第1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù).ppt

1、1,華中科技大學(xué)武昌分校數(shù)學(xué)公共課程之復(fù)變函數(shù)與積分變換,主講： 朱祥和,2,引言,高等數(shù)學(xué)主要研究對(duì)象是以實(shí)數(shù)為變量的函數(shù)。而復(fù)變函數(shù)主要是研究以復(fù)數(shù)為變量的函數(shù)。 復(fù)變函數(shù)中的許多概念、理論和方法都是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，因此我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中要注意比較兩者的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)。 復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用。,3,第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),復(fù)數(shù) 復(fù)數(shù)表示及運(yùn)算 平面點(diǎn)集 復(fù)變函數(shù)極限和連續(xù)性,4,復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)表示及運(yùn)算,復(fù)數(shù)的概念,復(fù)數(shù)相等,復(fù)數(shù),形如z=x+iy的數(shù)被稱為復(fù)數(shù)，其中x , yR。x=Rez，y=Imz分別為z的實(shí)部和虛部，i為虛數(shù)單位

2、，其意義為i2=-1,z1=z2當(dāng)且僅當(dāng)Rez1= Rez2且Imz1= Imz1,復(fù)數(shù)不能比較大小,5,復(fù)數(shù)的幾何表示,復(fù)數(shù)的幾何表示、復(fù)平面,由復(fù)數(shù) 的定義可知，復(fù)數(shù)是由一對(duì)有序?qū)崝?shù) 惟一確定的，于是可建立全體復(fù)數(shù)和 平面上的全部點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可以用橫坐標(biāo)為 ，縱坐標(biāo)為 的點(diǎn) 表示復(fù)數(shù) ，這是一種幾何表示法，通常稱為點(diǎn)表示，并將點(diǎn) 與數(shù) 看作同義詞.,6,圖1.1,由于 軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)著實(shí)數(shù)，故 軸稱為實(shí)軸； 軸上非原點(diǎn)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)著純虛數(shù)，故 軸稱為虛軸。這樣表示復(fù)數(shù) 的平面稱為復(fù)平面或 平面。,7,復(fù)數(shù)的向量表示、模與輻角,（1）復(fù)數(shù)的向量表示,復(fù)數(shù) 還可以用起點(diǎn)為原點(diǎn)，終點(diǎn)為 的

3、向量 來表示， 與 分別是 在 軸與 軸上的投影.這樣，復(fù)數(shù)與平面上的向量之間也建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.,（2）復(fù)數(shù)的模與輻角,復(fù)數(shù)的模. 向量 的長(zhǎng)度稱為復(fù)數(shù) 的模，記作 或 ，即,8,模的性質(zhì)：,o,x,y,圖1.3,9,復(fù)數(shù)的輻角 設(shè)復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的向量為 （如圖1.1）, 以正實(shí)軸為始邊，以表示 的向量 為終邊的角 ，稱為復(fù)數(shù) 的輻角,記作 ，即 .,顯然， 有無窮多個(gè)值，其中每?jī)蓚€(gè)值相差 的整數(shù)倍，但所有 中滿足條件 的只有一個(gè)，稱為復(fù)數(shù) 的輻角的主值，記作 ，則,我們規(guī)定 按逆時(shí)針方向取值為正，順時(shí)針方向取值為負(fù).,10,復(fù)平面,復(fù)數(shù)與平面向量一一對(duì)應(yīng),模,幅角,并規(guī)定幅角按逆時(shí)針方向取值

4、為正，順時(shí)針方向取值為負(fù).,11,當(dāng) z = 0 時(shí), | z | = 0, 而幅角不確定. arg z可由下列關(guān)系確定:,說明：當(dāng) z 在第二象限時(shí)，,例3 求 和,解,13,復(fù)數(shù)的表示,代數(shù)表示： z=x+iy,三角表示：,指數(shù)表示：,注意,在三角表示和指數(shù)表示下，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)模相等且幅角相差,例4 求 的三角表示式與指數(shù)表示式.,解,因?yàn)?所以,設(shè),則,又因?yàn)?位于第II象限,所以,于是,15,例4 將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式.,解,1),z在第三象限, 因此,因此,2) 顯然, r = | z | = 1, 又,因此,16,復(fù)數(shù)的運(yùn)算,設(shè)z1=x1+iy1和 z2=x

5、2+iy2是兩個(gè)復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)加減法滿足平行四邊形法則，或三角形法則,17,乘法運(yùn)算,兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘等于它們的模相乘，幅角相加,18,除法運(yùn)算,兩個(gè)復(fù)數(shù)相除等于它們的模相除，幅角相減,19,復(fù)數(shù)四則運(yùn)算規(guī)律：,（1）加法交換律,（2）乘法交換律,（3）加法結(jié)合律,（4）乘法結(jié)合律,（5）乘法對(duì)于加法的分配律,20,共軛運(yùn)算,復(fù)數(shù)z=x+iy的共軛復(fù)數(shù)為,共軛復(fù)數(shù)為 是復(fù)數(shù)z關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn),21,共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7） 為實(shí)數(shù).,22,.,例1 化簡(jiǎn),解,例2 設(shè) ，求 及,解,所以,24,1. 復(fù)數(shù)的乘冪,設(shè) 為正整數(shù)， 個(gè)非零相同復(fù)數(shù) 的乘積

6、，稱為 的 次冪，記為 ，即,若 ，則有,當(dāng) 時(shí)，得到著名的棣莫弗公式,例7 求,解,因?yàn)?所以,例8 已知 ， 求,解,因?yàn)?所以,27,復(fù)數(shù)的方根,稱滿足方程 的復(fù)數(shù) 為 的 次方根，記作,或記作,令,解出,由,即,可求出6個(gè)根，它們是,例 解方程,解 因?yàn)?所以,例2 計(jì)算,解 因?yàn)?所以,即,30,練習(xí),31,平面點(diǎn)集,鄰域,平面上以 為心， 為半徑的圓： 內(nèi)部所有點(diǎn) 的集合稱為點(diǎn)的 鄰域，記為 ，即,稱集合 為 的去心 鄰域， 記作,開集 如果點(diǎn)集 的每一個(gè)點(diǎn)都是 的內(nèi)點(diǎn)，則稱 為開集. 閉集如果點(diǎn)集 的余集為開集，則稱 為閉集. 連通集 設(shè)是 開集，如果對(duì)于 內(nèi)任意兩點(diǎn)，都可用折線

7、連接起來，且該折線上的點(diǎn)都屬于 ，則稱開集 是連通集.,33,區(qū)域,區(qū)域（或開區(qū)域） 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域. 閉區(qū)域 開區(qū)域 連同它的邊界一起，稱為閉區(qū)域，記為 .,34,平面圖形的復(fù)數(shù)表示,很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程（或不等式）來表示；也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程（或不等式）來確定所表示的平面圖形。,例1：,Z平面上以原點(diǎn)為中心、R為半徑的圓周方程為,Z平面上以 Z0為中心、R為半徑的圓周方程為,連接z1 和z2兩點(diǎn)的線段的參數(shù)方程為,過兩點(diǎn) z1 和z2的直線L的參數(shù)方程為,35,例2：,考察下列方程（或不等式）在平面上所描繪的幾何圖形。,（1）,該方程表示到點(diǎn)2i和2距離相等的

8、點(diǎn)的軌跡，所以方程表示的曲線就是連接點(diǎn)2i 和2的線段的垂直平分線，它的方程為y = x。,（2）,設(shè) z = x+ iy,36,（3）,表示實(shí)軸方向與由點(diǎn)i 到 z 的向量之間交角,的主值，因此滿足方程的點(diǎn)的全體是自 i 點(diǎn)出發(fā)且與實(shí)軸,正向夾角為45度的一條半射線。（不包括 i點(diǎn)）,（4）,37,例3： 指出不等式,中點(diǎn)z的軌跡所在范圍。,解：,因?yàn)?所以,于是有,38,它表示在圓,外且屬于左半平面的所有點(diǎn)的集合,圖 1,1. 簡(jiǎn)單曲線、簡(jiǎn)單閉曲線,平面曲線,若存在滿足,且,的,使,重點(diǎn)，無重點(diǎn)的連續(xù)曲線稱為簡(jiǎn)單曲線或,則稱此曲線C有，,約當(dāng)（Jordan）曲線；,除 外無,其它重點(diǎn)的連續(xù)

9、曲線稱為簡(jiǎn)單閉曲線，例如,是一條簡(jiǎn)單閉曲線（如圖1）.,在幾何直觀上，簡(jiǎn)單曲線是平面上沒有“打結(jié)”情形的連續(xù)曲線，即簡(jiǎn)單曲線自身是不會(huì)相交的；簡(jiǎn)單閉曲線除了沒有“打結(jié)”情形之外，還必須是封閉的，例如，圖1.10中的 是簡(jiǎn)單曲線， 是簡(jiǎn)單閉區(qū)域，圖1.11中的 ， 不是簡(jiǎn)單曲線，但 是閉曲線.,圖1.10,圖1.11,2. 光滑曲線、分段光滑曲線 設(shè)曲線 的方程為 若 ， 在 上可導(dǎo)且 ， 連續(xù)不全為零，則稱曲線 為光滑曲線，由若干段光滑曲線銜接而成的曲線稱為分段光滑曲線. 3. 單連通域、多連通域 設(shè) 是復(fù)平面上一區(qū)域，如果在 內(nèi)任作一條簡(jiǎn)單閉曲線 ，其內(nèi)部的所有點(diǎn)都在 中，則稱區(qū)域 為單連通

10、區(qū)域；否則稱 為多連通區(qū)域或復(fù)連通區(qū)域.,在幾何直觀上，單連通區(qū)域是一個(gè)沒有“空洞（點(diǎn)洞）和縫隙”的區(qū)域，而多連通區(qū)域是有“洞或縫隙”的區(qū)域，它可以是由曲線 所圍成的區(qū)域中挖掉幾個(gè)洞，除去幾個(gè)點(diǎn)或一條線段而形成的區(qū)域（如圖1.12 ）.,圖1.12,43,練習(xí),考察下列方程（或不等式）在平面上所描繪的幾何圖形，并指明它是有界還是無界，是單連通還是多連通。,44,復(fù)變函數(shù),復(fù)變函數(shù)之定義,設(shè)G是一個(gè)復(fù)數(shù)z=x+iy的集合。如果有一個(gè)確定的法則存在，按照這一法則，對(duì)于集合G中的每一個(gè)復(fù)數(shù)z，有一個(gè)或多個(gè)復(fù)數(shù)=u+iv與之對(duì)應(yīng)，那么稱復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)，或復(fù)變函數(shù)，記為=f(z)。,說明1,如

11、果z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著的唯一一個(gè)值，那么我們稱f(z)是單值的；如果z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著多個(gè)的值，那么我們稱f(z)是多值函數(shù)。,45,復(fù)變函數(shù)=f(z)可以寫成=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy,46,z平面,平面,=iz=zexp(i/2),例1 將定義在全平面上的復(fù)變函數(shù) 化為一對(duì)二元實(shí)變函數(shù).,解 設(shè) ， ，代入 得,比較實(shí)部與虛部得，,例2 將定義在全平面除原點(diǎn)區(qū)域上的一對(duì)二元實(shí)變函數(shù),化為一個(gè)復(fù)變函數(shù).,解 設(shè) ， ， 則,將 ， 以及 代入上式，經(jīng)整理后，得,49,復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù),1.函數(shù)極限的定義1.4.1:,一.函數(shù)極限:,50,幾何意義:,51,復(fù)變函數(shù)的極限四

12、則運(yùn)算法則：,與實(shí)變函數(shù)的極限性質(zhì)類似.,惟一性,復(fù)合運(yùn)算等,52,定理1.4.1,2. 極限計(jì)算的性質(zhì),例3 試求下列函數(shù)的極限.,（1）,（2）,解,（1）法1 設(shè) ，則 ，且,得,法2,解：,（2）,例2 證明函數(shù) 在 時(shí)極限不存在. 證 設(shè) ， 而 考慮二元實(shí)函數(shù) 當(dāng) 沿著 （ 為任意實(shí)數(shù)）趨向于 ，即,顯然，極限值隨 值的不同而不同，所以根據(jù)二元實(shí)變函數(shù)極限的定義知， 在 趨向于 時(shí)的極限不存在，即得結(jié)論.,二、函數(shù)的連續(xù)性 定義1.4.2 設(shè) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義，若 ，則稱函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù). 若 在區(qū)域 內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù) 在區(qū)域 內(nèi)連續(xù). 定理1.4.2 函數(shù) ， 在 處連續(xù)的充要條件是 和 都在點(diǎn) 處連續(xù).,連續(xù)的 三要素:,（1） f(z)在z0處有定義,（2）f(z)在z0處有極限,（3）f(z)在z0處的極限值等于函數(shù)值,57,連續(xù)函數(shù)的