無窮級數(shù)與無窮積分收斂的判別法

1、 無窮級數(shù)與無窮積分收斂的判別法數(shù)學(xué)學(xué)院 09 級 （三）班 張柏忱 09041100434摘要：本文給出了不具有奇點的無窮積分收斂的判別法和具有列奇點的無窮積分收斂的條件，以及無窮級數(shù)收斂性的判別法，并進一步討論無窮級數(shù)與無窮積分的關(guān)系。關(guān)鍵詞：無窮級數(shù) 無窮積分 斂散性 奇點 有界1.不具有奇點的無窮積分的收斂判別法 無窮積分是定積分在積分區(qū)間或被積函數(shù)上的推廣，其中有積分區(qū)間有界但被積函數(shù)具有奇點（或?qū)ΨQ點）的瑕積分和被積函數(shù)沒有奇點但積分區(qū)間無界的無窮積分。對于沒有奇點非負函數(shù)的無窮積分的收斂性，有一些便于應(yīng)用的判別法。 定理 1 （有界判別法）若f是 a , +）,上的非負函數(shù)，則積

2、分收斂充要條件是任意A a , +）,有界。 證明 ：由于飛f(x) 0 (a)，故積分是上限A增函數(shù)，因而，還有一種廣義積分，它不但被積分函數(shù)具有有限或無限的個奇點而且它的積分區(qū)間無限，是一種具有奇點的無窮積分，它的斂散性與個別奇點有關(guān)，也與無窮區(qū)間上這些無窮積分有關(guān)，因此，判斷收斂性較困難，本文針對一類具有可列奇點的無窮積分進行探討，給出了判別它收斂的一個簡便方法。 定義 設(shè)A為無窮集合，auA(u=1,2,)若存在常數(shù)d0，使| ai-aj|d(i=1,2,ij),則稱ai是A上的疏散序列，若au還是單調(diào)的，則稱au在A 上是單調(diào)函數(shù)。 顯然，對于單調(diào)疏散序列an，有an=+或an=-，

3、因此, a , +）上的單調(diào)疏散序列必須是嚴(yán)格增加的。（-,b上的單調(diào)疏散序列必是嚴(yán)格減少的。 引理 1 若函數(shù)f(x)在 a , +）上單調(diào)非負，且無窮積分收斂，則對于 a ,+）上的任一單調(diào)疏散序列（-, b 級數(shù)都收斂。 證明 ：因為an在 a ,+）上單調(diào)疏散，所以，an嚴(yán)格增加，且存在d0,使又an+1-d(u=1,2)，又f(x)單調(diào)，所以 由于，積分收斂，因此令，得 因為f(a)0,所以級數(shù)收斂。引理 2 若在區(qū)間&上，函數(shù)f(x)單調(diào)有界，以a,b為奇點，瑕積分&收斂，則存在m,使 （其中，m=inf, M=sup）證明：由于函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)有界，瑕積分發(fā)散。故由AB

4、C判別法知，積分收斂。因為在a,b上，不變號。不妨設(shè)g(x)所以對任意得 Mg(x) 令a得 因此，存在，使 定理 1 若函數(shù)f(x)與g(x)在(a,)上滿足下列條件：（1）f(x)單調(diào)非負，積分收斂。（2）f(x)有可列個奇點它們在()上單調(diào)疏散。對任意的自然數(shù)n，收斂且關(guān)于n一致有界，則積分收斂。證明：已知瑕積分收斂且關(guān)于n一致有界，因此存在M0，使對于任意的自然數(shù)u，有。又因為f(x)單調(diào)非負，由引理2 存在，使 已知單調(diào)疏散，&收斂，有引理1 ，級數(shù)收斂，有M判別法知，級數(shù)收斂，但 因此積分收斂。注：上述定理的結(jié)論也適合于其它條件下的具有有限多個奇點的無窮積分，以及和式中的任何一個積

5、分發(fā)散都導(dǎo)致這個區(qū)間上的積分發(fā)散。例 1 判斷積分的斂散性。解：容易驗證函數(shù)f(x)=1/在1,上是單調(diào)非負的，積分收斂。g(x)=的奇點單調(diào)疏散，對任意的自然數(shù)，積分收斂，因此，積分收斂。 2.無窮積分收斂性的一個新的判別法通過建立無窮積分與無窮級數(shù)之間的關(guān)系，給出了無窮級數(shù)斂散性的一個簡便的判別法。其結(jié)果為：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間上非負，單調(diào)減少，則正項級數(shù)與無窮積分的斂散性相同，當(dāng)無窮級數(shù)的函數(shù)f(x)為復(fù)合函數(shù)時，上述的判別法將無法應(yīng)用。本文利用無窮積分的斂散性，給出了無窮級數(shù)的函數(shù)具有復(fù)合函數(shù)情形下的一個新的判別法。定理2 設(shè)為一正項發(fā)散級數(shù)，又設(shè)f(x)為一正值單調(diào)下降函數(shù)，則（1）收斂，則收斂；（2）發(fā)散，則發(fā)散；（3）有界，則與同時收斂或同時發(fā)散。證明：（1）顯然由假設(shè)可知 兩邊求和，得 令時，則得到，當(dāng)收斂，則收斂。（2）由條件知 兩邊求和得 令時，得，當(dāng)發(fā)散，則發(fā)散。（3）由條件知，故易得 亦即兩邊級數(shù)部分和之差不超過一個有限常數(shù)，故必同時收斂同時發(fā)散。定理3 設(shè)g(x)單調(diào)上升，則對于正值單調(diào)下降函數(shù)，級數(shù)與必同時收斂或同時發(fā)散。證明：由條件知，對任意