D5_4反常積分.ppt

1、,二、無(wú)界函數(shù)的反常積分,第四節(jié),常義積分,積分限有限,被積函數(shù)有界,推廣,一、無(wú)窮限的反常積分,反常積分,(廣義積分),反常積分,第五章,一、無(wú)窮限的反常積分,引例. 曲線,和直線,及 x 軸所圍成的開口曲,邊梯形的面積,可記作,其含義可理解為,定義1. 設(shè),若,存在 ,則稱此極限為 f (x) 的無(wú)窮限反常積分,記作,這時(shí)稱反常積分,收斂 ;,如果上述極限不存在,就稱反常積分,發(fā)散 .,類似地 , 若,則定義,則定義,( c 為任意取定的常數(shù) ),只要有一個(gè)極限不存在 , 就稱,發(fā)散 .,無(wú)窮限的反常積分也稱為第一類反常積分.,并非不定型 ,說(shuō)明: 上述定義中若出現(xiàn),它表明該反常積分發(fā)散

2、.,引入記號(hào),則有類似牛 萊公式的計(jì)算表達(dá)式 :,例1. 計(jì)算反常積分,解:,思考:,分析:,原積分發(fā)散 !,注意: 對(duì)反常積分, 只有在收斂的條件下才能使用,“偶倍奇零” 的性質(zhì),否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤 .,例2. 證明第一類 p 積分,證:當(dāng) p =1 時(shí)有,當(dāng) p 1 時(shí)有,當(dāng) p 1 時(shí)收斂 ; p1,時(shí)發(fā)散 .,因此, 當(dāng) p 1 時(shí), 反常積分收斂 , 其值為,當(dāng) p1 時(shí), 反常積分發(fā)散 .,例3. 計(jì)算反常積分,解:,二、無(wú)界函數(shù)的反常積分,引例:曲線,所圍成的,與 x 軸, y 軸和直線,開口曲邊梯形的面積,可記作,其含義可理解為,定義2. 設(shè),而在點(diǎn) a 的右鄰域內(nèi)無(wú)界,存在 ,這

3、時(shí)稱反常積分,收斂 ;,如果上述極限不存在,就稱反常積分,發(fā)散 .,類似地 , 若,而在 b 的左鄰域內(nèi)無(wú)界,若極限,數(shù) f (x) 在 a , b 上的反常積分,則定義,則稱此極限為函,記作,若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個(gè)第一類,說(shuō)明:,而在點(diǎn) c 的,無(wú)界函數(shù)的積分又稱作第二類反常積分,無(wú)界點(diǎn)常稱,鄰域內(nèi)無(wú)界 ,為瑕點(diǎn)(奇點(diǎn)) .,例如,間斷點(diǎn),而不是反常積分.,則本質(zhì)上是常義積分,則定義,注意: 若瑕點(diǎn),計(jì)算表達(dá)式 :,則也有類似牛 萊公式的,若 b 為瑕點(diǎn), 則,若 a 為瑕點(diǎn), 則,若 a , b 都為瑕點(diǎn), 則,則,可相消嗎?,下述解法是否正確:, 積分收斂,例4. 計(jì)算反常積

4、分,解: 顯然瑕點(diǎn)為 a , 所以,原式,例5. 討論反常積分,的收斂性 .,解:,所以反常積分,發(fā)散 .,例6. 證明反常積分,證: 當(dāng) q = 1 時(shí),當(dāng) q 1 時(shí)收斂 ; q1,時(shí)發(fā)散 .,當(dāng) q1 時(shí),所以當(dāng) q 1 時(shí), 該廣義積分收斂 , 其值為,當(dāng) q 1 時(shí), 該廣義積分發(fā)散 .,例7.,解：,求,的無(wú)窮間斷點(diǎn),故 I 為反常,積分.,內(nèi)容小結(jié),1. 反常積分,積分區(qū)間無(wú)限,被積函數(shù)無(wú)界,常義積分的極限,2. 兩個(gè)重要的反常積分,說(shuō)明: (1) 有時(shí)通過(guò)換元 , 反常積分和常義積分可以互,相轉(zhuǎn)化 .,例如 ,(2) 當(dāng)一題同時(shí)含兩類反常積分時(shí),應(yīng)劃分積分區(qū)間,分別討論每一區(qū)間上的反常積分.,(3) 有時(shí)需考慮主值意義下的反常積分.,P260 題 1 (1) , (2) , (7) , (8),常積分收斂 .,注意: 主值意義下反常積分存在不等于一般意義下反,思考與練習(xí),其定義為,P260 1 (4) , (5) , (6)