求函數(shù)極限的方法和技巧

1、求函數(shù)極限的方法和技巧作者: 黃文羊摘要: 本文就關(guān)于求函數(shù)極限的方法和技巧作了一個(gè)比較全面的概括、綜合。關(guān)鍵詞：函數(shù)極限引言在數(shù)學(xué)分析與微積分學(xué)中,極限的概念占有主要的地位并以各種形式出現(xiàn)而貫穿全部?jī)?nèi)容,因此掌握好極限的求解方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析和微積分的關(guān)鍵一環(huán)。本文就關(guān)于求函數(shù)極限的方法和技巧作一個(gè)比較全面的概括、綜合,力圖在方法的正確靈活運(yùn)用方面,對(duì)讀者有所助益。主要內(nèi)容一、求函數(shù)極限的方法1、運(yùn)用極限的定義例: 用極限定義證明:證: 由取 則當(dāng) 時(shí),就有 由函數(shù)極限定義有: 2、利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)若 (i) (ii)(iii)若 b0 則： （iv） （c為常數(shù)）上述性質(zhì)對(duì)于例：求

2、解: =3、約去零因式（此法適用于）例: 求解:原式= = =4、通分法（適用于型）例: 求 解: 原式= 5、利用無(wú)窮小量性質(zhì)法（特別是利用無(wú)窮小量與有界量之乘積仍為無(wú)窮小量的性質(zhì)）設(shè)函數(shù)f(x)、g(x) 滿(mǎn)足：（i）(ii) (m為正整數(shù))則：例: 求 解: 由 而 故 原式 =6、利用無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。 （i）若： 則 (ii) 若: 且 f(x)0 則 例: 求下列極限 解: 由 故 由 故 =7、等價(jià)無(wú)窮小代換法 設(shè) 都是同一極限過(guò)程中的無(wú)窮小量，且有： ， 存在，則 也存在，且有= 例:求極限 解: =注： 在利用等價(jià)無(wú)窮小做代換時(shí)，一般只在以乘積形式出現(xiàn)時(shí)可以互換，若以

3、和、差出現(xiàn)時(shí)，不要輕易代換，因?yàn)榇藭r(shí)經(jīng)過(guò)代換后，往往改變了它的無(wú)窮小量之比的“階數(shù)”8、利用兩個(gè)重要的極限。 但我們經(jīng)常使用的是它們的變形：例：求下列函數(shù)極限 9、利用函數(shù)的連續(xù)性（適用于求函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處的極限）。例：求下列函數(shù)的極限 （2） 10、變量替換法（適用于分子、分母的根指數(shù)不相同的極限類(lèi)型）特別地有： m、n、k、l 為正整數(shù)。例：求下列函數(shù)極限 、n 解: 令 t= 則當(dāng) 時(shí) ,于是原式=由于=令： 則 = =11、 利用函數(shù)極限的存在性定理 定理: 設(shè)在的某空心鄰域內(nèi)恒有 g(x)f(x)h(x) 且有: 則極限 存在, 且有 例: 求 (a1,n0)解: 當(dāng) x1 時(shí),存在唯

4、一的正整數(shù)k,使 k xk+1于是當(dāng) n0 時(shí)有: 及 又 當(dāng)x時(shí),k 有 及 =012、用左右極限與極限關(guān)系(適用于分段函數(shù)求分段點(diǎn)處的極限，以及用定義求極限等情形)。定理：函數(shù)極限存在且等于a的充分必要條件是左極限及右極限都存在且都等于a。即有：=a例：設(shè)= 求及由 13、羅比塔法則（適用于未定式極限）定理：若此定理是對(duì)型而言，對(duì)于函數(shù)極限的其它類(lèi)型，均有類(lèi)似的法則。注：運(yùn)用羅比塔法則求極限應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1、 要注意條件，也就是說(shuō)，在沒(méi)有化為時(shí)不可求導(dǎo)。2、 應(yīng)用羅比塔法則，要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個(gè)分式的導(dǎo)數(shù)。3、 要及時(shí)化簡(jiǎn)極限符號(hào)后面的分式，在化簡(jiǎn)以后檢查是否仍是未定

5、式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用羅比塔法則，否則會(huì)引起錯(cuò)誤。4、當(dāng) 不存在時(shí)，本法則失效，但并不是說(shuō)極限不存在，此時(shí)求極限須用另外方法。例： 求下列函數(shù)的極限 解：令f(x)= , g(x)= l, 由于但從而運(yùn)用羅比塔法則兩次后得到 由 故此例屬于型，由羅比塔法則有：14、利用泰勒公式對(duì)于求某些不定式的極限來(lái)說(shuō)，應(yīng)用泰勒公式比使用羅比塔法則更為方便，下列為常用的展開(kāi)式：1、2、3、4、5、6、上述展開(kāi)式中的符號(hào)都有:例:求解:利用泰勒公式，當(dāng) 有于是 =15、利用拉格朗日中值定理定理:若函數(shù)f滿(mǎn)足如下條件： (i) f 在閉區(qū)間上連續(xù) (ii)f 在(a ,b)內(nèi)可導(dǎo)則在(a ,b)內(nèi)至

6、少存在一點(diǎn),使得此式變形可為: 例: 求 解:令 對(duì)它應(yīng)用中值定理得即: 連續(xù)從而有: 16、求代數(shù)函數(shù)的極限方法(1)有理式的情況，即若:(i)當(dāng)時(shí)，有 (ii)當(dāng) 時(shí)有:若 則 若 而 則若,則分別考慮若為的s重根,即: 也為的r重根,即: 可得結(jié)論如下：例：求下列函數(shù)的極限 解: 分子，分母的最高次方相同，故 = 必含有（x-1）之因子，即有1的重根 故有:(2)無(wú)理式的情況。雖然無(wú)理式情況不同于有理式，但求極限方法完全類(lèi)同，這里就不再一一詳述.在這里我主要舉例說(shuō)明有理化的方法求極限。 例：求解: 二、多種方法的綜合運(yùn)用上述介紹了求解極限的基本方法，然而，每一道題目并非只有一種方法。因此

7、我們?cè)诮忸}中要注意各種方法的綜合運(yùn)用的技巧，使得計(jì)算大為簡(jiǎn)化。例:求 解法一: = 注:此法采用羅比塔法則配合使用兩個(gè)重要極限法。解法二: =注：此解法利用“三角和差化積法”配合使用兩個(gè)重要極限法。解法三:注:此解法利用了兩個(gè)重要極限法配合使用無(wú)窮小代換法以及羅比塔法則解法四:注:此解法利用了無(wú)窮小代換法配合使用兩個(gè)重要極限的方法。解法五:注:此解法利用“三角和差化積法”配合使用無(wú)窮小代換法。解法六：令注：此解法利用變量代換法配合使用羅比塔法則。解法七:注:此解法利用了羅比塔法則配合使用兩個(gè)重要極限。 此題還可以列出十多種解法，本文就不再詳述。所以求解極限問(wèn)題時(shí)，可視問(wèn)題本身而靈活運(yùn)用各種方法。 參考文獻(xiàn):1.龔思德、劉序球、張廣梵 .微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo) .南開(kāi)大學(xué) 出版社 . 19972.丁家泰. 微積分解題方法.北京師范大學(xué)出版社 .19813.朱勻華. 微積分入門(mén)指導(dǎo)與思想方法 . 中山大學(xué)出 . 19864.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.上冊(cè) .高等教育出版社. 1997the skills and methods of caculating the limit of a functionabstract: the article makes some comp