高中數(shù)學(xué)解題思維訓(xùn)練.ppt

1、高中數(shù)學(xué)解題思維訓(xùn)練,數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。要做到這一點(diǎn)，首先要培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。 事實(shí)上，良好的思維品質(zhì)往往包括以下幾個(gè)方面：思維的變通性、思維的反思性、思維的嚴(yán)密性和思維的發(fā)散性。 培養(yǎng)良好思維品質(zhì)的途徑是進(jìn)行有素的訓(xùn)練。本教程將結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際情況，著重進(jìn)行這方面的訓(xùn)練。,第一講 數(shù)學(xué)思維變通性訓(xùn)練,1. 思維變通性概念 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，思維變通性表現(xiàn)為：能善于根據(jù)題設(shè)中的具體情況，提出新的構(gòu)想和解題方案。它體現(xiàn)學(xué)生在智力活動(dòng)中靈活程度上的差異，是數(shù)學(xué)思維的重要品質(zhì)之一。 數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)的解決好數(shù)學(xué)問(wèn)題，用一套固定的方案，是行不通的，必須視其具體

2、情況，靈活確定解題方案。也就是說(shuō)，必須具有思維的變通性，根據(jù)數(shù)學(xué)思維變通性的主要體現(xiàn)，本課程將著重進(jìn)行以下幾個(gè)方面的訓(xùn)練：,小資料： 怎樣解題 G.波利亞 第一：你必須弄清問(wèn)題 弄清問(wèn)題：未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？把條件的各部分分開(kāi)。你能否把它們寫(xiě)下來(lái)？ 第二：找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系。如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問(wèn)題，你應(yīng)該最終得出一個(gè)求解的計(jì)劃。 擬訂計(jì)劃： 你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理

3、？看著未知數(shù)！試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題。這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有關(guān)，且早已解決的問(wèn)題。你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題？你能不能用不同的方法重新敘述它？回到定義去。 如果你不能解決所提出的問(wèn)題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題。你能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問(wèn)題？一個(gè)更普遍的問(wèn)題？一個(gè)更特殊的問(wèn)題？一個(gè)類(lèi)比的問(wèn)題？你能否解決這個(gè)問(wèn)題的一部分？?jī)H僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對(duì)于未知數(shù)能確定到什么程度？它會(huì)怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西？你能不能想出適于確定未知數(shù)

4、的其它數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？ 你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個(gè)條件？你是否考慮了包含在問(wèn)題中的所有必要的概念？ 第三：實(shí)現(xiàn)你的計(jì)劃 實(shí)現(xiàn)計(jì)劃：實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一步驟。你能否清楚地看出這一步驟是否正確的？你能否證明這一步驟是正確的？ 第四：驗(yàn)證所得的解 回顧：你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證？你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？你能不能一下子看出來(lái)？你能不能把這個(gè)結(jié)果或方法用于其它的問(wèn)題？,（1）善于觀察 做一道數(shù)學(xué)題，大致上有：審題、想題、解題三大段 。 & 在審題時(shí)要細(xì)心觀察。 解數(shù)學(xué)題首先要弄清題意。即：正確地感知題目中

5、出現(xiàn)的主要概念，分清什么是已知，什么是求（證）。 & 在想題時(shí)要重視“特殊”的已知條件。 在探索解題思路時(shí)，往往會(huì)感到有些“特殊”的已知條件用不上，因而思路也找不出來(lái)。有時(shí)雖然思路找出來(lái)了，但如果注意到了已知條件中的某些“特殊性”，往往可以發(fā)現(xiàn)有更為簡(jiǎn)便的思路存在。 & 觀察法解題 有些問(wèn)題，思索的過(guò)程只可意會(huì)，難以言傳，因此只好用觀察法求解。即：先根據(jù)觀察、猜想應(yīng)用什么樣的解，然后進(jìn)行直接驗(yàn)證。,分類(lèi)考察討論： 在些數(shù)學(xué)題，解題的復(fù)雜性，主要在于它的條件、結(jié)論（或問(wèn)題）包含多種不易識(shí)別的可能情形。對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，選擇恰當(dāng)?shù)姆诸?lèi)標(biāo)準(zhǔn)，把原題分解成一組并列的簡(jiǎn)單題，有助于實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。 有些

6、結(jié)構(gòu)復(fù)雜的綜合題，就其生成背景而論，大多是由若干比較簡(jiǎn)單的基本題，經(jīng)過(guò)適當(dāng)組合抽去中間環(huán)節(jié)而構(gòu)成的。 因此，從題目的因果關(guān)系入手，尋求可能的中間環(huán)節(jié)和隱含條件，把原題分解成一組相互聯(lián)系的系列題，是實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的一條重要途徑。,聯(lián)想是轉(zhuǎn)化問(wèn)題的橋梁。稍具難度的問(wèn)題和基礎(chǔ)知識(shí)之間的聯(lián)系都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的。 因而，怎樣解題，解題的速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，作出相應(yīng)的聯(lián)想，找到突破口，不斷深入。,數(shù)學(xué)家波利亞在怎樣解題中說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換?？梢?jiàn)解題過(guò)程是通過(guò)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化才能完成的。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方法。 那么，怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括講，

7、就是把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題，把抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化成具體問(wèn)題，把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知問(wèn)題。因此，在解數(shù)學(xué)題時(shí)，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問(wèn)題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。,（3）善于進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化,有些數(shù)學(xué)題，條件比較抽象、復(fù)雜，不太容易入手。這時(shí)，不妨簡(jiǎn)化題中某些已知條件，甚至?xí)簳r(shí)撇開(kāi)不顧，先考慮一個(gè)簡(jiǎn)化問(wèn)題。這樣簡(jiǎn)單化了的問(wèn)題，對(duì)于解答原題，常常能起到穿針引線的作用。,2思維訓(xùn)練： （1）觀察能力的訓(xùn)練 雖然觀察看起來(lái)是一種表面現(xiàn)象，但它是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)部規(guī)律的基礎(chǔ)。所以，必須重視觀察能力的訓(xùn)練，使學(xué)生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具體特征，采用特殊方法來(lái)解題。,數(shù)學(xué)中，同一素材的題目，常?？梢杂胁煌谋?/p>

8、現(xiàn)形式；條件與結(jié)論（或問(wèn)題）之間，也存在著多種聯(lián)系方式。因此，恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素，有助于改變題目的形式，溝通條件與結(jié)論（或條件與問(wèn)題）的內(nèi)在聯(lián)系，把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題。 數(shù)學(xué)解題中，構(gòu)造的輔助元素是多種多樣的，常見(jiàn)的有構(gòu)造圖形（點(diǎn)、線、面、體），構(gòu)造算法，構(gòu)造多項(xiàng)式，構(gòu)造方程（組），構(gòu)造坐標(biāo)系，構(gòu)造數(shù)列，構(gòu)造行列式，構(gòu)造等價(jià)性命題，構(gòu)造反例，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型等等。,有些數(shù)學(xué)題，內(nèi)容抽象，關(guān)系復(fù)雜，給理解題意增添了困難，常常會(huì)由于題目的抽象性和復(fù)雜性，使正常的思維難以進(jìn)行到底。 對(duì)于這類(lèi)題目，借助圖表直觀，利用示意圖或表格分析題意，有助于抽象內(nèi)容形象化，復(fù)雜關(guān)系條理化，使思維有相對(duì)具體的依托，便于深入

9、思考，發(fā)現(xiàn)解題線索。 有些涉及數(shù)量關(guān)系的題目，用代數(shù)方法求解，道路崎嶇曲折，計(jì)算量偏大。這時(shí)，不妨借助圖形直觀，給題中有關(guān)數(shù)量以恰當(dāng)?shù)膸缀畏治?，拓寬解題思路，找出簡(jiǎn)捷、合理的解題途徑。,講評(píng)： 我們解題時(shí)，常會(huì)遇到這樣的情形：根據(jù)命題的條件和結(jié)論，按常規(guī)方法去解題，過(guò)程會(huì)十分冗繁，有時(shí)甚至難以入手。 如果能轉(zhuǎn)換一個(gè)角度來(lái)考慮，則可以把它變更為我們熟悉而又易于解的問(wèn)題。,點(diǎn)評(píng)：正與反的轉(zhuǎn)化 有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果直接從正面入手求解難度較大，致使思路受阻，例如，當(dāng)我們研究一種運(yùn)算的逆運(yùn)算時(shí)可以轉(zhuǎn)化為它的正運(yùn)算；在解決有關(guān)反函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為它的反函數(shù)來(lái)求解。 所謂“正反轉(zhuǎn)化”還意味著，如果命題的結(jié)

10、論 非此即彼時(shí)，轉(zhuǎn)化結(jié)論，從而推出矛盾，使問(wèn)題得以解決。,第二講 數(shù)學(xué)思維反思性訓(xùn)練1. 概述 數(shù)學(xué)思維的反思性表現(xiàn)在思維活動(dòng)中善于提出獨(dú)立見(jiàn)解，精細(xì)地檢查思維過(guò)程，不盲從、不輕信。在解決問(wèn)題時(shí)能不斷地驗(yàn)證所擬定的假設(shè)，獲得獨(dú)特的解決問(wèn)題的方法，它和創(chuàng)造性思維密切相關(guān)。 通過(guò)本講訓(xùn)練，加強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維。,養(yǎng)成驗(yàn)算的習(xí)慣，可以有效地增強(qiáng)思維反思性。 如：在解無(wú)理方程、無(wú)理不等式；對(duì)數(shù)方程、對(duì)數(shù)不等式時(shí)，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域可能會(huì)發(fā)生變化，這樣就有可能產(chǎn)生增根或失根，因此必須進(jìn)行檢驗(yàn)，舍棄增根，找回失根。,第三講 數(shù)學(xué)思維嚴(yán)密性訓(xùn)練 1概述 在中學(xué)數(shù)學(xué)中

11、，思維的嚴(yán)密性表現(xiàn)為思維過(guò)程服從于嚴(yán)格的邏輯規(guī)則，考察問(wèn)題時(shí)嚴(yán)格、準(zhǔn)確，進(jìn)行運(yùn)算和推理時(shí)精確無(wú)誤。 數(shù)學(xué)是一門(mén)具有高度抽象性和精密邏輯性的科學(xué)，論證的嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)的根本特點(diǎn)之一。但是，由于認(rèn)知水平和心里特征等因素的影響，中學(xué)生的思維過(guò)程常常出現(xiàn)不嚴(yán)謹(jǐn)現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面： （1） 概念模糊 概念是數(shù)學(xué)理論體系中十分重要的組成部分。它是構(gòu)成判斷、推理的要素。因此必須弄清概念，搞清概念的內(nèi)涵和外延，為判斷和推理奠定基礎(chǔ)。概念不清就容易陷入思維混亂，產(chǎn)生錯(cuò)誤。 （2） 判斷錯(cuò)誤 判斷是對(duì)思維對(duì)象的性質(zhì)、關(guān)系、狀態(tài)、存在等情況有所斷定的一種思維形式。數(shù)學(xué)中的判斷通常稱(chēng)為命題。在數(shù)學(xué)中，如果概念

12、不清，很容易導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤。例如，“函數(shù)是一個(gè)減函數(shù)”就是一個(gè)錯(cuò)誤判斷。 （3） 推理錯(cuò)誤 理是運(yùn)用已知判斷推導(dǎo)出新的判斷的思維形式。它是判斷和判斷的聯(lián)合。任何一個(gè)論證都是由推理來(lái)實(shí)現(xiàn)的，推理出錯(cuò)，說(shuō)明思維不嚴(yán)謹(jǐn)。,注意 充分條件、必要條件、充要條件在解題中的運(yùn)用 我們知道： 如果A成立，那么B成立，即，則A稱(chēng)是B的充分條件。 如果B成立，那么A成立，即，則稱(chēng)B是A的必要條件。 如果A、B可以相互推出，則稱(chēng)是的充分必要條件。 充分條件和必要條件中我們的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到。像討論方程組的解，求滿足條件的點(diǎn)的軌跡等等。但充分條件和必要條件中解題中的作用不同，稍用疏忽，就會(huì)出錯(cuò)。,第四講 數(shù)學(xué)思維發(fā)散性訓(xùn)練 1 概述 數(shù)學(xué)思維發(fā)散性指的是對(duì)一個(gè)問(wèn)題能從多方面考慮；對(duì)一個(gè)對(duì)象能從多種角度觀察；對(duì)一個(gè)題目能想出多種不同的解法，即一題多解。 “數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，它的各個(gè)部分之間存在概念的親緣關(guān)系。我們?cè)趯W(xué)習(xí)每一分支時(shí)，注意了橫向聯(lián)系，把親緣關(guān)系結(jié)成一張網(wǎng)，就可覆蓋全部?jī)?nèi)容，使之融會(huì)貫通”，這里所說(shuō)的橫向聯(lián)系，主要是靠一題多解來(lái)完成的。通過(guò)用不同的方法解決同一道數(shù)學(xué)題，既可以開(kāi)拓解題思路，鞏固所學(xué)知