1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)ppt課件 .ppt

1、1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì),1,1.定義域和值域,正弦函數(shù),定義域：R,值域：-1，1,時(shí)，取最大值1；,時(shí)，取最小值1；,正弦函數(shù)的圖象,2,1.定義域和值域,余弦函數(shù),定義域：R,值域：-1，1,余弦函數(shù)的圖象,時(shí)，取得最大值1.,時(shí)，取得最小值-1.,3,2.周期性 7,思考1：觀察上圖, 正弦曲線每相隔 個(gè)單位重復(fù)出現(xiàn).,.,2,其理論依據(jù)是什么？,誘導(dǎo)公式：,4,f(x+2k)=f(x),這就是說：當(dāng)自變量x的值增加到x+2k時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn).數(shù)學(xué)上，用周期性這個(gè)概念來定量地刻畫這種“周而復(fù)始”的變化規(guī)律。 我們把函數(shù)f(x)=sinx稱為周期函數(shù)，2k為這個(gè)函數(shù)的周期(

2、其中kz且k0).,思考2：設(shè)f(x)=sinx，則 可以怎樣表示？,5,思考3：把函數(shù)f(x)=sinx稱為周期函數(shù).那么，一般地，如何定義周期函數(shù)呢？,【周期函數(shù)的定義】對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有 f(x+T)=f(x) 那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T就叫做這個(gè)函數(shù)的周期.,6,思考4：周期函數(shù)的周期是否唯一？正弦函數(shù)y=sinx的周期有哪些？4,答：周期函數(shù)的周期不止一個(gè). 2，4，6，都是正弦函數(shù)的周期，事實(shí)上，任何一個(gè)常數(shù)2k(kz且k0)都是它的周期.,7,【最小正周期】 如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小

3、的正數(shù), 則這個(gè)最小正數(shù)叫做f(x)的最小正周期.,今后本書中所涉及到的周期，如果不加特別說明，一般都是指函數(shù)的最小正周期.,思考5：周期函數(shù)是否一定存在最小正周期？,例如：f(x)=c (c為常數(shù)）,否,所有的非零實(shí)數(shù)T都是它的周期，不存在最小正數(shù).,8,思考6：就周期性而言，對(duì)正弦函數(shù)有什么結(jié)論？對(duì)余弦函數(shù)呢？,根據(jù)上述定義，我們有 正弦函數(shù)是周期函數(shù)， 都是它的周期，最小正周期是 . 類似地，余弦函數(shù)的周期性是什么樣的呢？ 余弦函數(shù)是周期函數(shù)， 都是它的周期，最小正周期是 .,9,例1 求下列函數(shù)的周期： y=3cosx,xR; y=sin2x,xR; y=2sin( - ),xR;,即

4、3cos(x+2)= 由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為2,【解】, y=cosx的周期為 ，所以自變量x 只要并且至少需要增長到x+ ,余弦函數(shù)的值才會(huì)重復(fù)取得.,3cosx,10,y=sin2x,xR;,解:令z=2x，那么xR必須并且只需zR，且函數(shù)y=sinz， zR的T= . 即變量z只要并且至少要增加到z+ ，函數(shù)值才能重復(fù)取得， 而z+ =2x+ = 2（x+ ） 故變量x只要并且至少要增加到x+ ，函數(shù)值就能重復(fù)取得， 所以由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為 .,11,y=2sin( - ),xR;,所以由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為,解：令 ，那么xR必須并且只要

5、zR，且函數(shù)y=2sinz，zR的T= ，由 于 。所以自變量z只 要并且至少要增加到z+ ，函數(shù)值才能重復(fù)取 得，即T=,12,由上例知函數(shù)y=3cosx的周期 T= 2； 函數(shù)y=sin2x的周期 T=； 函數(shù)y=2sin( - )的周期 T=4 想一想：以上這些函數(shù)的周期與解析式中哪些量有關(guān)嗎？,僅與自變量的系數(shù)有關(guān),函數(shù) ， 令 ，那么xR必須并且只需zR，且函數(shù)y=Asinz， zR的T= . 即變量z只要并且至少要增加到z+ ，函數(shù)值才能重復(fù)取得， 而z+ = = 故變量x只要并且至少要增加到x+ ，函數(shù)值就能重復(fù)取得， 所以由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為 .,13,一般地，

6、三角函數(shù),如果函數(shù) 的周期是T，那么函數(shù) 的周期是,的周期：,的周期：,14,解：,例2：試判斷函數(shù) 是否為周期函數(shù)？,周期為,15,三角函數(shù)周期的主要求法,1、定義法： 2、公式法： 3、圖象法,16,正弦函數(shù)的圖象,余弦函數(shù)的圖象,問題：它們的圖象有何對(duì)稱性？,3.奇偶性,正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱 奇函數(shù),余弦曲線關(guān)于y軸對(duì)稱 偶函數(shù),17,3.奇偶性,為奇函數(shù),為偶函數(shù),思考：能否從奇偶性定義出發(fā)， 證明這個(gè)判斷的正確性？,18,判斷奇偶性,正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù). 首先檢查其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 如果是，再驗(yàn)證f(-x)是否等于-f(x)或f(x),進(jìn)而判斷函數(shù)的奇偶性；

7、 如果不是，就是非奇非偶函數(shù).,19,正弦函數(shù)的圖象,對(duì)稱軸：,對(duì)稱中心：,20,余弦函數(shù)的圖象,對(duì)稱軸：,對(duì)稱中心：,21,例 題,求 函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心,解（1）令,則,的對(duì)稱軸為,解得：對(duì)稱軸為,的對(duì)稱中心為,對(duì)稱中心為,22,y=sinx (xR), 0 . . .,-1,0,1,0,-1,4.正弦函數(shù)的單調(diào)性,y=sinx,增區(qū)間為 ，其值從-1增大到1,減區(qū)間為 ，其值從 1減小到-1,23,4.余弦函數(shù)的單調(diào)性,y=cosx (xR),增區(qū)間為,減區(qū)間為,其值從 -1增大到1,其值從 1減小到-1,24,思考：,正弦函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，而余弦函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，這種說

8、法正確嗎？ 不正確。 正弦函數(shù)在每個(gè)閉區(qū)間 上是增函數(shù)，并不是在整個(gè)定義域上是增函數(shù)。 余弦函數(shù)在每個(gè)閉區(qū)間 上是減函數(shù)，并不是在整個(gè)定義域上是減函數(shù)。,25,正弦函數(shù)的最大值和最小值,5.最大值和最小值,正弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)x=_時(shí)取得最大值1，當(dāng)且僅當(dāng)x=_時(shí)取得最小值-1；,26,余弦函數(shù)的最大值和最小值,5.最大值和最小值,余弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)x=_時(shí)取得最大值1，當(dāng)且僅當(dāng)x=_時(shí)取得最小值-1；,27,例3 下列函數(shù)有最大值、最小值嗎？如果有，請寫出取最大值、最小值時(shí)的自變量x的集合，并說出最大值、最小值分別是什么？,28,使函數(shù) 取得最大值的x集合,就是使函數(shù) 取得最大值的x的集合,解：,使函數(shù) 取得最小值的x集合,就是使函數(shù) 取得最小值的x的集合,函數(shù) 的最大值是1+1=2，最小值是 -1+1=0,29,使函數(shù) 取得最大值的x的集合是,同理，使函數(shù) 取得最小值的x的集合是,30,分析：比較同名函數(shù)值的大小，往往可以利用函數(shù)的單調(diào)性，但需要考慮它是否在同一單調(diào)區(qū)間上，若是，即可判斷，若不是，需化成同一單調(diào)區(qū)間