在定義域(0,+)內(nèi)是增函數(shù)，所以它僅有一個零點,用計算器或計算機(jī)作出x、f(x)的對應(yīng)值表和圖象；,例3.求函數(shù)f(x)=lnx+2x6的零點的個數(shù).,解：,-4,-1.306 9,1.098 6,3.386 3,5.609 4,7.791 8,9.945 9,12.079 4,14.197 2,方法一,f(x)=lnx+2x6,從而f(2)f(3)0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點,10,8,6,4,2,-2,-4,5,1,2,3,4,6,x,y,O,y=2x+6,y=lnx,即求方程lnx+2x-6=0的根的個數(shù)，即求ln

10、x=6-2x的根的個數(shù)，即判斷函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=6-2x的交點個數(shù),如圖可知，只有一個交點，即方程只有一根，函數(shù)f(x)只有一個零點.,方法二：,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)f(b)0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點.,【提升總結(jié)】,求方程2-x =x的根的個數(shù)，并確定根所在的區(qū)間n，n+1(nZ),解：求方程 的根的個數(shù)，即求方程 的根的個數(shù)，即判斷函數(shù) 與 的圖象交點個數(shù).由圖可 知只有一個解.,【變式練習(xí)】,估算f(x)在各整數(shù)處的取值的正負(fù)：,令,由上表可知，方程的根所在區(qū)間為,+,.無數(shù)個,（ ）,（）,3.函數(shù)f(x)=x3+x-1在下列哪個區(qū)間內(nèi)有零點（ ),A.(-2，-1) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3),B,4.函數(shù)f(