第2節(jié)空間幾何體的表面積與體積

1、2021新亮劍高考總復(fù)習(xí)立體幾何第八章第2節(jié)空間幾何體的表面積與體積1磨劍課前自學(xué)目錄CONTENTS2悟劍課堂精講3目 錄 磨劍課前自學(xué)高考動態(tài)拓展知識知識查缺補漏磨劍課前自學(xué)悟劍課堂精講目 錄4最新考綱考向分析了解球、柱體、錐體、臺體的表面積和體積的計算公式1. 規(guī)則幾何體的表面積與體積.2. 組合體的表面積與體積.3. 體積中的最值問題.4. 空間幾何體的切接問題高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄一、幾何體的表面積1. 棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是各個面的面積之和.2. 圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是 矩形、 扇形、 扇環(huán).3. 若圓柱、圓錐的底面半徑為 r,母線長為 l,則其表面積

2、為 S 柱=2r2+2rl,r2+rlS 錐=.4.若圓臺的上、下底面半徑分別為 r1,r2,母線長為 l,則圓臺的表面積(2+2)+(r +r )l為 S= 1212.5.半徑為 R 的球的表面積為4R2.高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄二、幾何體的體積1.V 柱體= Sh.2.V 錐體=1Sh.33.V 臺體=1(S+ +S)h,V 圓臺=1(2+r1r2+2)h.12334R34.V 球=.3高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄1. 與體積有關(guān)的幾個結(jié)論(1) 一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差. (2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等. 2.幾個與球有關(guān)的切、接常用

3、結(jié)論(1) 正方體的棱長為 a,球的半徑為 R,若球為正方體的外接球,則 2R= 3a;若球為正方體的內(nèi)切球,則 2R=a;若球與正方體的各棱相切,則 2R= 2a.(2) 若長方體過同一頂點的三條棱長分別為 a,b,c,外接球的半徑為 R,則 2R= 2 + 2 + 2.(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為 31.7高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識【概念辨析】判斷下列結(jié)論的正誤.(對的打“”,錯的打“”) (1)錐體的體積等于底面面積與高之積.(2) 球的體積之比等于半徑比的平方.(3) 臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差.(4) 已知球 O 的半徑為

4、R,其內(nèi)接正方體的棱長為 a,則 R= ()3a.2答案解析8目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識解析(1)錯誤.錐體的體積等于1底面積高.3(2) 錯誤.球的體積之比等于半徑比的立方.(3) 正確.臺體是由一個錐體截去一個較小的錐體形成的.(4) 正確.若球為正方體的外接球,則 2R= 3a.9目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識【基礎(chǔ)1.已知圓錐的表面積等的半徑為(A.1 cmB).B.2 cmC.3 cmD2解析S 表=r2+rl=r2+r2 r=3r2=12,r2=4,r=2 cm.答案解析10目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識2.(2015 年全國卷)九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)

5、名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺. 問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為 8 尺,米堆的高為 5 尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知 1 斛米的體積約為 1.62 立方尺,圓周率約為 3,估算出堆放的米約有(B).A.14 斛B.22 斛C.36 斛D.66 斛答案解析11目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識設(shè)圓錐底面半徑為 r,則123r=8(尺),所以 r=16(尺),所以米堆的體解析43162320320積為1135=(立方尺),故堆放的米約為1.6222(斛).4339912目 錄拓展知識

6、查缺補漏高考動態(tài)知識3.平面 截球 O 所得截面圓的半徑為 1,球心 O 到平面 的距離為 2,則此球的體積為(A. 6B).B.4 3C.4 6D.6 3解析設(shè)球的半徑為 R,由球的截面性質(zhì)得 R= ( 2)2+ 12= 3,所以球的體積 V=4R3=4 3.3答案解析13目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識【易錯檢測】4.某幾何體的三視圖如圖所示,則它的表面積為( A).A.2+1+ 5B.2+1+2 52C.2+(1+ 5)2D.2+2+ 52解析由俯視圖可得底面半圓半徑 r=1,所以底面半圓面積 S1=1r2= ,幾何22體的側(cè)面為圓錐側(cè)面的一半,由正視圖可得圓錐的母線 l= 22+ 1

7、2= 5, 所以側(cè)面面積 S2=1rl= 5,軸截面為三角形,底為 2,高為 2,所以可得面積22S3=122=2,所以該幾何體的表面積為 S=S1+S2+S3=1+ 5+2.答案解析2214目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識5.如圖,直角梯形 ABCD 中,ADDC,ADBC,BC=2CD=2AD=2,若將該直角梯形繞 BC 邊旋轉(zhuǎn)一周,則所得的幾何體的表面積為 (2+3).答案解析15目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識解析根據(jù)題意可知,該幾何體的上半部分為圓錐(底面半徑為 1,高為1),下半部分為圓柱(底面半徑為 1,高為 1),如圖所示,則所得幾何體的表面積為圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積以

8、及圓柱的下底面面積之和,即表面積為 1 12+ 12+212+12=( 2+3).1617目 錄悟劍課堂精講考點探究素養(yǎng)達成高考真題磨劍課前自學(xué)悟劍課堂精講目 錄考點 1空間幾何體的表面積例 1 (1)已知網(wǎng)格紙的各個小格均是邊長為 1 的正方形,一個幾何體的三視圖如圖中粗線所示,則該幾何體的表面積為().BA.8C.8+ 2B.7+ 2D.6+ 2(2)已知正三棱錐 P-ABC 的底面邊長為 6,PA 所在直線與底面ABC 所成的角為 60, 則該三棱錐的側(cè)面積為 939.答案解析18考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄分析(1)根據(jù)三視圖還原幾何體即可;(2)畫出圖形,過 P 作底面的垂線,垂足

9、 O 落在底面正三角形的中心,得PAO,求出 AO,即可求出 PD,進而得出側(cè)面積.解析(1)由三視圖可知,該幾何體為一個圓柱挖去一個圓錐,圓錐側(cè)面積為S 圓錐側(cè)=rl= 2,圓柱上底面積為 S 底=r2=,圓柱側(cè)面積為 S 圓柱側(cè)=2rl=6故該幾何體的表面積為 7+ 2.故選 B.19考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄(2)如圖,作 ADBC 于點 D,因為三棱錐 P-ABC 為正三棱錐,所以 D 為 BC的中點,連接 PD,則 PDBC,過點 P 作 PO平面 ABC,則點 O 為正三角形的中心,點 O 在 AD 上,所以PAO=60, 正三角形的邊長為 6,則AD= 62-32=3 3,A

10、O=2AD=2 3,DO= 3,3所以 PO=AOtan 60=6,斜 高 PD= 2 + O2= 39,故三棱錐的側(cè)面積為 S=316 39=9 39.220考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄方法總結(jié)： (1)多面體與旋轉(zhuǎn)體的表面積等于側(cè)面面積與底面面積之和.(2)對簡單組合體,應(yīng)搞清各構(gòu)成部分,并注意重合部分的處理. 若以三視圖的形式給出,解題的關(guān)鍵是對給出的三視圖進行分析, 從中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系,得到幾何體的直觀圖,然后根據(jù)條件求解.21考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【針對訓(xùn)練 1】1.如圖,已知四棱錐 P-ABCD 的底面 ABCD 是邊長為 2的正方形,PD底面

11、ABCD,PD=1,則四棱錐 P-ABCD的側(cè)面積為 2+25 .解析PD底面 ABCD,BC,CD平面 ABCD ,PDBC.又 BCCD,PDCD=D,PD,CD平面 PCD,BC平面 PCD,PC平面PCD ,BCPC,同理可得 BAAP,四棱錐 P-ABCD 的側(cè)面積為答案解析S=1PDAD+1PAAB+1PCBC+1PDCD=1+ 5+ 5+1=2+2 5.222222考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄2.下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為().CA.20B.24C.28D.32解析由三視圖可得圓錐的母線長為 22 + (2 3)2=4,S 圓錐側(cè)=24=8

12、.又 S 圓柱側(cè)=224=16,S 圓柱底=4,該幾何體的表面積為 8+16+4=28.答案解析23考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考點2空間幾何體的體積考向 1:直接法求體積例 2 (1)在梯形 ABCD 中,ABC=,ADBC,BC=2AD=2AB=2.將梯形 ABCD 繞2AD 所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體的體積為().CA.2B.4C.5D.2333(2)已知一個四棱錐的底面是平行四邊形,該四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱2錐的體積為.答案解析24考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄分析畫出空間幾何體的直觀圖,然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征代入體積公式求解.解析(1)過點 C 作 CE

13、 垂直 AD 所在直線于點 E,梯形 ABCD 繞 AD 所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段 AB 的長為底面圓半徑,線段 BC 為母線的圓柱挖去以線段 CE 的長為底面圓的半徑,ED 為高的圓錐,如圖所示. 由于 V 圓柱=AB2BC=122=2,V 圓錐=1CE2DE=112(2-1)=,333所以該幾何體的體積 V=V 圓柱-V 圓錐=2- =5 ,故選 C.33(2)由三視圖知,四棱錐的高為 3,底面平行四邊形的一邊長為 2,對應(yīng)高為 1,所以其體積 V=1Sh=1213=2.2533考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考向 2:轉(zhuǎn)化法求體積例 3 如圖,在三棱柱 ABC-A1B1C1

14、中,ABC 是邊長為 4 的正三角形,側(cè)面 BB1C1C是矩形,D,E 分別是線段 BB1,AC1 的中點.(1) 求證:DE平面 ABC.(2) 若平面 ABC平面 BB1C1C,BB1=10,求三棱錐 A-DCE 的體積.解析26考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄分析(1)設(shè) AC 的中點為 H,連接 HE,BH,由中位線定理得 HEBD,HE=BD即證得平行四邊形 EHBD,于是有 DEBH,即證得線面平行;(2)由等體積法變換得 VA-DCE=VE-ACD=1 =1 .1 -ACD-122解析(1)如圖,設(shè) AC 的中點為 H,連接 HE,BH,BDCC1,BD=1CC1,HECC1,HE

15、=1CC1,HEBD,22四邊形 HEDB 是平行四邊形,HBDE.又 HB平面 ABC,DE平面 ABC,DE平面 ABC.(2)E 是線段 AC1 的中點,連接 DC1,則 VA-DCE=VE-ACD=1 =1 =112 31104=20 3.1 -ACD-122232327考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考向 3:分割法求體積例 4 我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)記載的芻甍是底面為矩形,頂部只有一條棱的幾何體.如圖所示的是某個芻甍的三視圖,其中正(主)視圖為等腰梯形,側(cè)(左)視圖為等腰三角形,則它的體積為().AA.160C.256B.160D.6433答案解析28考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄

16、分析解析該幾何體不是基本幾何體,不能直接求解,轉(zhuǎn)化也不方便,可以通過割補法求解.由三視圖可知,該芻甍是一個如圖所示的幾何體.如圖,分別取 QN,PM 上的兩個四等分點 B,E,C,F,連接 AB,BC,AC,DE,DF,EF.則ABC 與DEF 所在的平面將該幾何體分成一個直三棱柱 ABC-DEF 和 兩個全等的四棱錐 A-BCPQ 和 D-FENM.其中直三棱柱 ABC-DEF 中的ABC與DEF 是等腰三角形,BC=4,點 A 到 BC 的距離 d=4,設(shè)ABC 與DEF 的面積為 S1,則 S1=144=8.易知 BE=4,故直三棱柱 ABC-DEF 的體積 V1=S1BE=84=32.

17、四棱錐的底2面是矩形,QB=2,PQ=4,故四棱錐的底面積 S2=24=8.由三視圖可得四棱錐的高 h=4,所以四棱錐的體積 V2=1S2h=184=32.333所以該幾何體的體積 V=V1+2V2=32+232=160.3329考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考向 4:補形法求體積例 5 如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得,則該幾何體的體積為(B).A.90B.63C.42D.36答案解析30考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄分析解析該幾何體不是基本幾何體,分割不行,故可嘗試補形.由幾何體的三視圖可知,該幾何體是一個圓柱截去

18、部分所得,如圖所示.將圓柱補全,并將圓柱從點 A 處水平分成上下兩部分.由圖可知,該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的1,所以該幾何體的體積2V=324+3261=63.故選 B.231考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄方法總結(jié)：1.若所給的幾何體是規(guī)則幾何體,則可直接利用公式進行求其表面積與體積.在求三棱錐的體積時,如果條件給出的底面和高不好計算,可以考慮轉(zhuǎn)換三棱錐的底面或高進行求解.2.若所給的幾何體不規(guī)則,則可用分割法、補形法等方法進行求解.32考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【針對訓(xùn)練 2】1.某幾何體的三視圖如圖所示,且該幾何體的體積是 3,則正(主)視圖中的 x的值是(

19、A.2D).B.9C.3D.322解析由三視圖知,該幾何體是四棱錐,底面是直角梯形,且 S 底=1(1+2)2=3,2V=1x3 =3,解得 x=3.3答案解析33考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄2.如圖所示,正方體 ABCD-A1B1C1D1 的棱長為 1,E,F 分別為線段 AA1,B1C 上1的點,則三棱錐 D1-EDF 的體積為 6.解析三棱錐 D1-EDF 的體積即為三棱錐 F-DD1E 的體積.因為 E,F 分別為 AA1,B1C 上的點,所以EDD1 的面積為定值1,F 到平面 AA1D1D 的距離為定值 1,所以2=111=1.=答案解析-1 E1 -EDF32634考點探究素養(yǎng)

20、達成高考真題目 錄83.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為 3.解析由幾何體的三視圖可知該幾何體由兩個圓錐和一個圓柱構(gòu)成,其中圓錐的底面半徑和高均為 1,圓柱的底面半徑為 1 且其高為 2,故所求幾何體的體積為V=11212+122=8.答案解析3335考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄4.如圖,AB=8,BC=10,AC=6,DB平面 ABC,且 AEFCBD,BD=3,FC=4,AE=5.求此幾何體的體積.解析用“補形法”把原幾何體補成一個直三棱柱,使 AA=BB=CC=8,所以 V 幾何體=1V 三棱柱=1SABCAA=1248=96.222解析36考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄

21、考點 3求球的表面積、體積例 6 在封閉的直三棱柱 ABC-A1B1C1 內(nèi)有一個體積為 V 的球.若 ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,則 V 的最大值是(B ).B.9D.32A.4C.623解析答案37考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄分析要使球的體積最大,由體積公式可知,只需半徑最大,然后根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑.解析由 ABBC,AB=6,BC=8,得 AC=10,要使球的體積 V 最大,則球與直三棱柱的部分面相切,若球與三個側(cè)面相切,設(shè)底面ABC 的內(nèi)切圓的半徑為 r,則168=1(6+8+10)r,則 r=2,22此時 2r=43,不合題意.因此當(dāng)球與三棱柱的上、下底面相切時,球

22、的半徑 R 最大.由 2R=3,得 R=3,2故球的最大體積 V=4R3=9.故選 B.3238考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄變式設(shè)問 1若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵?ABC-A1B1C1 的 6 個頂點都在球 O 的球面上”,若 AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,求球 O 的表面積.解析將直三棱柱補形為長方體 ABEC-ABEC(圖略),則球 O 是長方體 ABEC-ABEC的外接球,長方體對角線 BC的長為球 O 的直徑.因 此 2R= 32 + 42 + 122=13,故 S 球=4R2=169. 解析39考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄變式設(shè)問 2若本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F的

23、頂點都在球 O 的球面上”,且該棱錐的高為 4,底面邊長為 2,求該球的體積.解析如圖,設(shè)所求球心為 O,半徑為 r,則在 RtAOF 中,(4-r)2+( 2)2=r2,解得 r=9,493=243.則球 O 的體積 V=4r3=4 球33416 解析40考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄方法總結(jié)：(1)與球有關(guān)的組合體問題,一種是內(nèi)切,一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合體通常是作它們的軸截面來解題;球與多面體的組 合,通過多面體的一條側(cè)棱和球心,或“切點”“接點”作出截面圖,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. (2)若球面上四點 P,A,B,C 中,PA,PB,PC 兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,則可

24、通過補形構(gòu)造長方體或正方體確定直徑,進而解決外接問題 41考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【針對訓(xùn)練 3】已知 A,B 是球 O 的球面上兩點,AOB=90, C 為該球面上的動點,若三棱錐cO-ABC 體積的最大值為 36,則球 O 的表面積為().A.36B.64C.144D.256解析因為AOB 的面積為定值,所以當(dāng) OC 垂直于平面 AOB 時,此時三棱錐的高為 R,三棱錐 O-ABC 的體積取得最大值.由11R2R=36,得 R=6.從而球 O 的表面積 S=4R2=144.32 解析答案42考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄數(shù)算體積中的最值問題體積中的最值問題是近年來高考考查的熱點內(nèi)容之

25、一,立體幾何中的最值問題涵蓋了長度、面積、體積等最值問題,命題的方式多樣,常用到函數(shù)基本不等式等進行解答.43考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄例 如圖,圓形紙片的圓心為 O,半徑為 5cm,該紙片上的等邊三角形 ABC 的中心為O.D,E,F 三點為圓 O 上的點,DBC,ECA,FAB 分別是以 BC,CA,AB 為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以 BC,CA,AB 為折痕折起DBC,ECA,FAB,使得 D,E,F 三點重合,得到三棱錐.當(dāng)ABC 的邊長變化時,所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為 415.解析答案 44考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解析如圖,連接 DO 交 BC

26、于點 G,設(shè) D,E,F 三點重合于點 S,正三角形ABC 的邊長為 x(x0),則 OG=1 3x = 3x.326DG=SG=5- 3x,62-2= - - 3636332= SO=h=2-, G 5 5 5 三棱錐的體積 V=1S h=1 3x2 5 5- 3 ABC3343= 15 54- 3 5.123設(shè) f(x)=5x4- 3x5,x0, 則 f(x)=20x3-5 3x4,334令 f(x)=0,即 4x3-=0,得 x=4 3,易知 f(x)在 x=4 3處取得最大值. 3 15Vmax=48 5-4=4 15.4512考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【突破訓(xùn)練】如圖,在四棱錐

27、P-ABCD 中,PDAC,AB平面 PAD,底面 ABCD 為正方形,且CD+PD=3.若四棱錐 P-ABCD 的每個頂點都在球 O 的球面上,則球 O 的表面積的最小值為 6 ;當(dāng)四棱錐 P-ABCD 的體積取得最大值時,二面角 A-PC-D 的 正 切 值 為 5 .答案解析46考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解析設(shè) CD=x(0x3),則 PD=3-x.AB平面 PAD,ABPD.又 PDAC,PD平面 ABCD,則四棱錐 P-ABCD 可補形成一個長方體,球 O 的球心為 PB 的中點, 2 2 + 2+(3-)2球 O 的表面積為 4 =3(x-1)2+26.2四棱錐 P-ABCD

28、的體積 V(x)=1(3-x)x2(0x3),3則 V(x)=-x2+2x,當(dāng) 0x0;當(dāng) 2x3 時,V(x)0. 故 Vmax=V(2),此時 AD=CD=2,PD=1.過點 D 作 DHPC 于點 H,連接 AH,則AHD 為二面角 A-PC-D 的平面角.122 5DH=,tanAHD= 5.47 55考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄1.(2018 年全國卷)在長方體 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AC1 與平面BB1C1C 所成的角為 30, 則該長方體的體積為(C).D.8 3A.8B.6 2C.8 2解析由題意可知,AC1B=30,所 以 BC1=2 3,AC1=4,所 以 CC1=2 2,則該長方體的體積為 222 2=8 2.答案解析48考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄2.(2018 年全國卷)已知圓錐的頂點為 S,母線 SA,SB 互相垂直,SA 與圓錐底面所成角為 30.若SAB 的面積為 8,則該圓錐的體積為 8.解析不妨設(shè)該圓錐的母線長為 a,因為 SASB,=1a2sinASB=1a2