概率論第五章ch5_1.ppt

1、在前面的概率論學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了事件的“頻率穩(wěn)定性”，它是指在大量的實(shí)驗(yàn)中某事件發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)值附近，我們希望能給出證明。,大數(shù)定律與中心極限定理,另外我們還發(fā)現(xiàn)在大量測(cè)量值中它們的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性。,所有這些都提示我們是否當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)無(wú)窮增大時(shí)，“頻率”或“算術(shù)平均值”能趨于一個(gè)極限？,大數(shù)定律與中心極限定理,大量拋擲硬幣 正面出現(xiàn)頻率,字母使用頻率,生產(chǎn)過(guò)程中的 廢品率,設(shè)在n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)X等于每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)Xi之和即：,于是事件A發(fā)生的頻率：,是否會(huì)隨著n的增大而接近A發(fā)生的概率p？即,我們將上述思想推廣到更一般情況下的隨機(jī)變量序列：,在什么條件

2、下會(huì)有,這就是大數(shù)定律要研究的內(nèi)容。我們學(xué)習(xí)三種大數(shù)定律：切比雪夫、貝努里、辛欽大數(shù)。,為了討論大數(shù)定律，我們要引入依概率收斂的極限概念。,依概率收斂,定義1：設(shè)隨機(jī)變量序列：X1,X2,XN,如果存在常數(shù) a ,對(duì)任意的正數(shù) 0總有如下極限成立，則稱這個(gè)隨機(jī)變量序列依概率收斂于a。,對(duì)任意的n,使不等式,依概率收斂理解,成立的所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的事件,的概率即,作為一個(gè)數(shù)列存在極限1。,也可以理解成：當(dāng)n充分大后，隨機(jī)變量Yn與一個(gè)常數(shù)a的偏差任意小的概率為1。,如果下面兩個(gè)條件成立,依概率收斂基本性質(zhì),(2)z=g(x,y)是在點(diǎn)(a,b)處連續(xù)的二元函數(shù),則隨機(jī)變量 Zn=g(Xn,Yn)以

3、概率收斂于g(a,b)即：,這個(gè)性質(zhì)我們?cè)诰毓烙?jì)時(shí)要用到。,切比雪夫不等式,設(shè)隨機(jī)變量X 有期望E(X)和方差2，則對(duì)于 任給0總有概率不等式成立：,或,(1)由切比雪夫不等式可以看出，若越小，則事件 |X-E(X)|的概率越大，即隨機(jī)變量X 集中在期望附近的程度越大.,這個(gè)概率不等式表示什么意義？,如圖所示,正態(tài)分布密度函數(shù)的作圖代碼,function hhh sigma=1/2;%1/sqrt(2);%1;%sqrt(2); mu=2; x=-2:0.1:6; y=exp(-(x-mu).2/(2*sigma2)/(sqrt(2*pi)*sigma); hold on; plot(x,y)

4、;,(2)當(dāng)方差已知時(shí)，切比雪夫不等式給出了r.v X 與它的期望的偏差不小于 的概率的估計(jì)式即：,如取,例1 已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率 .,解：設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X,依題意，E(X)=7300,2 =D(X)=7002,所求為 P(5200 X 9400),P(5200 X 9400),=P(5200-7300 X-7300 9400-7300),= P(-2100 X-E(X) 2100),= P |X-E(X)| 2100,由切比雪夫不等式,即估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在52009

5、400之間的概率不小于8/9 .,切比雪夫,定理1：設(shè)X1,X2, 是獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且每個(gè)隨機(jī)變量有相同的數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)E(Xi)= ，D(Xi)=2 ， i=1,2,則對(duì)任給 0成立極限,切比雪夫大數(shù)定律,證明切比雪夫大數(shù)定律主要的數(shù)學(xué)工具是切比雪夫不等式.,證明：先求隨機(jī)變量算術(shù)平均的數(shù)學(xué)期望與方差。,再利用切比雪夫不等式即：,兩端取極限得：,再由概率有上界1得：,于是,切比雪夫大數(shù)定律表明：獨(dú)立的隨機(jī)變量序列Xn如果有相同的期望和方差,則前n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均,與其數(shù)學(xué)期望的偏差很小的概率為1。,下面給出的貝努里大數(shù)定律，是定理1的特例.,貝努里,設(shè)nA是n重貝努里試驗(yàn)中事件A

6、發(fā)生的次數(shù)，p 是事件A 發(fā)生的概率，引入,則,是事件A發(fā)生的頻率,設(shè) nA 是n 重貝努里試驗(yàn)中事件A 發(fā)生的 次數(shù)，p 是事件A 發(fā)生的概率，則對(duì)任給的 0，,貝努里大數(shù)定律,貝努里,貝努里大數(shù)定律表明：當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù) n 充分大時(shí)，事件A 發(fā)生的頻率與事件A 的概率p 有較大偏差的概率很小。這就是我們要證明的頻率穩(wěn)定性。,下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機(jī)變量的方差存在.,定理3：設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2, 獨(dú)立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期 E(Xi)=, i=1,2,， 則對(duì)任給 0 ，,辛欽大數(shù)定律,辛欽,例題1：設(shè)在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為0.25，（1）在300次重復(fù)獨(dú)

7、立試驗(yàn)中，以X記事件A發(fā)生的次數(shù)，用切比雪夫不等式估計(jì)X與E(X)的偏差小于50的概率。,（2）問(wèn)是否可確信在1000次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)在200到300之間的概率不小于0.925？,第一問(wèn)：利用切比雪夫不等式估計(jì)時(shí)要求出期望與方差：,第二問(wèn)：利用切比雪夫不等式估計(jì)時(shí)要求出期望與方差：,可確信在1000次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)在200到300之間的概率不小于0.925！,例題2：如何測(cè)量某一個(gè)物理量的大??？有什么依據(jù)？,解：我們可以取n次測(cè)量值 x1,x2,xn 的算術(shù)平均值作為a的近似值，當(dāng)n充分大時(shí)誤差很小。,在相同條件下作n次測(cè)量，每次測(cè)量值是一個(gè)隨機(jī)變量記為 X1,X2,Xn ，它們可以看成是相互獨(dú)立的并且有相同數(shù)學(xué)期望的隨機(jī)序列，于是由辛欽大數(shù)定律可得：,故取n次測(cè)量值 x1,x2,xn 的算術(shù)平均值作為a