連續(xù)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)

1、連續(xù)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)1.緒 論最優(yōu)控制問題就是在一切可能的控制方案中尋找一個控制系統(tǒng)的最優(yōu)控制方案或最優(yōu)控制規(guī)律，使系統(tǒng)能最優(yōu)地達到預期的目標。隨著航海、航天、導航和控制技術不斷深入研究，系統(tǒng)的最優(yōu)化問題已成為一個重要的問題。本文介紹了最優(yōu)控制的基本原理，并給定了一個具體的連續(xù)線性二次型控制系統(tǒng)，利用MATLAB軟件對其最優(yōu)控制矩陣進行了求解，通過仿真實驗，設計得到最優(yōu)控制效果比較好，達到了設計的目的。2.最優(yōu)控制理論介紹2.1最優(yōu)控制問題設系統(tǒng)狀態(tài)方程為： （21）式中，x(t)是n維狀態(tài)向量；u(t)是r維控制向量；n維向量函數(shù)是x(t)、u(t)和t的連續(xù)函數(shù)，且對x

2、(t)與t連續(xù)可微；u(t)在上分段連續(xù)。所謂最優(yōu)控制問題，就是要尋求最優(yōu)控制函數(shù)，使得系統(tǒng)狀態(tài)x(t)從已知初態(tài)轉(zhuǎn)移到要求的終態(tài)，在滿足如下約束條件下：（1） 控制與狀態(tài)的不等式約束 （22）（2） 終端狀態(tài)的等式約束 （23）使性能指標 （24）達到極值。式中是m維連續(xù)可微的向量函數(shù)，；是s維連續(xù)可微的向量函數(shù)，；和都是x(t)與t的連續(xù)可微向量函數(shù)。2.2最優(yōu)控制的性能指標自動控制的性能指標是衡量系統(tǒng)性能好壞的尺度，其內(nèi)容與形式取決于最優(yōu)控制所要完成的任務，不同的控制問題應取不同的性能指標，其基本類型如下：（1）積分型性能指標 （25）表示在整個控制過程中，狀態(tài)x(t)與控制u(t)應達

3、到某些要求。例如：最小時間控制取 =1則 （26）最小燃料消耗控制取 則 （27）最小能量控制取 則 （28）無限時間線性調(diào)節(jié)器取，且其中，均為加權(quán)矩陣，則 （29）無限時間線性跟蹤器 （210）其中，y(t)是系統(tǒng)輸出向量，z(t)是系統(tǒng)希望輸出向量。在性能指標式（28）、（29）、（210）中，被積函數(shù)都是x(t)、y(t)-z(t)或u(t)的平方項組成，這種性能指標的形式叫做二次型性能指標。（2） 末值型性能指標 （211）表示系統(tǒng)在控制過程結(jié)束后，要求系統(tǒng)的終端狀態(tài)應達到某些要求，在實際工程中，例如要求導彈的脫靶量最小、機床移動的準確停止等。中斷時刻可以固定，也可以自由，視最優(yōu)控制問

4、題的性質(zhì)而定。（3） 復合型性能指標 （212）表示對控制過程及控制過程結(jié)束后的終端狀態(tài)均有要求是最一般的性能指標形式。2.3 最優(yōu)控制問題的求解方法（1） 解析法。當性能指標與約束條件為顯式解析表達式是，適用解析法。通常是用求導方法或變分方法求出最優(yōu)控制的必要條件，從而得到一組方程式或不等式，然后求解這組方程或不等式，最后得到最優(yōu)控制的解析解。（2） 數(shù)值計算法。當性能指標比較復雜或不能用變量的顯函數(shù)表示時，可以采用試探法，即直接搜索逐步逼近，經(jīng)過若干次迭代，逐步逼近到最優(yōu)點。（3） 梯度法。這是一種解析和數(shù)值計算相結(jié)合的方法。2.4 線性二次型最優(yōu)控制對于性能指標是二次型函數(shù)的線性系統(tǒng)叫做

5、線性二次型最優(yōu)控制。線性二次型最優(yōu)控制方法的對象是以狀態(tài)空間表達時給出的線性系統(tǒng)，而性能指標是對象狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)。二次型問題就是在線性系統(tǒng)的約束條件下，選擇控制輸入使得二次型目標函數(shù)達到最小。本文主要介紹連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制。設線性連續(xù)訂場系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： （213）式中，x(t)x(t)是n維狀態(tài)向量；u(t)是r維控制向量，且不受約束；A為nn維常數(shù)矩陣，B為nr維常數(shù)矩陣。系統(tǒng)的性能指標為： （214）式中，終端時間無限，Q為nn維常數(shù)矩陣；R為rr維常數(shù)矩陣；R0,。若下列條件之一滿足：（1） 陣對A，B完全可控；（2） 陣對A，B完全可控，陣對A，D完全可觀，D為

6、任意矩陣，則有最優(yōu)反饋矩陣： （215）和唯一的最優(yōu)控制： （216）以及最優(yōu)性能指標： （217）式中，P是常值正定矩陣，它是以下里卡提代數(shù)方程的唯一解： （218）閉環(huán)系統(tǒng)： （219）是漸近穩(wěn)定的，其解為最優(yōu)軌線。2.5 連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制實例已知系統(tǒng)動態(tài)方程：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖21所示。圖21 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖由結(jié)構(gòu)圖有系統(tǒng)的控制信號：式中反饋增益矩陣K: 系統(tǒng)性能指標：其中，試計算最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣K是J最小并對其閉環(huán)系統(tǒng)進行單位階躍給定響應的仿真。下面是該題目的MATLAB程序及運行結(jié)果： a=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6;b=0;0;1; c=1 0 0;d=0;Q=10

7、00 0 0;0 1 0;0 0 1;R=1; K=lqr(a,b,Q,R)K = 26.1870 12.6189 1.8891 k1=K(1);ac=a-b*K;bc=b*k1bc = 0 0 26.1870 cc=c;dc=d; step(ac,bc,cc,dc)得到閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍給定響應的仿真曲線如圖22所示。圖22閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍給定響應曲線經(jīng)狀態(tài)最優(yōu)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍給定響應曲線略微超調(diào)后立即單調(diào)衰減，這樣的仿真曲線是很理想的，確實反映了最優(yōu)控制的效果。若本題要求采用輸出反饋，即使性能指標為：其中 ，計算最優(yōu)反饋矩陣使J最小并對其閉環(huán)系統(tǒng)進行單位階躍給定響應的仿真。此時該題目的MATLAB程序及運行結(jié)果： a=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6;b=0;0;1; c=1 0 0;d=0;Q=diag(1000);R=1; K=lqry(a,b,c,d,Q,R)K = 26.1870 12.4878 1.8087 k1=K(1);ac=a-b*K;bc=b*k1; cc=c;dc=d; step(ac,bc,cc,dc)得到閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍給定響應的仿真曲線如圖23所示。圖23閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍給定響應曲線對比圖22和圖23可見，經(jīng)最有輸出反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)階躍給定響應曲線與經(jīng)狀態(tài)反饋后的階躍響應曲線相差無幾