中考總復(fù)習(xí)：方程與不等式綜合復(fù)習(xí)-知識(shí)講解(提高)

1、方程與不等式綜合復(fù)習(xí)【考綱要求】1會(huì)從定義上判斷方程(組)的類型，并能根據(jù)定義的雙重性解方程(組)和研究分式方程的增根情況；2掌握解方程(組)的方法，明確解方程組的實(shí)質(zhì)是“消元降次”、“化分式方程為整式方程”、“化無理式為有理式”；3理解不等式的性質(zhì)，一元一次不等式(組)的解法，在數(shù)軸上表示解集，以及求特殊解集；4列方程(組)、列不等式(組)解決社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)問題；5. 解方程或不等式是中考的必考點(diǎn)，運(yùn)用方程思想與不等式(組)解決實(shí)際問題是中考的難點(diǎn)和熱點(diǎn)【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、一元一次方程1.方程含有未知數(shù)的等式叫做方程.2.方程的解能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.3.等

2、式的性質(zhì)（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式.（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結(jié)果仍是等式.4.一元一次方程只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，a是未知數(shù)x的系數(shù)，b是常數(shù)項(xiàng).5.一元一次方程解法的一般步驟 整理方程 去分母 去括號 移項(xiàng) 合并同類項(xiàng)系數(shù)化為1(檢驗(yàn)方程的解).6.列一元一次方程解應(yīng)用題 (1)讀題分析法：多用于“和，差，倍，分問題” 仔細(xì)讀題，找出表示相等關(guān)系的關(guān)鍵字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，為，完成，增加，減少，配套”，利用這些關(guān)

3、鍵字列出文字等式，并且根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，最后利用題目中的量與量的關(guān)系填入代數(shù)式，得到方程.(2)畫圖分析法：多用于“行程問題” 利用圖形分析數(shù)學(xué)問題是數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)，仔細(xì)讀題，依照題意畫出有關(guān)圖形，使圖形各部分具有特定的含義，通過圖形找相等關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，從而取得布列方程的依據(jù)，最后利用量與量之間的關(guān)系(可把未知數(shù)看作已知量)，填入有關(guān)的代數(shù)式是獲得方程的基礎(chǔ).要點(diǎn)詮釋：列方程解應(yīng)用題的常用公式：(1)行程問題： 距離=速度時(shí)間 ；(2)工程問題： 工作量=工效工時(shí) ；(3)比率問題： 部分=全體比率 ；(4)順逆流問題： 順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-

4、水流速度；(5)商品價(jià)格問題： 售價(jià)=定價(jià)折 ，利潤=售價(jià)-成本， ；(6)周長、面積、體積問題：C圓=2R，S圓=R2，C長方形=2(a+b)，S長方形=ab， C正方形=4a，S正方形=a2，S環(huán)形=(R2-r2)，V長方體=abh ，V正方體=a3，V圓柱=R2h ，V圓錐=R2h.考點(diǎn)二、一元二次方程1.一元二次方程含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng).3.一元二次方程的解法（1）直

5、接開平方法利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法.直接開平方法適用于解形如的一元二次方程.根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當(dāng)時(shí)，當(dāng)b0； (2)試比較A、B、C的大小關(guān)系，并說明理由.【答案】（1）A-B=，A-B0(2) C-B=CBA-C=，ACB【變式2】如圖，要使輸出值y大于100，則輸入的最小正整數(shù)x是_【答案】解：設(shè)n為正整數(shù)，由題意得解得則n可取的最小正整數(shù)為11若x為奇數(shù)，即x21時(shí)，y105；若x為偶數(shù)，即x22時(shí)，y101滿足條件的最小正整數(shù)x是21類型三、方程（組）與不等式（組）的綜合應(yīng)用4宏志高中高一年級近幾年來招生人數(shù)逐年增加，去年達(dá)到

6、550名，其中有面向全省招收的“宏志班”學(xué)生，也有一般普通班的學(xué)生由于場地、師資等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班學(xué)生可多招20%，“宏志班”學(xué)生可多招10%，問今年最少可招收“宏志班”學(xué)生多少名?【思路點(diǎn)撥】根據(jù)招生人數(shù)列等式，根據(jù)今年招生最多比去年增加100人列不等式.【答案與解析】設(shè)去年招收“宏志班”學(xué)生x名，普通班學(xué)生y名，由條件得將y550-x代入不等式，可解得x100，于是(1+10%)x110故今年最少可招收“宏志班”學(xué)生110名【總結(jié)升華】本題屬于列方程與不等式組綜合題.舉一反三：【變式】為了加強(qiáng)學(xué)生的交通安全意識(shí)，某中學(xué)和交警大隊(duì)聯(lián)合舉行了“我當(dāng)一日小交警”活

7、動(dòng)，星期天選派部分學(xué)生到交通路口值勤，協(xié)助交通警察維持交通秩序，若每一個(gè)路口安排4人，那么還剩下78人；若每個(gè)路口安排8人，那么最后一個(gè)路口不足8人，但不少于4人求這個(gè)中學(xué)共選派值勤學(xué)生多少人?共有多少個(gè)交通路口安排值勤?【答案】設(shè)這個(gè)學(xué)校選派值勤學(xué)生x人，共到y(tǒng)個(gè)交通路口值勤根據(jù)題意得 由可得x4y+78，代入，得478+4y-8(y-1)8，解得19.5y20.5根據(jù)題意y取20，這時(shí)x為158，即學(xué)校派出的是158名學(xué)生，分到了20個(gè)交通路口安排值勤5已知關(guān)于x的一元二次方程 .（其中m為實(shí)數(shù)）（1）若此方程的一個(gè)非零實(shí)數(shù)根為k， 當(dāng)k = m時(shí)，求m的值； 若記為y，求y與m的關(guān)系式；

8、（2）當(dāng)m2時(shí)，判斷此方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)并說明理由.【思路點(diǎn)撥】（1）由于k為此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，故把k代入原方程，即可得到關(guān)于k的一元二次方程，把k=m代入關(guān)于k的方程，即可求出m的值；由于k為原方程的非零實(shí)數(shù)根，故把方程兩邊同時(shí)除以k，便可得到關(guān)于y與m的關(guān)系式；（2）先求出根的判別式，再根據(jù)m的取值范圍討論的取值即可【答案與解析】（1） k為的實(shí)數(shù)根， . 當(dāng)k = m時(shí)， k為非零實(shí)數(shù)根， m 0，方程兩邊都除以m，得. 整理，得 . 解得 ，. 是關(guān)于x的一元二次方程， m 2. m= 1. k為原方程的非零實(shí)數(shù)根， 將方程兩邊都除以k，得.整理，得 . .（2）解法一： .當(dāng)m2時(shí)

9、，m0，0. 0，10，0. 當(dāng)m2時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. 解法二：直接分析m2時(shí)，函數(shù)的圖象， 該函數(shù)的圖象為拋物線，開口向下，與y軸正半軸相交， 該拋物線必與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn). 當(dāng)m2時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. 解法三：.結(jié)合關(guān)于m的圖象可知，（如圖）當(dāng)m1時(shí)，4；當(dāng)1m2時(shí)，14. 當(dāng)m2時(shí)，0. 當(dāng)m2時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.【總結(jié)升華】和一元二次方程的根有關(guān)的問題往往可以借助于二次函數(shù)圖象解決，數(shù)形結(jié)合使問題簡化.舉一反三：【變式1】（2014秋天河區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+4x+k1=0有實(shí)數(shù)根，k為正整數(shù)（1）求k的值（2）當(dāng)此方程有兩個(gè)非

10、零的整數(shù)根時(shí)，將關(guān)于x的二次函數(shù)y=2x2+4x+k1的圖象向右平移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位，求平移后的圖象的解析式【答案】解：（1）方程2x2+4x+k1=0有實(shí)數(shù)根，=4242（k1）0，k3又k為正整數(shù)，k=1或2或3（2）當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí)，當(dāng)k=1時(shí)，方程為2x2+4x=0，解得x1=0，x2=2；不合題意，舍去當(dāng)k=2時(shí)，方程為2x2+4x+1=0，解得x1=1+，x2=1；不合題意，舍去當(dāng)k=3時(shí)，方程為2x2+4x+2=0，解得x1=x2=1；符合題意因此y=2x2+4x+2的圖象向右平移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位，得出y=2x22【變式2】已知：關(guān)于x的方程（1）

11、求證：方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若方程有一根大于5且小于7，求k的整數(shù)值；(3)在的條件下，對于一次函數(shù)和二次函數(shù)=，當(dāng)時(shí)，有，求b的取值范圍【答案】證明：=(k2)24(k3) =k24k+44k+12 = k28k+16 =(k4)20 此方程總有實(shí)根。解：解得方程兩根為x1=1，x2=3k方程有一根大于5且小于7，53k7， 4k2，k為整數(shù)，k=3.解：由知k=-3， ，即 在時(shí)，有類型四、用不等式（組）解決決策性問題6（2015春重慶校級期中）某服裝店到廠家選購A、B兩種服裝，若購進(jìn)A種型號服裝12件，B種型號服裝8件，需要1880元；若購進(jìn)A種型號服裝9件，B種型號服裝10件，需要18

12、10元（1）求A、B兩種服裝的進(jìn)價(jià)分別為多少元？（2）若銷售一件A型服裝可獲利18元，銷售一件B型服裝可獲利30元，根據(jù)市場需求，服裝店老板決定：購進(jìn)A、B兩種服裝共34件，并使這批服裝全部銷售完畢后總獲利不少于906元問服裝店購進(jìn)B種服裝至少多少件？（3）在（2）問的條件下，服裝店應(yīng)怎樣購進(jìn)A、B兩種服裝，才能使得兩種服裝的總成本最低？最低為多少元？【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意可知，本題中的相等關(guān)系是“A種型號服裝12件，B種型號服裝8件，需要1880元”和“A種型號服裝9件，B種型號服裝10件，需要1810元”，列方程組求解即可；（2）若設(shè)購進(jìn)B種服裝m件，則購進(jìn)A種服裝的數(shù)量是34m，列出

13、不等式解答即可；（3）設(shè)服裝店購進(jìn)B種服裝m件列出函數(shù)解析式，結(jié)合最值解答即可【答案與解析】解（1）設(shè)A服裝進(jìn)價(jià)為x元，B服裝進(jìn)價(jià)為y元由題意得：，解得：x=90，y=100，答：A服裝進(jìn)價(jià)為90元，B服裝進(jìn)價(jià)為100元；（2）設(shè)服裝店購進(jìn)B種服裝m件由題意得：18（34m）+30m906解得：m，答：服裝店購進(jìn)B種服裝至少25件；（3）設(shè)服裝店購進(jìn)B種服裝m件兩種服裝的總成本為w元 由題意得：w100m+90（34m）=10m，因?yàn)閣隨著m的增大而增大，所以當(dāng)m 取最小值即25時(shí)，w最小為3310，答：服裝店購進(jìn)A種9件B種25件服裝，才能使得兩種服裝的總成本最低，最低為3310元【總結(jié)升華】本題考查了二元一次方程組和不等式的應(yīng)用，利用二元一次方程組求解的應(yīng)用題一般情況下題中要給出2個(gè)等量關(guān)系，準(zhǔn)確的找到等量關(guān)系并用方程組表示出來是解題的關(guān)鍵象這種利用不等式解決方案設(shè)計(jì)問題時(shí)，往往是在解不等式的解后，再利用實(shí)際問題中的正整數(shù)解，且這些正整數(shù)解的個(gè)數(shù)就是可行的方案個(gè)數(shù)舉一反三：【變式】某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品，共50件已知生產(chǎn)一件種產(chǎn)品，需用甲種原料9千克，乙種原料3千克；生產(chǎn)一件種產(chǎn)品，需用甲種原料4千克，乙種原料10千克（1）據(jù)現(xiàn)有條件安排、兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案，請你設(shè)計(jì)