單孔的夫瑯和費(fèi)衍射ppt課件

1、4.3 單孔的夫瑯和費(fèi)衍射,計(jì)算夫瑯和費(fèi)衍射問(wèn)題，可以直接使用我們上次課得到的衍射積分公式，也可以用菲涅耳半波帶法和相輻矢量分析法。,4.3.1 單縫的夫瑯和費(fèi)衍射,C,L,1,衍射物只在方向上限制入射光波，在方向不受限制。,因此單縫衍射是一維問(wèn)題。,入射光是平面波，可設(shè)入射光的復(fù)振幅為1。,設(shè)衍射物（單縫）的透射系數(shù)為：,則透過(guò)衍射物之后的復(fù)振幅為：,代入我們上次課得到的一維孔徑夫瑯和費(fèi)衍射積分公式即可。,2,其中：,代入上式，可得單縫夫瑯和費(fèi)衍射屏上的復(fù)振幅分布：,3,單縫夫瑯和費(fèi)衍射屏上的輻照度分布：,單縫夫瑯和費(fèi)衍射屏上的衍射圖形見(jiàn)教材186頁(yè)圖（a）圖（b）,令：,得：,所以中央亮斑

2、的條紋寬度：,不難得出，其他條紋的寬度是中央條紋寬度的1/2。,4,斜入射情況：,5,入射光是斜入射平面波，可設(shè)入射光的復(fù)振幅為：,則透過(guò)衍射物之后的復(fù)振幅為：,其傅立葉變換為：,6,斜入射時(shí)單縫夫瑯和費(fèi)衍射屏上的復(fù)振幅分布：,輻照度分布：,所以斜入射時(shí)屏上的復(fù)振幅分布不變，只是有了一個(gè)平移：,7,4.3.2 矩孔的夫瑯和費(fèi)衍射,C,L,這是一個(gè)二維衍射問(wèn)題，需要計(jì)算一個(gè)二重積分。但是對(duì)于可分離變量的透射系數(shù)，可簡(jiǎn)化為分別計(jì)算兩個(gè)一維積分。,8,入射光是平面波，可設(shè)入射光的復(fù)振幅為1。,設(shè)衍射物（矩孔）的透射系數(shù)為：,則透過(guò)衍射物之后的復(fù)振幅為：,9,上次課得到的夫瑯和費(fèi)衍射積分公式：,利用剛

3、才求得的傅立葉變換結(jié)果：,屏上的輻照度分布：,10,(1) 衍射光強(qiáng)分布,對(duì)于沿x軸的光強(qiáng)度分布， 因y=0， 有,當(dāng)x=0 時(shí)(對(duì)應(yīng)于原點(diǎn))，有主極大。在為整數(shù)處，有極小值， L=0，與這些值相應(yīng)的點(diǎn)是暗點(diǎn)， 暗點(diǎn)的位置為,(m=1,2,),相鄰兩暗點(diǎn)之間的間隔為：,11,在相鄰兩個(gè)暗點(diǎn)之間有一個(gè)強(qiáng)度次極大， 次極大的位置由下式?jīng)Q定:,夫朗和費(fèi)矩形孔衍射在y軸上的強(qiáng)度分布特性與x軸類似。,在x, y軸以外各點(diǎn)的光強(qiáng)度，可按式進(jìn)行計(jì)算，圖 給出了一些特征點(diǎn)的光強(qiáng)度相對(duì)值。 顯然， 盡管在xOy面內(nèi)存在一些次極大點(diǎn)， 但它們的光強(qiáng)度極弱。,12,13,夫朗和費(fèi)矩形孔衍射圖樣中一些特征點(diǎn)的相對(duì)強(qiáng)度

4、,14,(2) 中央亮斑 矩形孔衍射的光能量主要集中在中央亮斑處， 其邊緣在x, y軸上的位置是,中央亮斑面積為,該式說(shuō)明，中央亮斑面積與矩形孔面積成反比，在相同波長(zhǎng)和裝置下，衍射孔愈小，中央亮斑愈大.,15,(3) 衍射圖形狀 當(dāng)孔徑尺寸a0=b0, 即為方形孔徑時(shí)，沿x, y方向有相同的衍射圖樣。當(dāng)a0b0， 即對(duì)于矩形孔徑， 其衍射圖樣沿x, y方向的形狀雖然相似，但線度不同。例如，a 0b0時(shí)， 衍射圖樣沿x軸亮斑寬度比沿y軸的亮斑寬度大。,4.3.3 圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射,由于光學(xué)儀器的光瞳通常是圓形的，所以討論圓孔衍射現(xiàn)象對(duì)光學(xué)儀器的應(yīng)用，具有重要的實(shí)際意義。,夫朗和費(fèi)圓孔衍射的討論

5、方法與矩形孔衍射的討論方法相同，只是由于圓孔結(jié)構(gòu)的幾何對(duì)稱性，采用極坐標(biāo)處理更加方便。,16,C,L,這是一個(gè)二維衍射問(wèn)題，需要計(jì)算一個(gè)二重積分。考慮到圓孔的對(duì)稱性，在極坐標(biāo)系中處理比較簡(jiǎn)便。,17,設(shè)圓孔上任一點(diǎn)的位置坐標(biāo)為、，與相應(yīng)的直角坐標(biāo)x, y的關(guān)系為：,=cos =sin,類似地，觀察屏上任一點(diǎn)的位置坐標(biāo)r、與相應(yīng)的直角坐標(biāo)的關(guān)系為,18,由此，屏上光場(chǎng)復(fù)振幅， 在經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換后為 ：,是衍射角。,設(shè)衍射物（圓孔）的透射系數(shù)為：,是圓孔的半徑。,19,入射光是平面波，可設(shè)入射光的復(fù)振幅為1。,則透過(guò)衍射物之后的復(fù)振幅為：,代入后：,根據(jù)零階貝塞爾函數(shù)的積分表示式 ：,20,可將上式

6、變換為 ：,這里已利用了J0(x)為偶函數(shù)的性質(zhì)。再由貝塞爾函數(shù)的性質(zhì):,式中，J1(x)為一階貝塞爾函數(shù)，可得:,21,屏上的輻照度分布：,可以證明，x0時(shí)，,屏上中心點(diǎn)輻照度：,令：,則：,22,基于此式，可以得到夫朗和費(fèi)圓孔衍射的如下特點(diǎn)：,(1) 衍射圖樣 由上三式可見(jiàn)，夫朗和費(fèi)圓孔衍射的光強(qiáng)度分布僅與衍射角有關(guān)(或者，由=r/f，僅與r有關(guān))， 而與方位角坐標(biāo)無(wú)關(guān)。這說(shuō)明，夫朗和費(fèi)圓孔衍射圖樣是圓形條紋。,是衍射角。,23,24,圓孔夫瑯和費(fèi)衍射的強(qiáng)度分布,25,(2) 愛(ài)里斑 由上表可見(jiàn)，中央亮斑集中了入射在圓孔上能量的83.78%，這個(gè)亮斑叫愛(ài)里斑。愛(ài)里斑的半徑r0由第一光強(qiáng)極小

7、值處的值決定， 即 ：,因此,或以角半徑0表示,26,4.3.4 光學(xué)成像系統(tǒng)的分辨本領(lǐng) 瑞利判據(jù),從幾何光學(xué)的觀點(diǎn)看，每個(gè)像點(diǎn)應(yīng)該是一個(gè)幾何點(diǎn)，因此， 對(duì)于一個(gè)無(wú)像差的理想光學(xué)成像系統(tǒng)，其分辨本領(lǐng)應(yīng)當(dāng)是無(wú)限的， 即兩個(gè)點(diǎn)物無(wú)論靠得多近，像點(diǎn)總可分辨開(kāi)。 但實(shí)際上， 光波通過(guò)光學(xué)成像系統(tǒng)時(shí)，總會(huì)因光學(xué)孔徑的有限性產(chǎn)生衍射， 這就限制了光學(xué)成像系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)。通常，由于光學(xué)成像系統(tǒng)具有光闌、 透鏡外框等圓形孔徑，所以討論它們的分辨本領(lǐng)時(shí)，都是以夫朗和費(fèi)圓孔衍射為理論基礎(chǔ)。,如圖 422所示，設(shè)有S1和S2兩個(gè)非相干點(diǎn)光源，間距為， 它們到直徑為D的圓孔距離為R，則S1和S2對(duì)圓孔的張角為,27,

8、由于圓孔的衍射效應(yīng)，S1和S2將分別在觀察屏上形成各自的衍射圖樣。假設(shè)其愛(ài)里斑關(guān)于圓孔的張角為0：,28,根據(jù)瑞利判據(jù)，將一個(gè)點(diǎn)物衍射圖樣的中央極大位置與另一個(gè)點(diǎn)物衍射圖樣的第一個(gè)極小位置重合的狀態(tài)作為光學(xué)成像系統(tǒng)的分辨極限，認(rèn)為此時(shí)光學(xué)系統(tǒng)恰好可分辨開(kāi)這兩個(gè)點(diǎn)物。 這時(shí)，兩點(diǎn)物衍射圖樣的重疊區(qū)中點(diǎn)光強(qiáng)度約為每個(gè)衍射圖樣中心最亮處光強(qiáng)度的73.5%(對(duì)于縫隙形光闌，約為81%)。 于是，由于衍射效應(yīng)，一個(gè)光學(xué)成像系統(tǒng)對(duì)點(diǎn)物成像的愛(ài)里斑角半徑0決定了該系統(tǒng)的分辨極限。,29,幾種光學(xué)成像系統(tǒng)的分辨本領(lǐng) (1) 人眼睛的分辨本領(lǐng) 人眼的成像作用可以等價(jià)于一個(gè)單凸透鏡。通常人眼睛的瞳孔直徑約為 1.

9、56 mm（視入射光強(qiáng)的大小而定)。當(dāng)人眼瞳孔直徑為 2 mm時(shí)，對(duì)于最敏感的光波波長(zhǎng)=0.55 m，按(3 - 42)式可以算得人眼的最小分辨角e為 通常由實(shí)驗(yàn)測(cè)得的人眼最小分辨角約為1(=2.910-4rad)，與上面計(jì)算的結(jié)果基本相符。,30,(2) 望遠(yuǎn)鏡的分辨本領(lǐng) 望遠(yuǎn)鏡的作用相當(dāng)于增大人眼睛的瞳孔。設(shè)望遠(yuǎn)鏡物鏡的圓形通光孔徑直徑為D，若有兩個(gè)物點(diǎn)恰好能為望遠(yuǎn)鏡所分辨開(kāi)， 則根據(jù)瑞利判據(jù)， 這兩個(gè)物點(diǎn)對(duì)望遠(yuǎn)鏡的張角為,這也就是望遠(yuǎn)鏡的最小分辨角公式。該式表明，望遠(yuǎn)鏡物鏡的直徑D愈大，分辨本領(lǐng)愈高，并且，這時(shí)像的亮度也增加了。,31,例如，天文望遠(yuǎn)鏡物鏡的直徑做得很大(可達(dá) 6m)，原

10、因之一就是為了提高分辨本領(lǐng)。對(duì)于=0.55m的單色光來(lái)說(shuō)，其最小分辨角=0.023=1.1210-7 rad，比人眼的分辨本領(lǐng)要大三千倍左右。通常在設(shè)計(jì)望遠(yuǎn)鏡時(shí)，為了充分利用望遠(yuǎn)鏡物鏡的分辨本領(lǐng)，應(yīng)使望遠(yuǎn)鏡的放大率保證物鏡的最小分辨角經(jīng)望遠(yuǎn)鏡放大后等于眼睛的最小分辨角， 即放大率應(yīng)為,32,(3) 照相物鏡的分辨本領(lǐng) 照相物鏡一般都是用于對(duì)較遠(yuǎn)物體的成像，感光底片的位置大致與照相物鏡的焦平面重合。 若照相物鏡的孔徑為D， 相應(yīng)第一極小的衍射角為0， 則底片上恰能分辨的兩條直線之間的距離為,習(xí)慣上，照相物鏡的分辨本領(lǐng)用底片上每毫米內(nèi)能成多少條恰能分開(kāi)的線條數(shù)N表示，N為,33,式中，D/f是照相

11、物鏡的相對(duì)孔徑?？梢?jiàn)，照相物鏡的相對(duì)孔徑愈大，分辨本領(lǐng)愈高。 例如，對(duì)于D/f=13.5的常用照相物鏡，若=0.55m，則N=1 4901/3.5=425(條/mm)。作為照相系統(tǒng)總分辨本領(lǐng)的要求來(lái)說(shuō)，感光底片的分辨本領(lǐng)應(yīng)大于或等于物鏡的分辨本領(lǐng)。 例如， 對(duì)于上面的例子， 應(yīng)選擇分辨本領(lǐng)大于425條/mm的底片。,34,(4) 顯微鏡的分辨本領(lǐng) 顯微鏡由物鏡和目鏡組成，在一般情況下系統(tǒng)成像的孔徑為物鏡框，因此，限制顯微鏡分辨本領(lǐng)的是物鏡框(即孔徑光闌)。 顯微鏡物鏡的成像如圖所示。點(diǎn)物S1和S2位于物鏡前焦點(diǎn)外附近，由于物鏡的焦距很短，所以S1和S2發(fā)出的光波以很大的孔徑角入射到物鏡， 其像S1和S2離物鏡較遠(yuǎn)。雖然S1和S2離物鏡很近，它們的像也是物鏡邊緣(孔徑光闌)的夫朗和費(fèi)衍射圖樣， 其愛(ài)里斑的半徑為,(3 - 46),35,顯微鏡的分辨本領(lǐng),36,由于顯微鏡物鏡的成像滿足阿貝(Abbe)正弦條件,式中，n和n分別是物方和像方折射率，在n=1 時(shí)，因l