高中數(shù)學第一章坐標系1.1.1平面直角坐標系與曲線方程課件選修.pptx

1、第一章坐標系,1 平面直角坐標系,1.1平面直角坐標系與曲線方程,一,二,一、平面直角坐標系與點的坐標 在平面直角坐標系中,對于任意一點,都有唯一的有序實數(shù)對(x,y)與之對應;反之,對于任意的一個有序實數(shù)對(x,y),都有唯一的點與之對應.即在平面直角坐標系中,點和有序實數(shù)對是一一對應的.,一,二,名師點撥1.在平面上建立直角坐標系后,平面上的點與全體有序實數(shù)對之間就建立了一一對應關系,即在給定平面直角坐標系的情況下,平面上的任意一點唯一地確定一個有序實數(shù)對;反之,任意給定一個有序實數(shù)對,它也唯一地確定平面上的一個點. 2.兩點間的距離公式:在平面直角坐標系內,兩點P1(x1,y1),P2(

2、x2,y2) 之間的距離公式為|P1P2|=,3.中點坐標公式:在平面直角坐標系內,若兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的中點為M(x,y),則x=,一,二,做一做1點P(1,-2)關于點A(-1,1)的對稱點P的直角坐標為() A.(3,4)B.(-3,4) C.(3,-4)D.(-3,-4),解析：設點P的坐標為(x,y),答案：B,一,二,做一做2已知點P(-1+2m,-3-m)在第三象限,則m的取值范圍是.,解析：因為第三象限內點的坐標特征是橫坐標與縱坐標均小于0,一,二,二、平面直角坐標系與曲線方程 在平面直角坐標系中,如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解

3、建立了如下的關系: 1.曲線C上的點的坐標都是方程f(x,y)=0的解. 2.以方程f(x,y)=0的解為坐標的點都在曲線C上. 那么,方程f(x,y)=0叫作曲線C的方程,曲線C叫作方程f(x,y)=0的曲線.,名師點撥求曲線方程一般有以下五個步驟:(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?并用(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標;(2)寫出適合條件P的點M的集合P=M|P(M);(3)用坐標表示條件P(M),寫出方程f(x,y)=0;(4)化簡方程f(x,y)=0(必須等價);(5)證明以(4)中方程的解為坐標的點都在曲線上.一般地,方程的變形過程若是等價的,則步驟(5)可以省略.,一,二,思考辨析

4、 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“”,錯誤的打“”. (1)若曲線C上的點都是方程f(x,y)=0的解,則曲線C是方程f(x,y)=0的曲線. () (2)以方程x2+y2=4的解為坐標的點都是曲線“在y軸右側到原點的距離等于2的點的集合”上的點. () (3)已知等腰三角形ABC的底邊為AB,且A(-1,1),B(3,7),則頂點C的軌跡方程為x+2y-7=0. () (4)方程(x-a)2+(y-b)2=r2的曲線經過點(1,2)的充要條件是(1-a)2+(2-b)2=r2. (),探究一,探究二,探究三,思維辨析,利用坐標系解決幾何問題 【例1】 已知ABCD,求證:|AC

5、|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2). 分析：解答本題可以運用坐標方法即解析法,先在ABCD所在的平面內建立平面直角坐標系,設出點A,B,C,D的坐標,再由距離公式完成證明.也可以運用向量的線性運算以及數(shù)量積運算加以證明.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,證法一(解析法) 以A為坐標原點O,AB所在的直線為x軸,建立平面直角坐標系xOy,則A(0,0). 設B(a,0),C(b,c),則AC的中點E ,由對稱性知D(b-a,c), 所以|AB|2=a2,|AD|2=(b-a)2+c2, |AC|2=b2+c2,|BD|2=(b-2a)2+c2, |AC|2+|BD|2=4a2+2b

6、2+2c2-4ab =2(2a2+b2+c2-2ab), |AB|2+|AD|2=2a2+b2+c2-2ab, 所以|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,證法二(向量法),反思感悟建立平面直角坐標系的原則 1.如果圖形有對稱中心,那么可以選對稱中心為原點. 2.如果圖形有對稱軸,那么可以選對稱軸為坐標軸. 3.使圖形上的特殊點盡可能多地在坐標軸上.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓練1 在ABC中,|AB|=|AC|,BD,CE分別為兩腰上的高.求證:|BD|=|CE|. 證明：如圖,以BC所在直線為x軸,BC的垂直平分線為y軸建立平

7、面直角坐標系. 設B(-a,0),C(a,0),A(0,h).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,求軌跡方程 【例2】 設點A是單位圓x2+y2=1上的任意一點,l是過點A與x軸垂直的直線,點D是直線l與x軸的交點,點M在直線l上,且滿足|DM|=m|DA|(m0,且m1).當點A在單位圓上運動時,記點M的軌跡為曲線C.求曲線C的方程,判斷曲線C為何種圓錐曲線,并求其焦點坐標. 分析：設出點M的坐標(x,y),直接利用條件求解.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解：如圖,設M(x,y),A(x0,y0),則由|DM|=m|DA|(m0,且m1),可得x=x0,|y|=m|y0|,探究一,探究

8、二,探究三,思維辨析,反思感悟求軌跡的常用方法 1.直接法:如果題目中的條件有明顯的等量關系或者可以推出某個等量關系,即可用求曲線方程的五個步驟直接求解. 2.定義法:如果動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義,那么可根據定義寫出軌跡方程. 3.代入法:若動點P(x,y)依賴于另一動點Q(x1,y1),而動點Q(x1,y1)又在某已知曲線上,則可先列出關于x,y,x1,y1的方程組,利用x,y表示x1,y1,把x1,y1代入已知曲線方程即為所求. 4.參數(shù)法:動點P(x,y)的橫縱坐標用一個或幾個參數(shù)來表示,消去參數(shù)即得其軌跡方程.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓練2 在ABC中,若BC的

9、長度為4,中線AD的長度為3,求點A的軌跡方程.,解：取B,C所在直線為x軸,線段BC的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系,則D(0,0),B(-2,0),C(2,0). 點A的軌跡方程為x2+y2=9(y0).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,利用坐標系解決實際問題 【例3】 由甲導彈驅逐艦、乙導彈驅逐艦、丙綜合補給艦組成的護航編隊奔赴某海域執(zhí)行護航任務,對商船進行護航.某日甲艦在乙艦正東6 km處,丙艦在乙艦北偏西30,兩艦相距4 km.某時刻甲艦發(fā)現(xiàn)商船的某種求救信號.由于乙、丙兩艦比甲艦距離商船遠,因此4 s后乙、丙兩艦才同時發(fā)現(xiàn)這一信號,此信號的傳播速度為1 km/s.若甲艦趕赴

10、救援,則行進的方位角應是多少? 分析：本題求解的關鍵在于確定商船相對于甲艦的相對位置,因此不妨用點A,B,C表示甲艦、乙艦、丙艦,建立適當?shù)淖鴺讼?求出商船與甲艦的坐標,解決問題.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解：設點A,B,C,P分別表示甲艦、乙艦、丙艦和商船.如圖所示,以AB所在直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系,則A(3,0),B(-3,0),C(-5,2 ). 由題意得|PB|=|PC|, 則點P在線段BC的垂直平分線上.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟1.由于點A,B,C的相對位置一定,解決問題的關鍵是如何建系,將幾何位置量化,根據直線與雙曲線

11、方程求解. 2.運用坐標法解決實際問題的步驟:建系設點列關系式求解數(shù)學結果回答實際問題.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓練3 已知某荒漠上有兩個定點A,B,它們相距2 km,現(xiàn)準備在荒漠上開墾一片以AB為一條對角線的平行四邊形區(qū)域建成農藝園,按照規(guī)劃,圍墻總長為8 km. (1)問:農藝園的最大面積能達到多少? (2)該荒漠上有一條水溝l恰好經過點A,且與AB成30的角,現(xiàn)要對整條水溝進行加固改造,但考慮到今后農藝園的水溝要重新改造,所以對水溝可能被農藝園圍進的部分暫不加固,問:暫不加固的部分有多長?,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解：(1)設平行四邊形的另兩個頂點為C,D,由圍

12、墻總長為8 km,得|CA|+|CB|=4(km)|AB|=2(km),由橢圓的定義知,點C的軌跡是以點A,B為焦點,長軸長2a=4,焦距2c=2的橢圓(去除落在直線AB上的兩點). 若以AB所在直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系,易知點D也在此橢圓上,要使平行四邊形ACBD的面積最大,則C,D為此橢圓短軸的端點,此時,面積S=2 (km2).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,因忽視曲線方程的意義而致誤 典例已知兩定點A,B,且|AB|=4,動點M滿足:直線MA與MB斜率之積為常數(shù)- ,求點M的軌跡方程,并注明軌跡是什么曲線.,探究一

13、,探究二,探究三,思維辨析,正解：以AB所在直線為x軸,以AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系xOy,糾錯心得1.在解本題時沒有考慮到式子的意義,在 中x+20,x-20,即x2,沒有去掉相應的兩個點. 2.在利用平面直角坐標系求軌跡問題時,往往會遇到去點或去掉圖形的某一部分的情況,做這種題時要認真分析題目條件,求出準確的軌跡方程.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓練已知一條直線l和它上方的一個點A,點A到直線l的距離是2,一條曲線也在直線l的上方,它上面的每一點到A的距離減去到直線l的距離的差都是2,建立適當?shù)淖鴺讼?求這條曲線的方程.,解：取直線l為x軸,過點A且垂直于直線l的直線為y軸,建立坐標系xOy, 設點M(x,y)是曲線上任意一點,作MBx軸,垂足是點B. 曲線在x軸的上方,y0. 根據題意得|MA|-|MB|=2,1 2 3 4,1.已知曲線C的方程為y=x(1x5),則下列四點在曲線C上的是(),答案：D,1 2 3 4,2.動點P到直線x+y-4=0的距離等于它到點M(2,2)的距離,則點P的軌跡是() A.直線B.橢圓 C.雙曲線D.拋物線 解析：