高中數(shù)學(xué)講義微專題47《多變量表達(dá)式范圍——放縮消元法》講義

1、微專題47多變量表達(dá)式的范圍放縮消元法一、基礎(chǔ)知識： 在有些多變量表達(dá)式的題目中，所提供的條件為不等關(guān)系，則也可根據(jù)不等關(guān)系進(jìn)行消元，從而將多變量表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一元表達(dá)式，便于求得最值1、放縮法求最值的理論基礎(chǔ)： 不等式的傳遞性：若，則 2、常見的放縮消元手段：（1）抓住題目中的不等關(guān)系，若含有兩個變量間的不等關(guān)系，則可利用這個關(guān)系進(jìn)行放縮消元（2）配方法：通過利用“完全平方式非負(fù)”的特性，在式子中構(gòu)造出完全平方式，然后令其等于0，達(dá)到消元的效果（3）均值不等式：構(gòu)造能使用均值不等式的條件，利用均值不等式達(dá)到消元的效果（4）主元法：將多元表達(dá)式視為某個變量（即主元）的函數(shù)，剩下的變量視為常數(shù)，然

2、后利用常規(guī)方法求得最值從而消去主元，達(dá)到消元的效果。3、放縮消元過程中要注意的地方：（1）在放縮過程中應(yīng)注意所求最值與不等號方向的對應(yīng)關(guān)系，例如：若求最小值，則對應(yīng)的不等號為“”；若求最大值，則對應(yīng)的不等號為“”。放縮的方向應(yīng)與不等號的方向一致（2）對進(jìn)行放縮消元后的式子，要明確是求其最大值還是最小值。放縮法求最值的基礎(chǔ)是不等式的傳遞性，所以在求最值時要滿足其不等號的方向一致。若將關(guān)于 的表達(dá)式進(jìn)行放縮消去，得到，例如，則下一步需要求出的最小值（記為），即，通過不等式的傳遞性即可得到。同理，若放縮后得到：，則需要求出的最大值（記為），即，然后通過不等式的傳遞性得到（3）在放縮的過程中，要注意每

3、次放縮時等號成立的條件能夠同時成立，從而保證在不等式中等號能夠一直傳遞下去二、典型例題：例1：設(shè)集合中的最大元素與最小元素分別為，則的值為_思路：考慮分別求出的最大值與最小值，先求的最大值，只需取最小，取最大：即 ，再求的最小值，由可知利用進(jìn)行放縮，從而消去，可得：，再利用均值不等式可得：，所以的最小值，從而 答案： 例2：已知是任意三點(diǎn)，則的最小值是_思路：因?yàn)?，所以結(jié)合不等號的方向可將消去，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式：，然后可從出發(fā)，構(gòu)造出與第一項(xiàng)互為倒數(shù)的性質(zhì)以便于利用均值不等式解出最值：，從而有：，所以答案： 例3：設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為_思路：由可聯(lián)想到與的關(guān)系，即，所以，然后可利用進(jìn)

4、一步放縮消元，得，在利用即可得到最大值：，所以的最大值為，其中等號成立條件為： 答案：小煉有話說：本題也可從入手，進(jìn)行三角換元：，由可得，然后根據(jù)不等號的方向進(jìn)行連續(xù)放縮，消去 即可得到最值：例4：已知關(guān)于的一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立，且，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 思路：由不等式恒成立可得：，結(jié)合所求表達(dá)式和不等號方向可知更易于消去，即，所以，對于該其次分式可兩邊同時除以，可得：，令由可知從而將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值。，從而 答案：D小煉有話說：本題的關(guān)鍵之處在于選擇消去的元，如果選擇，則因分式中含的項(xiàng)較多，消元會比較復(fù)雜，不利于求得最值。所以處理多變量表達(dá)式的最值時，選擇消

5、去合適的元是關(guān)鍵例5（2010，四川）設(shè)，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 思路：表達(dá)式含變量個數(shù)較多，且沒有等量條件消元，所以考慮式子中是否存在不等關(guān)系來減少變量個數(shù)，觀察式子可發(fā)現(xiàn)存在完全平方式，即，從而消去了，得，然后根據(jù)分母特征：構(gòu)造，由均值不等式得：，驗(yàn)證等號成立條件：，從而最小值為答案：D小煉有話說：本題在處理的最值時還可以從分式入手：，從而對分母利用均值不等式：消去，所以例6：已知正數(shù)滿足，則的最小值是_思路：所求表達(dá)式涉及3個變量，首先確定主元，通過觀察可發(fā)現(xiàn)分母中的可與條件中的具備不等關(guān)系，而可用表示，且不等號的方向與所求一致，故考慮利用不等式進(jìn)行放縮消元，進(jìn)而得到關(guān)

6、于的表達(dá)式求得最值解：，因?yàn)?所以有 （等號成立條件： ）例7：設(shè)，且，則的最大值是_ 思路：本題雖然有3個變量，但可通過進(jìn)行消元，觀察所求式子項(xiàng)的次數(shù)可知消去更方便，從而可得。然后可使用“主元法”進(jìn)行處理，將視為主元，即但本題要注意的取值范圍與相關(guān)，即，通過配方（或求導(dǎo)）可知的最大值在邊界處取得，即，從而達(dá)到消去的效果，再求出中的最大值即可解： 設(shè) 為的極小值點(diǎn) 其中設(shè)若 可得：例8：已知函數(shù) （1）求的解析式及單調(diào)區(qū)間（2）若不等式恒成立，求的最大值解：（1），代入可得： ，令可得： ，可知 在上單調(diào)遞增 時， 時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（2）恒成立的不等式為：即 設(shè) ，令，即解不等式 若

7、，可解得 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 下面求的最大值令，設(shè) 令，可解得 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 當(dāng)時，可得 當(dāng)時， 為增函數(shù)且時， ，與恒成立矛盾綜上所述：的最大值為 例9：已知函數(shù)，求的最小值思路：在多元表達(dá)式中不易進(jìn)行變形消元，觀察到變量存在二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)，所以考慮利用“主元法”，將視為自變量，視為參數(shù)，通過配方，并利用完全平方數(shù)的特征消去，從而得到關(guān)于的函數(shù)，然后求得最小值即可。解： 設(shè)設(shè)，可知 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 恒成立令，即解不等式在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增即的最小值為例10：已知函數(shù)（1）若在上的最大值和最小值分別記為，求（2）設(shè)，若對恒成立，求的取值范圍解：（1） 當(dāng)時，可得 在單調(diào)遞增 當(dāng)時，可得：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增由