高中數(shù)學(xué)人教A浙江一輪參考課件93圓的方程

1、9.3圓的方程,-2-,-3-,知識梳理,雙擊自測,1.圓的定義 在平面內(nèi),到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓.確定一個(gè)圓最基本的要素是圓心和半徑. 2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),表示以(a,b)為圓心,r為半徑長的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)特別地,以原點(diǎn)為圓心,r為半徑長的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=r2.,-4-,知識梳理,雙擊自測,-5-,知識梳理,雙擊自測,4.確定圓的方程的方法和步驟 確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法,大致步驟為 (1)根據(jù)題意,選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程; (2)根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或D,E,F的方程組; (3)解出a,b,r或D,

2、E,F代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程. 5.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 若圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),點(diǎn)M(x0,y0),試根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系填寫代數(shù)關(guān)系. (1)點(diǎn)在圓上:(x0-a)2+(y0-b)2=r2; (2)點(diǎn)在圓外:(x0-a)2+(y0-b)2r2; (3)點(diǎn)在圓內(nèi):(x0-a)2+(y0-b)2r2.,-6-,知識梳理,雙擊自測,1.x2+y2-4x+6y=0的圓心坐標(biāo)是() A.(2,3)B.(-2,3)C.(-2,-3)D.(2,-3) 2.圓心在y軸上,且過點(diǎn)(-1,2)并與x軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(),D,解析:圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-

3、4F0)的圓心為,圓x2+y2-4x+6y=0的圓心為(2,-3).,B,解析:設(shè)圓心為(0,a),根據(jù)所求圓與x軸相切,則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-a)2=a2.,-7-,知識梳理,雙擊自測,3.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圓的充要條件是(),D,解析:方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圓的充要條件是(4m)2+(-2)2-45m0,即m1.,-8-,知識梳理,雙擊自測,4.若原點(diǎn)在圓(x-m)2+(y+m)2=8的內(nèi)部,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是. 5.已知等腰三角形ABC,其中頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,0),底邊的一個(gè)端點(diǎn)B坐標(biāo)為(1,1),則另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程為.,-2m

4、2,解析:點(diǎn)(0,0)在圓(x-m)2+(y+m)2=8的內(nèi)部, (0-m)2+(0+m)28,解得-2m2.,x2+y2=2(除去點(diǎn)(1,1)和(-1,-1),解析:設(shè)C(x,y),根據(jù)在等腰三角形中,|AB|=|AC|可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即x2+y2=2.考慮到A,B,C三點(diǎn)要構(gòu)成三角形,因此點(diǎn)C不能為(1,1)和(-1,-1).所以點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2=2(除去點(diǎn)(1,1)和(-1,-1).,-9-,知識梳理,雙擊自測,自測點(diǎn)評 1.求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,一定要抓住圓的圓心和半徑兩個(gè)核心要素,若圓與坐標(biāo)軸相切,則要注意半徑和圓心的關(guān)系. 2.配方法

5、在圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)起關(guān)鍵作用,因此要熟練掌握. 3.求軌跡方程時(shí),一定要結(jié)合已知條件進(jìn)行檢驗(yàn),以防漏解或增解.,-10-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,求圓的方程(考點(diǎn)難度) 例1(1)如圖,圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0),與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A,B(B在A的上方),且|AB|=2,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為. (2)(2016浙大附中全真模擬)已知直線l的方程是x+y-6=0,A,B是直線l上的兩點(diǎn),且OAB是正三角形(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則OAB外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.,(x-2)2+(y-2)2=8,-11-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,-12-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,方法總結(jié)常見的求圓的方程的方法有

6、兩種:一是利用圓的幾何特征,求出圓心坐標(biāo)和半徑長,寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;二是利用待定系數(shù)法,應(yīng)用關(guān)鍵是根據(jù)已知條件選擇標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程.如果所給條件易求圓心坐標(biāo)和半徑長,則選用標(biāo)準(zhǔn)方程求解;如果所給條件與圓心、半徑關(guān)系不密切或涉及圓上多點(diǎn),常選用一般方程求解.,-13-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,對點(diǎn)訓(xùn)練(1)圓心在直線y=x上,經(jīng)過原點(diǎn),且截x軸所得的弦長為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. (2)已知圓經(jīng)過A(2,-3)和B(-2,-5)兩點(diǎn),若圓心在直線x-2y-3=0上,則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.,(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2,(x+1)2+(y+2)2=10,-14-,考點(diǎn)

7、一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,解析: (1)圓心在直線y=x上,可設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-a)2=r2.將y=0代入得x2-2ax+2a2=r2,x1+x2=2a,x1x2=2a2-r2,整理,得r2-a2=1,再將點(diǎn)(0,0)代入(x-a)2+(y-a)2=r2, 得2a2=r2.聯(lián)立即可解出a=1,r2=2或a=-1,r2=2, 故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2. (2)線段AB中垂線的方程為2x+y+4=0,它與直線x-2y-3=0的交點(diǎn)(-1,-2)為圓心,由兩點(diǎn)間的距離公式得r2=10,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=10.,-1

8、5-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,與圓有關(guān)的軌跡問題(考點(diǎn)難度) 例2(1)已知點(diǎn)P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0,過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則M的軌跡方程為. (2)如圖所示,圓O1和圓O2的半徑長都等于1,|O1O2|=4.過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1,圓O2的切線PM,PN(M,N為切點(diǎn)),使得 .試建立平面直角坐標(biāo)系,并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.,-16-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,解: (1)(x-1)2+(y-3)2=2圓C的方程可化為x2+(y-4)2=16,所以圓心為C(0,4),半徑為4.,即(x-1)2+(y-3)2=2. 因此M的軌跡方程

9、是(x-1)2+(y-3)2=2.,-17-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,(2)解:以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn),O1O2所在的直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則O1(-2,0),O2(2,0).,因?yàn)閮蓤A的半徑長均為1,所以|PO1|2-1=2(|PO2|2-1). 設(shè)P(x,y),則(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1, 化簡,得(x-6)2+y2=33, 所以所求軌跡方程為(x-6)2+y2=33.,-18-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,方法總結(jié)1.解答與圓有關(guān)的軌跡問題常采用以下方法:直接法直接根據(jù)題目提供的條件列出方程;定義法根據(jù)圓、直線等定義列方程;幾何法利用圓的幾何性質(zhì)

10、列方程;代入法找到所求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系,代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式. 2.求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí),題目的設(shè)問有兩種常見形式,作答也應(yīng)有不同:若求軌跡方程,把方程求出化簡即可;若求軌跡,則必須根據(jù)軌跡方程,指出軌跡是什么曲線.,-19-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,對點(diǎn)訓(xùn)練(1)已知點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)P是圓x2+y2=1(x1)上的一點(diǎn),AOP的平分線交AP于點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q的軌跡方程為.,(2)如圖所示,已知P(4,0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn),A,B是圓上兩動(dòng)點(diǎn),且滿足APB=90,求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程.,-20-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,-21-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,(2)解:設(shè)A

11、B的中點(diǎn)為R,坐標(biāo)為(x,y),連接OR,PR, 則在RtABP中,|AR|=|PR|. 又R是弦AB的中點(diǎn), 所以在RtOAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x2+y2).,所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2),即x2+y2-4x-10=0. 因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上,而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng). 設(shè)Q(x,y),R(x1,y1),因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn),整理,得x2+y2=56,即為所求頂點(diǎn)Q的軌跡方程.,-22-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,與圓有關(guān)的最值問題(考點(diǎn)難度) 例3已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0.求: (1) 的最大值和最小值;

12、 (2)y-x的最小值; (3)x2+y2的最大值和最小值.,-23-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,-24-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,-25-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,方法總結(jié)1.形如 形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)P(a,b)動(dòng)直線斜率的最值問題. 2.形如t=ax+by形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題. 3.形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)(x,y)到定點(diǎn)(a,b)的距離的平方的最值問題. 4.有時(shí)與圓有關(guān)的最值問題需要結(jié)合已知條件,列出代數(shù)關(guān)系式,然后根據(jù)關(guān)系式的特征選擇參數(shù)法、配方法、判別式法、基本不等式等方法進(jìn)行最值的求解.,-26-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,

13、考點(diǎn)三,對點(diǎn)訓(xùn)練(1)已知點(diǎn)A(-2,0),B(0,2),實(shí)數(shù)k是常數(shù),M,N是圓x2+y2+kx=0上兩個(gè)不同點(diǎn),P是圓x2+y2+kx=0上的動(dòng)點(diǎn),若M,N關(guān)于直線x-y-1=0對稱,則PAB面積的最大值是. (2)已知A(0,2),點(diǎn)P在直線x+y+2=0上,點(diǎn)Q在圓C:x2+y2-4x-2y=0上,則|PA|+|PQ|的最小值是. (3)設(shè)圓x2+y2=2的切線l與x軸正半軸,y軸正半軸分別交于點(diǎn)A,B,當(dāng)|AB|取最小值時(shí),切線l的方程為.,x+y-2=0,-27-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,-28-,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,-29-,思想方法 轉(zhuǎn)化與化歸思想在與圓有關(guān)的最值問題中的應(yīng)

14、用 轉(zhuǎn)化與化歸思想的本質(zhì)是把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的、熟悉的問題去解決.與圓有關(guān)的最值問題中應(yīng)善于利用圓心,把圓上點(diǎn)的問題可以轉(zhuǎn)化成與圓心有關(guān)的問題,化動(dòng)為定.,-30-,典例(2016浙江五校聯(lián)考)直線mx+y-4=0與直線x-my-4=0相交于點(diǎn)P,則P到點(diǎn)Q(5,5)的距離|PQ|的取值范圍是.,解析:如圖所示, 因?yàn)橹本€mx+y-4=0過定點(diǎn)A(0,4), 直線x-my-4=0過定點(diǎn)B(4,0),且互相垂直,所以兩直線的交點(diǎn)P,在以AB為直徑的圓上,且不過原點(diǎn). 所以,交點(diǎn)P到點(diǎn)Q(5,5)的距離|PQ|的取值范圍是,-31-,對點(diǎn)訓(xùn)練設(shè)點(diǎn)M(x0,1),若在圓O:x2+y2=1上存在點(diǎn)N,使得OMN=45,則x0的取值范圍是.,-1,1,解析:由題意可知M在直線y=1上運(yùn)動(dòng),設(shè)直線y=1與圓x2+y2=1相切于點(diǎn)P(0,1).當(dāng)x0=0,