流函數(shù)勢(shì)函數(shù)-第一章

1、第六節(jié) 速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù),速度勢(shì)函數(shù),速度流函數(shù),二維流動(dòng)的表示,一、速度勢(shì)函數(shù), 定義（速度勢(shì)函數(shù)的引入及存在條件）,否則，則稱之為渦旋流動(dòng)：,據(jù)矢量分析知識(shí)，任意一函數(shù)的梯度，取旋度恒等于零：,對(duì)于無旋流動(dòng)，必定存在一個(gè)函數(shù) 滿足如： 或,無旋流動(dòng)，其速度矢總可以用函數(shù) 的梯度來表示，把函數(shù) 叫做速度的（位）勢(shì)函數(shù)，可以用這個(gè)函數(shù)來表示無旋流動(dòng)的流場(chǎng)。 通常將無旋流動(dòng)稱為有勢(shì)流動(dòng)或勢(shì)流。,而引進(jìn)了勢(shì)函數(shù)后：,引入勢(shì)函數(shù)的優(yōu)點(diǎn),由流速場(chǎng)與勢(shì)函數(shù)的關(guān)系可知： 流速矢與等位勢(shì)面相垂直，由高位勢(shì)流向低位勢(shì)，等位勢(shì)面緊密處，位勢(shì)梯度大，相應(yīng)的流速大；等位勢(shì)面稀疏處，位勢(shì)梯度小，相應(yīng)的流速小。,用勢(shì)

2、函數(shù)來描述流體運(yùn)動(dòng),例1-6-1 已知流體作無旋運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的等勢(shì)函數(shù)線分布如 圖所示（其中， ）的，請(qǐng)判斷并在圖 中標(biāo)出A、B兩處流體速度的方向，并比較A、B 兩處流速的大小。, 勢(shì)函數(shù)的求解 假如流體的散度為： 根據(jù)勢(shì)函數(shù)的定義有： 其中， 為三維拉普拉斯算子。 可以看出，如果給定D，通過求解泊松（Poisson）方程，即可求得勢(shì)函數(shù)。,求解勢(shì)函數(shù)的具體方法（僅考慮二維的情況）：,（2）如已知速度場(chǎng)，可以先求出D，然后再求解泊松方程，最終得到勢(shì)函數(shù)。,（1）如已知D，直接求解泊松（Poisson）方程，可得勢(shì)函數(shù)。,定義及存在條件,二、速度流函數(shù),考慮二維無輻散流動(dòng)，即滿足：,其流線方程為：

3、,引入流體散度的概念之后，可將流體運(yùn)動(dòng)分為：,根據(jù)格林積分公式（平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件）可知，滿足無輻散條件下:,流速與該函數(shù)滿足：,矢量形式：,積分以上的全微分形式，可以得到： =常數(shù),上式所描述的曲線就是流線，當(dāng)然，它也是函數(shù) 的等值線。 將以上引進(jìn)的函數(shù) 稱之為流函數(shù)，而流線也就是等流函數(shù)線。,對(duì)某一固定的時(shí)刻：一空間曲線流線方程積分曲線。,流速與該函數(shù)的關(guān)系曲線的切線方向與流速矢的方向是相吻合的。,（2）表征流體通量 在流體中任取一條有向曲線A B，順著該有向曲線流體自右側(cè)向左側(cè)的通量Q：,曲線法向方向的單位矢量定義為：,而：,引入流函數(shù)的優(yōu)點(diǎn),流速在曲線法向方向上的分量,（1）

4、減少表征流動(dòng)的變量,A,B,引用流函數(shù)，并考慮：,或,表明:經(jīng)過兩點(diǎn)為端點(diǎn)的任何曲線的流體通量，決定于該兩點(diǎn)的流函數(shù)差，而與曲線的長(zhǎng)度和形狀無關(guān)。 用流函數(shù)可以來方便地表征無輻散場(chǎng)的流體通量。,同樣，求解流函數(shù)的方法為： （1）已知渦度，直接求解泊松（Poisson）方程； （2）已知速度場(chǎng)，先求出渦度，然后求解泊松方程。,（3）表征流體渦度,由渦度的定義 ，可得到用流函數(shù)來表 示的渦度表達(dá)式： 可見，對(duì)流函數(shù)取拉普拉斯運(yùn)算即可得到流體的渦度。,三、二維流動(dòng),一般二維流動(dòng)，既不滿足無旋條件，也不滿足無輻散條件，流動(dòng)是有旋有輻散的。此時(shí)，其渦度和散度均不為零，即滿足：,無輻散渦旋流,無旋輻散流,上式為大氣動(dòng)力學(xué)中廣泛采用的形式。,習(xí)題1-6-1 已知二維流速場(chǎng)為： 分別求勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)存在的條件。,習(xí)題1-6-2 請(qǐng)問是否存在既滿足無輻散條件又滿足無旋條件的流動(dòng)？如存在，請(qǐng)舉例說明。,課 后 習(xí) 題,習(xí)題1-6-3 請(qǐng)證明無輻散的平面無旋流動(dòng)：（1）流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)（滿足二維拉普拉斯方程)（2）等勢(shì)函數(shù)線和等流函數(shù)線正交。,習(xí)題1-6-4 平面流動(dòng)的流線方程為： ； 由流函數(shù)全微分 ； 當(dāng)取 常值時(shí)，也可以得到 試問兩式是否等價(jià)？請(qǐng)說明理由？,6速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù) （概