第5章巖土體穩(wěn)定理論章5-極限穩(wěn)定分析20101101.ppt

1、路基工程理論與技術 Theory and Technology of Subgrade Engineering 主講教師：王連俊 教師單位：土建學院道鐵系 授課班級：道鐵2010碩士 授課學時：32學時 授課時間：8周（10.11-12）,2020/8/10,2,第5章 極限穩(wěn)定分析,如果忽略材料的強化和物體由于變形而引起的幾何尺寸改變，則當外力達到某值時，理想塑性體可在外力不變的情況下，發(fā)生無限制的塑性變形塑性流動。這時，就稱物體處于極限狀態(tài)，或者說，物體瀕臨塑性破壞狀態(tài)。 與極限狀態(tài)或破壞狀態(tài)相對土的荷載叫做物體的極限荷載(或極限承載能力)或破壞荷載。 本章將主要介紹理想塑性體處于極限狀態(tài)

2、的原理，即是所謂上限和下限原理；另外也要涉及到滑移場理論和極限平衡理論。,2020/8/10,3,5.1 塑性和破壞 5.1.1 土的破壞型式,作用于土體上的面力和體力系將引起土體內部的應力與應變的變化。應變的變化常常有一部分是彈性的，并立即可以恢復，但也可以產生一部分不可恢復的顯著的塑性應變(在部分發(fā)生屈服)。 當外力增加時，土體內有些部分可漸漸 達到其抗剪強度極限。一旦這一部分足夠擴大，以致形成不穩(wěn)定的機理，就將發(fā)生無限制的屈服。只要能夠保持外力，則不管土體的幾何形狀怎樣改變，這個屈服將是連續(xù)增加的。這個無限制屈服(不穩(wěn)定的)稱為破壞。,2020/8/10,4,總的說來，土的破壞與土類、土

3、的物理狀態(tài)，外荷條件，加荷速率等等有關。 其型式可分為斷裂破壞和剪切破壞兩大類。 在剪切破壞型式中又可分為脆性剪斷和塑性流動兩類。 例如強超固結粘土在低3條件下，或qu試驗中可得到斷裂破壞的型式，而正常固結粘土則一般多呈塑性流動破壞的型式。,2020/8/10,5,5.1.2 土的破壞與屈服 如前所述，屈服與破壞并不是同一概念。 屈服是指：土的彈性變形的上限，超過屈服點，土并不一定破壞，從屈服到破壞之間有一個塑性變形的范圍。 只有像堅硬巖石那樣的脆性材料，則往往破壞之前，只有彈性變形。一旦超過彈性極限立即產生破壞。對這種材料才可定義為：屈服即破壞，如圖101(a)所示。,圖101 各類土的屈服

4、和破壞,2020/8/10,6,理想的線彈性完全塑性體(圖101(b)，不是脆性材料。當達到彈性極限之后，會產生連續(xù)不斷的流動變形。因此，對于這種材料，可以認為彈性變形與塑性變形的界限十分清楚，屈服點也等于塑性流動的起始點，最后這種材料要趨于破壞。 由于屈服條件與應變無關，在此情況下，屈服條件與破壞條件是相同的。 然而，實際的土十分復雜，如圖101(c)所示，達到 a 點以后，一般都屬于塑性變形，這種情況要定義實際土的屈服點和破壞點十分困難。 應變軟化或塑性流動的(A)類土雖破壞極限較明確(即a點)，但以a點為屈服點就不十分準確； 應變硬化(B)類土，則破壞點不易確定，屈服點就更不明確了。,2

5、020/8/10,7,5.1.3 土的破壞狀態(tài)分析 引起土體破壞的外力系稱為破壞荷載或極限荷載。 原則上平衡條件和應變相容條件以及材料的應力應變性狀就足夠決定破壞前的應力和位移的分布。 實際上，土的應力應變性狀是如此復雜而且與荷載歷史有關，以致在進行土工結構物的分析時，常常需要加以大力簡化。 另一方面，由于我們只要求結構物的破壞荷載，則可以不考慮具體的加載歷史而直接采用極限原理求解。這樣只考慮極限狀態(tài)的方法不但比較簡單，而在實際問題中又有一定的意義。,2020/8/10,8,如果采用塑性理論中的極限分析方法來研究土在塑性區(qū)內的應力和應變率問題，就必須將實際土簡化為理想完全塑性材料，即將圖101

6、(c)的應變軟化實曲線簡化為一種塑性體應力應變關系線(即圖101(c)中虛線)。,2020/8/10,9,其關鍵問題在于折點如何選擇，若土體中各點應變均勻，這種土將在相同時刻發(fā)展其峰值強度，塑性區(qū)內最大平均強度，接近峰值強度，則折點可取峰值點；若土體的大部分要經歷較大的塑性應變才破壞，塑性區(qū)的平均強度更接近于殘余強度，則折點應取殘余強度或終值。所以在土的極限分析中，常采用下面幾個假定： 1 屈服條件與應變無關，不考慮彈性階段的變形。 2 沒有強化效應和應變軟化現象，屈服條件與破壞條件相同。 3 變形足夠小，變形前后都能使用同一個平衡方程。 4 在獲得極限(破壞)荷載前，土體不失去穩(wěn)定性。,20

7、20/8/10,10,在土的極限分析中，主要應該求出極限荷載的大小，即要知道土體在極限狀態(tài)下，能承受多大的荷載，如果超過這個荷載值，土體即將破壞，當由完全塑性材料組成的土體處于破壞點時，土體的某區(qū)域必定已經達到其抗剪強度極限(即超過了屈服點)。這個區(qū)域必須足夠的大，以便形成不穩(wěn)定機理。 例如地基穩(wěn)定性被破壞后，至少基礎底面以下和兩側有相當大的區(qū)域達到了極限狀態(tài)，荷載也達到了極限，于是形成了不穩(wěn)定機理。在這個塑性區(qū)域中，應力與應變分量必須滿足： 1. 平衡條件； 2. 屈服條件； 3. 控制屈服應力分量與應變速率之間關系的流動規(guī)則,2020/8/10,11,5.2 屈服條件與流動規(guī)則 5.2.1

8、 屈服條件與應變速率 如前所述，對于任何完全塑性的模型土，屈服條件與破壞條件是相同的。雖然摩爾庫侖屈服條件有些缺點，但是仍用于解決常見的實際問題，如土的極限分析等。屈服(以及破壞)條件可以寫成土的破壞型式,（101）,2020/8/10,12,為了使(101)式能配合應力平衡條件聯(lián)合求解，必須把(101)式予以演化，以y，z，yz各項表達出來。如圖102所示，利用幾何關系可得：,（102）,2020/8/10,13,在粘性土中上式中括號內的項可以始終視為外荷引起應力與內應力Ccot之和，公式推演起來較方便，且可把C的因素視為一種應力引起的強度分量。 若(y，z)坐標軸方向與大主應力作用方向夾角

9、，則又可利用幾何關系得：,（103）,2020/8/10,14,將(102)式代入(103)式即獲得破壞時的y，z，yz項的表達式：,（104）,同時，利用幾何關系可求得(y，z)坐標上的通過a點的兩平面與1的作用方向夾角為(/4-/2)。土在這兩個平面上達到了強度的極限，因此形成滑動線，破壞時沿滑動線將發(fā)生移動。注意這些滑動線是摩爾庫侖模型土的一個特征，并不意味著在真正土中會出現這樣一些滑動線。,2020/8/10,15,其次，根據完全塑性材料的假定，凡滿足屈服條件的塑性區(qū)內的任意應力狀態(tài)，只要繼續(xù)維持下去，都會引起無限制的塑性應變。因此屈服應力與塑性應變之間沒有直接的相互關系。于是，需要確

10、定的不是應變，而是應變相對于時間而增長的比率應變速率。應變速率的絕對值也不需要確定，因為在這種土工問題的研究中，只關心穩(wěn)定與否，并不規(guī)定土的特殊的流變性質。只要求了解塑性區(qū)內相對的應變率分量值，由它決定著應變率矢量的方向和塑性區(qū)土體變形的形狀。 總之，只要知道了塑性區(qū)內任何處的應變大小，就可以 確定該土體內任意一點的相對位移及位移速度。我們所關心的仍然是速度分量的相對大小，因為它決定著速度矢量的方向。換言之，要求出表示塑性區(qū)內各處運動的速度矢量的圖形速度場。,2020/8/10,16,（104b）,5.2.2 流動規(guī)則和塑性勢,2020/8/10,17,因而，對于莫爾庫侖材料，塑性勢函數可用下

11、列方程來確定：,（105a）,（106）,2020/8/10,18,2020/8/10,19,則相適應的流動規(guī)則可寫成下式：,（105b）,因此，如果將屈服應力分量及相應的應變率分量繪成圖形， 如圖103(a)所樂，由于屈服軌跡的斜率為tan 則可以看到應變率矢量正交于屈服軌跡。土力學中，屈服條件也可以表示為下列形式：,或,2020/8/10,20,相適應的流動規(guī)則可以用下式表達：,但是屈服軌跡的斜率為,（105c）,（105d）,2020/8/10,21,如圖103(b)所示，應變率矢量正交于屈服軌跡。這個正交條件可以表明采用相適應規(guī)則的一般結論,（a） （b） 圖103 應變速率矢量的正交

12、性,2020/8/10,22,5.2.3 實際土的流動規(guī)則,2020/8/10,23,（106a）,2020/8/10,24,又因整個單元是屈服的，故,所以將上式代入式(106a)得到：,（106b）,上式意味著，剪應力中整個摩擦所作的功在單元膨脹中被吸收，而能量消耗率只與C和p有關。如果沒有體積變化，那就沒有內摩擦角了。 例如對于飽和不排水的軟粘土來說，它的uu值及體積應變速率都是很小的，它的確符合上述相適應流動規(guī)則。 當然不是所有的摩擦材料都具有這種不斷剪脹的特性，如對砂土來講，內摩擦角o的中密以上的砂開始也可能產生剪脹，但它并不能一直不斷地繼續(xù)下去。試驗表明，即使在等體積條件下，砂一般仍

13、存在有摩擦阻力，因此很難認為砂土符合相適應的流動規(guī)則。,2020/8/10,25,雖然相適應的流動規(guī)則一般很難應用于實際土工問題，但把相適應的流動規(guī)則應用到模型土上常有其優(yōu)點。首先，許多如極限原理的塑性理論的證明需要正交條件；其次，研究地基破壞荷載等對邊界上的速度場很少加以特殊限制，而且破壞荷載對速度場的微小改變是不大敏感的，因而受到流動規(guī)則變化的影響甚微。,2020/8/10,26,5.3 極限分析原理 5.3.1 基本概念,理論上，平衡條件和屈服條件以及流動規(guī)則是足以確定速度場、應力分布以及破壞荷載的。然而，實際上除了很簡單的情況外，很少能獲得精確解答。大多數情況下只能獲得可用的近似解答，

14、例如上，下限原理、滑動線場有限差分法以及假定滑動面的近似解等。,2020/8/10,27,在載荷系作用下處于平衡的變形體，若給出一微小的虛變形(或位移)，那么由于外力(或荷載)所做的虛功必等于內力(或應力合力)所做的虛功。 應當指出，所謂虛變形，即不一定是實際的變形。 因而在產生虛變形的過程中真實的力所做的功就稱為虛功，這就是虛功原理。 它有兩個特點，(1)形狀的虛變化可以任意加入變形體上，不應把它與真實荷載所引起變形體形狀的變化混淆起來；(2)在虛功原理的論述中，根本沒有涉及變形體的材料特性，所以虛功原理適用于所有變形體。應用虛功原理時，所有力在虛變形中都當作常量。 設變形體處于平衡受力狀態(tài)

15、，體積為V，總表面積為A，變形體內部受力狀態(tài)為ij則在變形體內應為,2020/8/10,28,其中F為單位體積力，在表面上應有,Ti為作用表面上的力，ni為外法線n的方向余弦。因此，虛功原理可以用下列方程式表達：,當體積力Fi零時，上式為,式中ui為表面上虛變形。,(10-7a),(10-7b),2020/8/10,29,現在我們利用虛功原理來證明在極限狀態(tài)下，應變速率的彈性部分為零。 設對應于面力速率Ti和體力速率Fi的應力速率場為ij及應變速率場為ij,ij又分成彈性和塑性兩部分,利用虛功率原理，可得,在極限狀態(tài)下，外力為常值，所以,從上式得到,2020/8/10,30,對于理想塑性材料據

16、Drucker公設有,故有,(10-8),2020/8/10,31,5.3.2 極限分析原理,1靜力場和機動場 凡滿足平衡方程和力的邊界條件，并且不違背屈服條件的應力場，稱為靜力許可的應力場(或靜力場)，用符號ij*來表示，換句話說，ij*符合下列要求,2020/8/10,32,說明了兩個極限原理中的名詞含義，下面將介紹兩個極限分析原理，它又稱為極限分析的上下限定理，它是用來估計極限荷載大小最基本的定理。,2020/8/10,33,2下限定理 現研究承受已知荷載(也就是已知面力和體力系統(tǒng))的物體。假設選取了一任意應力場，即定出了物體內各處應力狀態(tài)的任意應力圖形。 如果任何地方的應力都不超過屈服

17、極限，則這應力場稱之為穩(wěn)定的應力場。 如果任意點應力與表面力和體積力相平衡，則按前述定義這應力場稱為靜力許可應力場。,2020/8/10,34,所以，對于一個完全塑性材料，如可求得一個穩(wěn)定的靜力許可應力場，則在已知荷載下土體不會發(fā)生破壞。但這并不意味著已知荷載是土體所能支持的最大荷載，因為還可找到另一種穩(wěn)定應力場，與另一較大的荷載相平衡。而破壞荷載不可能小于該荷載，只可能大于該荷載。 于是在與任何穩(wěn)定的靜力許可應力場相平衡的荷載中，選出其中最大者，它就是破壞荷載(極限荷載)的下限，或下限解這就是下限定理。 現證明如下；,2020/8/10,35,2020/8/10,36,2020/8/10,3

18、7,設粘土地基上的基礎寬度為B，作用在地面上的均布壓力為q，粘土的容重為r，不排水強度為Cuu。選取圖105(a),(a)所選應力場 (b)三個破壞區(qū)域的應力莫兒圓,2020/8/10,38,所示的任意應力場。因為地面上沒有剪應力，所以只有垂直應力和水平應力分量平衡就行。雖然，所選的應力場在實踐中是很不可能發(fā)生的，但這并不影響我們的論證。這里所討論的，就是應力場與面力和體力的平衡，即應力場是靜力許可的。如果沒有超過屈服應力，則根據圖105(b)的莫爾園可證明,（10-10）,因此，能夠與所選應力場平衡的最大荷載qmaxB是4CuuB，稱為可靜解，這個荷載就是破壞荷載的下界。,2020/8/10

19、,39,3. 上限定理 設選取一任意速度場，即決定物體內各處運動的任意速度圖形。如果運動與物體的連續(xù)性到處協(xié)調，與邊界上運動的任何約束也協(xié)調，那么速度場被稱為運動許可的。 如果荷載位移所做的功超過物體變形中消散的能量，則速度稱為不穩(wěn)定。 對于具有相適應流動規(guī)則的完全塑性材料，如果任何不穩(wěn)定的運動許可的速度場可以求得。那么在給定荷載下或者在二較小荷載下必定發(fā)生破壞，因此任何的運動許可的速度場，將內部能量消散等于外力做功而算得的荷載，就是真正破壞荷載的上限，或上限解這就是上限定理?，F證明如下：,2020/8/10,40,2020/8/10,41,由以上二式可得,（10-11，a）,根據正交法則有,

20、（10-11，b）,式(1011，a)同式(1011，b)矛盾，原假設不成立。這樣，第二極值定理上限定理得到證明。,2020/8/10,42,對于圖105所示的問題，現研究如圖106所示的在園形薄變形層上的滑動破壞。因為等于零，所以這個運動是與流動規(guī)則相協(xié)調的。在邊界上的位移也沒有約束。因此速度場是運動許可的?？偟哪芰肯⑺俾矢鶕?106，b),如圖106所示。,于是總的能量消散速率是,2020/8/10,43,外力做功的速率是,根據外力做功與內部能量消散相等，并在兩邊除以,得,2020/8/10,44,（10-12，a）,2020/8/10,45,因此它是破壞荷載的上限解。而實際的破壞荷載

21、可能介于上下限解兩者之間，即 （10-12，b）,2020/8/10,46,我們研究無支撐垂直邊坡臨界高度的確定問題。設垂直邊坡處于破壞點的高度為Hc，在坡外從上向下的開裂深度為nHc，如圖107所示。 1上限法解答 按外部所作的功等于內部能量消耗的原理推演。 設楔體以速度v運動。因滑楔的運動與滑動圓成角(圖107)，所以垂直速度是vcos(+)。于是重力做功的速率為,5.3.3 應用舉例,2020/8/10,47,內部能量消散速率為,令兩者相等，得：,2020/8/10,48,代入Hc的表達式得到，,(10-13),2020/8/10,49,2. 下限法解答 現研究圖108，a所示的應力場。

22、如果這個應力場滿足破壞條件，它既是可靜的又是穩(wěn)定的，那么莫爾園圖解(圖108，b)證明，在區(qū)域1的底部單元體進入破壞狀態(tài)時：,(a)所選應力場； (b)區(qū)域1底部破壞時莫爾圖 圖108 垂直邊坡的臨界高度,2020/8/10,50,(10-14) 下限,(10-13) 上限,2020/8/10,51,2020/8/10,52,5.4 滑動線場解答,2020/8/10,53,所以,（10-15，a）,2020/8/10,54,塑性區(qū)內的平衡條件可以寫作,（10-15，b）,將上面給出的應力分量值代入，就可以得到關于和的兩個聯(lián)合微分方程式。給出足夠的邊界條件后，這些方程式的解答得出塑性區(qū)內各點應力

23、分量的大小以及滑動線的方向，Kotter（1888）首先得出無粘性土的這種類型的方程，Jlky（1939）證明，Kotter方程式同樣適用于凝聚性材料。,2020/8/10,55,現研究一純粘性土（=0）地基上一條光滑底面的基礎穩(wěn)定性問題，假設土為無重介質，故式（10-15，b）中體積為Z，Y=0。可以證明，在=0的情況下，對數螺旋線演化為一圓弧地面內破壞面如圖10-10（a）所示。土的抗剪強度為：,根據圖10-9，應力分量yz以及yz可表示如下：,圖10一10 無重量上基表面上均布荷載作用下普朗特爾解答,2020/8/10,56,（10-16，a）,將此結果代入應力平衡方程式(1015，b)

24、，得：,（10-16，b）,2020/8/10,57,若使y、z軸與第一，第二滑動線分別重合，則=0，并且,式中Sa和Sb分別為沿a，b兩滑動線上的長度。上述方程式就變成：,（10-17）,這個方程式就是描述破壞面上應力變化的方程式，通常稱Kotter方程式。,2020/8/10,58,Kotter方程式并不隨所選擇的坐標方向而定，所以不必非取=0不可。若滑動線為直線，則沿線=const。得,這樣，式(1017)也變成,2020/8/10,59,沿a簇直線滑動線上,但沿b簇園弧滑動線就不同，設某滑動線其半徑為r， 則由式,2020/8/10,60,（10-18a）,將其積分可得：,（10-18b）,式中，A為待定常數。從=0處的邊界條件上應力可以給出，例如條基外側地基表面ad開始計算，那里=0,2020/8/10,61,2020/8/10,62,接著，在主動RankineI區(qū)內，平均主應力又是常數， 所以,2020/8/10,63,或,（10-19a）,2020/8/10,64,由于aa為主應力面(光滑基底)所以1就是條基下地基的極限承載力qf。這是Prandtl(1920)采用Kotter方程式求得的無重量土、=0地表上基礎問題的解答對于0，基礎破壞荷載的Prandtl解答是,（10-19b）,但若基土介質為0，并且有重量，般難以求得精確解答。,2020/8