高一數(shù)學人教A必修4課件2.3平面向量的基本定理及坐標表示23課時

1、2.2 平面向量的線性運算 2.3.2平面向量的正交分解及坐標表示 2.3.3平面向量的坐標運算,明目標 知重點,填要點 記疑點,探要點 究所然,內容 索引,01,02,03,當堂測 查疑缺,04,1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐標表示. 2.掌握兩個向量和、差及數(shù)乘向量的坐標運算法則. 3.正確理解向量坐標的概念，要把點的坐標與向量的坐標區(qū)分開來.,明目標、知重點,1.平面向量的坐標表示 (1)向量的正交分解：把一個向量分解為兩個 的向量，叫做把向量正交分解. (2)向量的坐標表示：在平面直角坐標系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個 i，j作為基底，對于平面內的一個向量a，有且只有

2、一對實數(shù)x，y使得a ，則 叫做向量a的坐標， 叫做向量a的坐標表示.,互相垂直,填要點記疑點,單位向量,xiyj,有序數(shù)對(x，y),a(x，y),2.平面向量的坐標運算 (1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab ，即兩個向量和的坐標等于這兩個向量相應坐標的和.,(x，y),(x2x1，y2y1),(x1x2，y1y2),(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab ，即兩個向量差的坐標等于這兩個向量相應坐標的差. (3)若a(x，y)，R，則a ，即實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.,(x1x2，y1y2),(x，y),探要點究所然,情境導學,我們知道

3、，在平面直角坐標系中，每一個點都可用一對有序實數(shù)(即它的坐標)表示.對于直角坐標平面內的每一個向量，如何表示呢？能不能像點一樣也用坐標來表示？,探究點一平面向量的坐標表示,思考1如果向量a與b的夾角是90，則稱向量a與b垂直，記作ab.互相垂直的兩個向量能否作為平面內所有向量的一組基底？ 答互相垂直的兩個向量能作為平面內所有向量的一組基底.,思考2把一個向量分解為兩個互相垂直的向量， 叫做把向量正交分解.如圖，向量i、j是兩個互相垂 直的單位向量，向量a與i的夾角是30，且|a|4， 以向量i、j為基底，向量a如何表示？,小結在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作

4、為基底.對于平面內的任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x，y，使得axiyj.我們把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標，記作a(x，y)，其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標.顯然有，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0).,思考3在平面直角坐標系中，作向量 a，若(x，y)，此時點A的坐標是什么？根據(jù)右圖寫出向量 a，b，c，d的坐標，其中每個小正方形的邊 長是1.,答A(x，y)； a(2,3)，b(2,3)，c(3，2)， d(3，3).,探究點二平面向量的坐標運算,思考1設i、j是與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若設a(x1，y1)，b(x2，y2)，

5、則ax1iy1j，bx2iy2j，根據(jù)向量的線性運算性質，向量ab，ab，a(R)如何分別用基底i、j表示？ 答ab(x1x2)i(y1y2)j， ab(x1x2)i(y1y2)j， ax1iy1j.,思考2根據(jù)向量的坐標表示，向量ab，ab，a的坐標分別如何？用數(shù)學語言描述上述向量的坐標運算. 答ab(x1x2，y1y2); ab(x1x2，y1y2); a(x1，y1). 兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和(差)；實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.,思考3已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量 的坐標是什么？一般地，一個任意向量的坐標如何

6、計算？點的坐標與向量的坐標有何區(qū)別？,答 (x2x1，y2y1). 任意一個向量的坐標等于表示該向量的有向線段的終點坐標減去始點坐標.,(1)向量a(x，y)中間用等號連接，而點的坐標A(x，y)中間沒有等號.,(2)平面向量的坐標只有當起點在原點時，向量的坐標才與向量終點的坐標相同. (3)在平面直角坐標系中，符號(x，y)可表示一個點，也可表示一個向量，敘述中應指明點(x，y)或向量(x，y).,例1已知a(2,1)，b(3,4)，求ab，ab,3a4b的坐標. 解ab(2,1)(3,4)(1,5)， ab(2,1)(3,4)(5, 3)， 3a4b3(2,1)4(3,4)(6,3)(12

7、,16) (6,19).,反思與感悟(1)已知兩點求向量的坐標時，一定要注意是終點坐標減去起點坐標；(2)向量的坐標運算最終轉化為實數(shù)的運算.,跟蹤訓練1已知a(1,2)，b(2,1)，求： (1)2a3b；,解2a3b2(1,2)3(2,1) (2,4)(6,3)(4,7).,(2)a3b；,解a3b(1,2)3(2,1) (1,2)(6,3)(7，1).,例2已知a(2,3)，b(3,1)，c(10，4)，試用a，b表示c. 解設cxayb， 則(10，4)x(2,3)y(3,1) (2x3y,3xy)，,解得x2，y2，c2a2b.,反思與感悟待定系數(shù)法是最基本的數(shù)學方法之一，它的實質是

8、先將未知量設出來，再利用方程或方程組求解，把一個向量用其他兩個向量表示，這是常用方法.,跟蹤訓練2已知a(10，5)，b(3,2)，c(2,2)，試用b，c表示a. 解設abc (，R). 則(10，5)(3,2)(2,2) (3，2)(2，2)(32，22).,解由A(2，4)，B(1,3)，C(3,4)，得,(2，16)(12，3)(14，19).,點M的坐標為(11，15).,反思與感悟向量的坐標運算是幾何與代數(shù)的統(tǒng)一，幾何圖形的法則是代數(shù)運算的直觀含義，坐標運算是圖形關系的精確表示，二者的法則互為補充，要充分利用這一點，有效解決問題.,跟蹤訓練3已知平行四邊形的三個頂點的坐標分別為(3

9、,7)，(4,6)，(1，2)，求第四個頂點的坐標. 解不妨設A(3,7)，B(4,6)，C(1，2)，第四個頂點為D(x，y).則A、B、C、D四點構成平行四邊形有以下三種情形.,(4,6)(3,7)(1，2)(x，y)，,(2)當平行四邊形為ABDC時，仿(1)可得D(2，3). (3)當平行四邊形為ADBC時，仿(1)可得D(6,15). 綜上所述，第四個頂點的坐標可能為(0，1)，(2，3)或(6,15).,1.已知向量a(1,2)，b(3,1)，則ba等于() A.(2,1) B.(2，1) C.(2,0) D.(4,3) 解析ba(3,1)(1,2)(2，1)，故選B.,當堂測查疑缺,1,2,3,4,B,1,2,3,4,A,1,2,3,4,1,2,3,4,答案A,1,2,3,4,4.已知向量a(2，3)，b(1,2)，p(9,4)，若pmanb，則mn_.,7,呈重點