![陜西省高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 高考中的類比推理例題訓(xùn)練 北師大版選修2-2(通用)_第1頁](http://file1.renrendoc.com/fileroot_temp2/2020-8/18/391ebc09-3fa6-43bf-82a2-0b723ff6b461/391ebc09-3fa6-43bf-82a2-0b723ff6b4611.gif)
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1、高考中的類比推理大數(shù)學(xué)家波利亞說過:“類比是某種類型的相似性,是一種更確定的和更概念性的相似。”應(yīng)用類比的關(guān)鍵就在于如何把關(guān)于對象在某些方面一致性說清楚。類比是提出新問題和作出新發(fā)現(xiàn)的一個重要源泉,是一種較高層次的信息遷移。例1、(2020湖北)半徑為r的圓的面積,周長,若將r看作上的變量,則, ,式可用語言敘述為:圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù)。對于半徑為R的球,若將R看作看作上的變量,請你寫出類似于的式子:_,式可用語言敘述為_.解:由提供的形式找出球的兩個常用量體積、表面積公式,類似寫出恰好成立,.答案: 球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)。點評:主要考查類比意識考查學(xué)生分散思維,
2、注意將圓的面積與周長與球的體積與表面積進(jìn)行類比例2(2000年上海高考第12題)在等差數(shù)列an中,若a10=0,則有等式a1a2an=a1a2a19n(n19,nN*)成立。類比上述性質(zhì),相應(yīng)地:在等比數(shù)列bn中,若b9=1,則有等式 成立。分析:這是由一類事物(等差數(shù)列)到與其相似的一類事物(等比數(shù)列)間的類比。在等差數(shù)列an前19項中,其中間一項a10=0,則a1a19= a2a18= ana20n= an1a19n=2a10=0,所以a1a2ana19=0,即a1a2an=a19a18an1,又a1=a19, a2=a18,a19n=an1, a1a2an=a19a18an1= a1a2
3、a19n。相似地,在等比數(shù)列bn的前17項中,b9=1為其中間項,則可得b1b2bn= b1b2b17n(n17,nN*)。例3(2020年全國高考新課程卷文科第15題)在平面幾何里,有勾股定理:“設(shè)ABC的兩邊AB、AC互相垂直,則AB2AC2= BC2?!蓖卣沟娇臻g,類比平面幾何的勾股定理,研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系,可以得到的正確結(jié)論是:“設(shè)三棱錐ABCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直,則 _”。分析:這是由低維(平面)到高維(空間)之間的類比。三角形中的許多結(jié)論都可以類比到三棱錐中(當(dāng)然必須經(jīng)過論證其正確性),像直角三角形中的勾股定理類比到三側(cè)面兩兩垂直的三棱
4、錐中,則有SABC2SACD2SADB2= SBCD2。需要指出的是,勾股定理的證明也可進(jìn)行類比。如在RtABC中,過A作AHBC于H,則由AB2=BHBC,AC2=CHBC相加即得AB2AC2=BC2;在三側(cè)面兩兩垂直的三棱錐ABCD中,過A作AH平面BCD于H,類似地由SABC2=SHBCSBCD,SACD2=SHCDSBCD,SADB2=SHDBSBCD相加即得SABC2SACD2SADB2= SBCD2。例4、(2020上海)已知函數(shù)有如下性質(zhì):如果常數(shù)ao,那么該函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)。(1) 如果函數(shù)的值域為,求b的值;(2) 研究函數(shù)(常數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,并說明理由;(3) 對函數(shù)和(常數(shù)作出推廣,使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例,研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性(只須寫出結(jié)論,不必證明)。解:(1)函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),所以該函數(shù)在處取得最小值 令,得(2)設(shè),顯然函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),令得,令得或又因為在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),于是利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知,函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),上是增函數(shù)。 (3)推廣結(jié)論:當(dāng)n是正奇數(shù)時,函數(shù)(常數(shù)是奇函數(shù),故在上是增函數(shù),在是減函數(shù),在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)。而當(dāng)n為正偶數(shù)時,函數(shù)
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