2020年湘教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 2.2一元二次方程的解法 教案.doc

1、22一元二次方程的解法22.1配方法教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】1知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程為一元一次方程2學(xué)會(huì)用直接開(kāi)平方法解形如(axb)2k0(k0)的方程3理解“配方”是一種常用的數(shù)學(xué)方法，在用配方法將一元二次方程變形的過(guò)程中，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)化歸的思想方法【過(guò)程與方法】通過(guò)探索配方法的過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法【情感態(tài)度】學(xué)生在獨(dú)立思考和合作探究中感受成功的喜悅，并體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣【教學(xué)重點(diǎn)】運(yùn)用配方法解一元二次方程【教學(xué)難點(diǎn)】把一元二次方程轉(zhuǎn)化為形如(xn)2d(d0)的過(guò)程教學(xué)過(guò)程一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知1根據(jù)完全平方公式填空：(1

2、)x26x9()2(2)x28x16()2(3)x210x()2()2(4)x23x()2()22前面我們已經(jīng)學(xué)了一元一次方程和二元一次方程組的解法，解二元一次方程組的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程組為一元一次方程)由解二元一次方程組的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路嗎？3你會(huì)解方程x26x160嗎？你會(huì)將它變成(xm)2n(n為非負(fù)數(shù))的形式嗎？試試看如果是方程2x213x呢？【教學(xué)說(shuō)明】學(xué)會(huì)利用完全平方知識(shí)填空，初步配方為后面學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)二、思考探究，獲取新知1解方程：x225000.問(wèn)：怎樣將這個(gè)方程“降次”為一元一次方程？把方程寫(xiě)成x22500這表明x是2500的平方

3、根，根據(jù)平方根的意義，得x或x因此，原方程的解為x150，x250【歸納結(jié)論】一元二次方程的解也是一元二次方程的根2解方程(2x1)22解：根據(jù)平方根的意義，得2x1或2x1因此，原方程的根為x1，x23通過(guò)上面的兩個(gè)例題，你知道什么時(shí)候用開(kāi)平方的方法來(lái)解一元二次方程呢？【歸納結(jié)論】對(duì)于形如(xn)2d(d0)的方程，可直接用開(kāi)平方法解直接開(kāi)平方法的步驟是：把方程變形成(xn)2d(d0)，然后直接開(kāi)平方得xn和xn，分別解這兩個(gè)一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解4解方程x24x12我們已知，如果把方程x24x12寫(xiě)成(xn)2d的形式，那么就可以根據(jù)平方根的意義來(lái)求解那么，如何將左

4、邊寫(xiě)成(xn)2的形式呢？我們學(xué)過(guò)完全平方式，你能否將左邊x24x添上一項(xiàng)使它成為一個(gè)完全平方式請(qǐng)相互交流寫(xiě)出解題過(guò)程【歸納結(jié)論】一般地，像上面這樣，在方程x24x12的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，在減去這個(gè)數(shù)，使得含未知數(shù)的項(xiàng)在一個(gè)完全平方式里，這種做法叫作配方配方、整理后就可以直接根據(jù)平方根的意義來(lái)求解了這種解一元二次方程的方法叫作配方法5如何用配方法解方程25x250x110呢？如果二次項(xiàng)系數(shù)為1，那就好辦了！那么怎樣將二次項(xiàng)的系數(shù)化為1呢？同伴之間可以相互交流試著寫(xiě)出解題過(guò)程6通過(guò)上面配方法解一元二次方程的過(guò)程，你能總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟嗎？【歸納結(jié)論】用配方法解一元二次

5、方程的步驟：(1)把方程化為一般形式ax2bxc0；(2)把方程的常數(shù)項(xiàng)通過(guò)移項(xiàng)移到方程的右邊；(3)若方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)a；(4)方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；(5)此時(shí)方程的左邊是一個(gè)完全平方式，然后利用平方根的定義把一元二次方程化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解【教學(xué)說(shuō)明】通過(guò)這一過(guò)程，學(xué)生發(fā)現(xiàn)能用直接開(kāi)平方法求解的方程都可以轉(zhuǎn)化成一般形式，一般形式的方程也能用配方法轉(zhuǎn)化為可以直接開(kāi)平方的形式，所以總結(jié)出解一元二次方程的基本思路是將一元二次方程轉(zhuǎn)化為(xn)2d(d0)的形式三、運(yùn)用新知，深化理解1見(jiàn)教材P33例3、P34例4.2列方程(注：學(xué)生練習(xí)，教師

6、巡視，適當(dāng)輔導(dǎo))(1)x210x240；(2)(2x1)(x3)5；(3)3x26x40.解：(1)移項(xiàng)，得x210x24配方，得x210x252425，由此可得(x5)21，x51，x16，x24.(2)整理，得2x25x80.移項(xiàng)，得2x25x8二次項(xiàng)系數(shù)化為1得x2x4，配方，得x2x()24()2(x)2，由此可得x，x1，x2.(3)移項(xiàng)，得3x26x4二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x22x，配方，得x22x1212，(x1)2因?yàn)閷?shí)數(shù)的平方不會(huì)是負(fù)數(shù)，所以x取任何實(shí)數(shù)時(shí)，(x1)2都是非負(fù)數(shù)，上式都不成立，即原方程無(wú)實(shí)數(shù)根3解方程x28x10分析：顯然這個(gè)方程的左邊不是一個(gè)完全平方式，因此，

7、要按前面的方法化為完全平方式解：x28x10移項(xiàng)得：x28x1配方得：x28x16116即(x4)215兩邊開(kāi)平方得：x4x14，x24.4用配方法將下列各式化為a(xh)2k的形式(1)3x26x1；(2)y2y2；(3)0.4x20.8x1.解：(1)3x26x13(x22x)3(x22x1212)3(x1)23(x1)24(2)y2y2(y2y3)y2y()2()23(y)2(y)2.(3)0.4x20.8x10.4(x22x2.5)0.4(x22x12)122.50.4(x1)21.4【教學(xué)說(shuō)明】通過(guò)練習(xí)，使學(xué)生能靈活運(yùn)用“配方法”，并強(qiáng)化學(xué)生對(duì)一元二次方程解的認(rèn)識(shí)四、師生互動(dòng)、課堂小

8、結(jié)先小組內(nèi)交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進(jìn)行總結(jié)教師作以補(bǔ)充課后作業(yè)布置作業(yè)：教材“習(xí)題2.2”中第1、2、3題教學(xué)反思在教學(xué)過(guò)程中，堅(jiān)持由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由特殊到一般的原則，采用了觀察對(duì)比，合作探究等不同的學(xué)習(xí)方式，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生主動(dòng)探究發(fā)現(xiàn)結(jié)論，教師做學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者，合作者，促進(jìn)者，要適時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生，實(shí)現(xiàn)師生互動(dòng)同時(shí)，我認(rèn)識(shí)到教師不僅僅要教給學(xué)生知識(shí)，更要在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)中的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)22.2公式法教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】1經(jīng)歷推導(dǎo)求根公式的過(guò)程，加強(qiáng)推理技能的訓(xùn)練2會(huì)用公式法解簡(jiǎn)單系數(shù)的一元二次方程【過(guò)程與方法】通過(guò)由配方

9、法推導(dǎo)求根公式，培養(yǎng)學(xué)生推理能力和由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想【情感態(tài)度】讓學(xué)生體驗(yàn)到所有一元二次方程都能運(yùn)用公式法去解，形成全面解決問(wèn)題的積極情感，感受公式的對(duì)稱(chēng)美、簡(jiǎn)潔美，產(chǎn)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)的情感【教學(xué)重點(diǎn)】求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用【教學(xué)難點(diǎn)】理解求根公式的推導(dǎo)過(guò)程教學(xué)過(guò)程一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知1用配方法解方程：(1)x23x20；(2)2x23x50.2由用配方法解一元二次方程的基本步驟知：對(duì)于每個(gè)具體的一元二次方程，都使用了相同的一些計(jì)算步驟，這啟發(fā)我們思考，能不能對(duì)一般形式的一元二次方程ax2bxc0(a0)使用這些步驟，然后求出解x的公式？【教學(xué)說(shuō)明】這樣做了以后，我們可以運(yùn)用這個(gè)公式來(lái)求

10、每一個(gè)具體的一元二次方程的解，取得一通百通的效果二、思考探究，獲取新知1用配方法解方程：ax2bxc0(a0)分析：前面具體數(shù)字已做了很多，我們現(xiàn)在不妨把a(bǔ)、b、c也當(dāng)成一個(gè)具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去解：移項(xiàng)，得：ax2bxc因?yàn)閍0，所以方程兩邊同除以a得：x2x配方，得：x2x()2()2即(x)2a0，4a20當(dāng)b24ac0，0x即xx1，x2.當(dāng)b24ac0x即x13，x2.2某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)關(guān)于x的方程(m1)xm21(m2)x10提出了下列問(wèn)題(1)若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程(2)若使方程為一元一次方程m是否存在？若存在，請(qǐng)求出你

11、能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？分析：(1)要使它為一元二次方程，必須滿(mǎn)足m212，同時(shí)還要滿(mǎn)足(m1)0.(2)要使它為一元一次方程，必須滿(mǎn)足或或解：(1)存在根據(jù)題意，得：m212m21m1當(dāng)m1時(shí)，m11120當(dāng)m1時(shí)，m1110(不合題意，舍去)當(dāng)m1時(shí)，方程為2x21x0a2，b1，c1b24ac(1)242(1)189xx11，x2.因此，該方程是一元二次方程時(shí)，m1，兩根x11，x2.(2)存在根據(jù)題意，得：m211，m20，m0因?yàn)楫?dāng)m0時(shí)，(m1)(m2)2m110所以m0滿(mǎn)足題意當(dāng)m210，m不存在當(dāng)m10，即m1時(shí)，m230所以m1也滿(mǎn)足題意當(dāng)m0時(shí)，一元一次方程是x2x10，解得：x

12、1當(dāng)m1時(shí)，一元一次方程是3x10解得x因此，當(dāng)m0或1時(shí)，該方程是一元一次方程，并且當(dāng)m0時(shí)，其根為x1；當(dāng)m1時(shí)，其一元一次方程的根為x.【教學(xué)說(shuō)明】主體探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，進(jìn)一步理解求根公式四、師生互動(dòng)、課堂小結(jié)先小組內(nèi)交流收獲和感想而后以小組為單位派代表進(jìn)行總結(jié)教師作以補(bǔ)充課后作業(yè)布置作業(yè)：教材“習(xí)題2.2”中第4題教學(xué)反思通過(guò)復(fù)習(xí)配方法使學(xué)生會(huì)對(duì)一元二次方程的定義及解法有一個(gè)熟悉的印象然后讓學(xué)生用配方法推導(dǎo)一般形式ax2bxc0(a0)的解，并掌握利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況使學(xué)生的推理能力得到加強(qiáng)22.3因式分解法教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】能靈活運(yùn)用

13、直接開(kāi)平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程能夠根據(jù)一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活擇其簡(jiǎn)單的方法【過(guò)程與方法】通過(guò)比較、分析、綜合，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力【情感態(tài)度】通過(guò)知識(shí)之間的相互聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系和發(fā)展的眼光分析問(wèn)題，解決問(wèn)題，樹(shù)立轉(zhuǎn)化的思想方法【教學(xué)重點(diǎn)】用因式分解法解一元二次方程【教學(xué)難點(diǎn)】理解因式分解法解一元二次方程的基本思想教學(xué)過(guò)程一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知復(fù)習(xí)：將下列各式分解因式(1)5x24x(2)x24x4(3)4x(x1)22x(4)x24(5)(2x1)2x2【教學(xué)說(shuō)明】通過(guò)復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)，有利于學(xué)生熟練正確將多項(xiàng)式因式分解，從而有利降低本節(jié)的難度二、思考探

14、究，獲取新知1解方程x23x0可用因式分解法求解方程左邊提取公因式x，得x(x3)0由此得x0或x30即x10，x23與公式法相比，哪種更簡(jiǎn)單？【歸納結(jié)論】利用因式分解來(lái)解一元二次方程的方法叫做因式分解法2用因式分解法解下列方程；(1)x(x5)3x；(2)2x(5x1)3(5x1)；(3)(352x)29000.3你能總結(jié)因式分解法解一元二次方程的一般步驟嗎？【歸納結(jié)論】把方程化成一邊為0，另一邊是兩個(gè)一次因式的乘積的形式，然后使每一個(gè)一次因式等于0，分別解兩個(gè)一元一次方程，得到的兩個(gè)解就是原一元二次方程的解4說(shuō)一說(shuō)：因式分解法適用于解什么形式的一元二次方程【歸納結(jié)論】因式分解法適用于解一邊

15、為0，另一邊可分解成兩個(gè)一次因式乘積的一元二次方程5選擇合適的方法解下列方程：(1)x23x0；(2)5x24x30；(3)x22x30.按課本方式引導(dǎo)學(xué)生用因式分解法解一元二次方程6如何選擇合適的方法解一元二次方程呢？【歸納結(jié)論】公式法適用于所有一元二次方程因式分解法(有時(shí)需要先配方)適用于所有一元二次方程配方法是為了推導(dǎo)出求根公式，以及先配方，然后用因式分解法總之，解一元二次方程的基本思路都是：將一元二次方程轉(zhuǎn)化成為一元一次方程，即降次，其本質(zhì)是把方程ax2bxc0(a0)的左邊的二次多項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次多項(xiàng)式的乘積，即ax2bxca(xx1)(xx2)，其中x1和x2是方程ax2bxc0

16、的兩個(gè)根【教學(xué)說(shuō)明】在學(xué)生解決問(wèn)題的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能夠解方程的依據(jù)三、運(yùn)用新知，深化理解1用因式分解法解下列方程：(1)5x23x0；(2)7x(3x)4(x3)分析：(1)左邊x(5x3)，右邊0；(2)先把右邊化為0，7x(3x)4(x3)0，找出(3x)與(x3)的關(guān)系解：(1)因式分解，得x(5x3)0，于是得x0或5x30，x10，x2；(2)原方程化為7x(3x)4(x3)0，因式分解，得(x3)(7x4)0，于是得x30或7x40，x13，x22選擇合適的方法解下列方程：(1)2x25x20；(2)(1x)(x4)(x1)(12

17、x)分析：(1)題宜用公式法；(2)題中找到(1x)與(x1)的關(guān)系用因式分解法；解：(1)a2，b5，c2，b24ac(5)242290，x，x12，x2(2)原方程化為(1x)(x4)(1x)(12x)0，因式分解，得(1x)(5x)0，即(x1)(x5)0，x10或x50，x11，x253用因式分解法解下列方程：(1)10x23x0；(2)7x(3x)6(x3)；(3)9(x2)24(x1)2.分析：(1)左邊x(10x3)，右邊0；(2)先把右邊化為0，7x(3x)6(x3)0，找出(3x)與(x3)的關(guān)系；(3)應(yīng)用平方差公式解：(1)因式分解，得x(10x3)0，于是得x0或10x30，x10，x2；(2)原方程化為7x(3x)6(x3)0，因式分解，得(x3)(7x6)0，于是得x30或7x60，x13，x2；(3)原方程化為9(x2)24(x1)20，因式分解，得3(x2)2(x1)3(x2)2(x1)0，即(5x4)(x8)0，于是得5x40或x80，x1，x28.4已知(a2b2)2(a2b2)60，求a2b2的值分析：若把(a2b2)看作一個(gè)整體，則已知條件可以看作是以(a2b2)為未知數(shù)的一元二次方程解