信號與系統(tǒng)答案 西北工業(yè)大學(xué) 段哲民 第九章 習(xí)題

1、第九章 習(xí)題 9.1 圖題9.1所示電路，已知與為狀態(tài)變量，試證明以下各對變量是否都可以作為狀態(tài)變量。答案解 本題說明狀態(tài)變量的選取不是唯一的。若各組變量之間存在著非奇異線性變換關(guān)系，則這些變量組即可作為狀態(tài)變量。又因為研究的是電路的狀態(tài)，故可采取無激勵電路（即令電路中的激勵均為零）。 （1）即（2） 即（3）即（4）即（5） 即 可見以上5對變量的變換矩陣，其行列式的值均不為零，即它們均為非奇異矩陣，故以上的五對變量組均可作為該電路的狀態(tài)變量。（6） 即 可見此變換矩陣的行列式的值為零，故與不能同時作為狀態(tài)變量，它們兩者線性相關(guān)。9.2 圖題9.2所示電路，以為狀態(tài)變量，試列寫電路的狀態(tài)方程

2、，并寫成矩陣形式。答案 解只含一個獨(dú)立電感的兩個回路，分別列寫方程為即 對只含一個獨(dú)立電容的節(jié)點列寫方程為即 （）式（），（），（，）即為電路的狀態(tài)方程，其矩陣形式為9.3 圖題9.3所示電路，以為狀態(tài)變量，以為響應(yīng)變量，試列寫電路的狀態(tài)方程與輸出方程。答案 解（）求狀態(tài)方程。對只含一個獨(dú)立電感的回路列寫方程為即 （）又 abcdefga回路的方程為即故（）對節(jié)點b列方程為（）式（），（），（）即為電路的狀態(tài)評論員，其矩陣形式為（）求輸出方程。 故輸出方程的矩陣形式為9.4 以知系統(tǒng)的微分方程為試列寫系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程，并寫出，矩陣。答案 解從已知的系統(tǒng)微分方程列寫系統(tǒng)狀態(tài)方程與輸出方程

3、的題目。設(shè)狀態(tài)變量為代入原微分方程有即即故得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其矩陣形式為系統(tǒng)輸出方程為故有9.5 圖題9.5所示系統(tǒng)，以積分器的輸出信號為狀態(tài)變量，試列寫系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程。答案 解此方程組即為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，其矩陣形式為系統(tǒng)的輸出方程為 寫成矩陣形式為 9.6 已知系統(tǒng)的微分方程為（） 試畫出直接形式、級聯(lián)形式、并聯(lián)形式的信號流圖；（2）列寫出與上述各種形式相對應(yīng)的狀態(tài)方程與輸出方程。答案 （1）直接形式的信號流圖如圖9.6(a)所示。取積分器的輸出信號為狀態(tài)變量，故可列寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其矩陣形式為其輸出方程為即 故級聯(lián)形式的信號流圖如圖題9.6（b）所示。取積分器的輸出信號為狀態(tài)

4、變量，故可列寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其矩陣形式為其輸出方程為即 （3）故并聯(lián)形式的信號流圖如圖題9.6(c)所示。取積分器的輸出信號為狀態(tài)變量，故可列寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其矩陣形式為其輸出方程為即 9.7 已知離散系統(tǒng)的框圖如圖題9.7所示，試列寫系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程。答案 解 （1）狀態(tài)方程。取一階子系統(tǒng)的輸出信號為狀態(tài)變量。即又故即（1）又故故（2）又故故（3）將式（1），（2），（3）按次寫成矩陣形式即為（） 輸出方程為即即9.8 離散系統(tǒng)的時域模擬圖如圖題9.8所示，以單位延時器的輸出信號的狀態(tài)變量，列寫系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程。 答案 解其矩陣形式的狀態(tài)方程為其輸出方程為即其矩陣形式

5、的輸出方程為 9.9 已知離散系統(tǒng)的差分方程為（1）畫出系統(tǒng)直接形式的信號流圖；（2）以單位延時器的輸出信號為狀態(tài)變量，列寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程。答案 解 （1）由差分方程可求得系統(tǒng)函數(shù)為故直接形式的信號流圖如圖題9.9所示。以單位延時器的輸出信號為狀態(tài)變量，可列寫出狀態(tài)方程為其矩陣形式為其輸出方程為其矩陣形式為9.10 已知系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 求系統(tǒng)矩陣A。答案 解 方法一 利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的一階導(dǎo)數(shù)求，即故 方法二 變換域方法 因有故令故故9.11 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為。答案 故 故得狀態(tài)向量為9.12 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為當(dāng)激勵時的零狀態(tài)解與零狀態(tài)響應(yīng)分別

6、為求系統(tǒng)的系數(shù)矩陣。答案 解 設(shè)因有故又有即故有聯(lián)解得。故得矩陣又因有即故有聯(lián)解得。故得矩陣故得系統(tǒng)的自然頻率為。9.13 已知系統(tǒng)的信號流圖如圖題9.13所示。(1)以積分器的輸出信號為狀態(tài)變量，列寫系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程；(2)求系統(tǒng)函數(shù)矩陣；(3)求單位沖激響應(yīng)矩陣。答案 解 這是一個多輸入多輸出系統(tǒng)。(1) 狀態(tài)方程與輸出方程其矩陣形式為輸出方程為其矩陣形式為故(2) 求系統(tǒng)函數(shù)矩陣(3) 求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)矩陣9.14 已知離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程為系統(tǒng)的初始狀態(tài)為(1) 求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；(2)求激勵時的狀態(tài)向量和響應(yīng)向量。答案 解 (1) 或(2) 當(dāng)激勵時,狀態(tài)向量只有零

7、輸入解,響應(yīng)向量只有零輸入響應(yīng)。狀態(tài)向量為響應(yīng)向量為9.15 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程為答案 解 (1) 故(2) 當(dāng)狀態(tài)變量為時故得狀態(tài)向量為響應(yīng)向量為當(dāng)狀態(tài)向量為時故可見在兩種不同的狀態(tài)變量下,響應(yīng)是完全相同的。9.16 已知離散系統(tǒng)的模擬圖如圖題9.16所示。(1)求激勵時的狀態(tài)向量；(2)求系統(tǒng)的差分方程。答案 解 (1) 求狀態(tài)向量取單位延時器得輸出信號為狀態(tài)變量,則可列出狀態(tài)方程為其矩陣形式為輸出方程為即因為系統(tǒng)得初始狀態(tài)為零,故狀態(tài)向量中只有零狀態(tài)解,即故得狀態(tài)向量為(2) 由于為零狀態(tài)響應(yīng),故故故得系統(tǒng)得差分方程為9.17 已知系統(tǒng)的信號流圖如圖題9.17所示。(1)以積分

8、器的輸出信號為狀態(tài)變量，列寫系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程；(2)求系統(tǒng)的微分方程；(3)已知激勵時的全響應(yīng)為 答案 解 (1) 列寫系統(tǒng)得狀態(tài)方程與輸出方程即輸出方程為故(2) 故得系統(tǒng)得微分方程為(3) 零狀態(tài)響應(yīng)得像函數(shù)為故得零狀態(tài)響應(yīng)為故又得零輸入響應(yīng)為故又因即聯(lián)解得9.18 已知系統(tǒng)的信號流圖如圖題9.18所示。試求K滿足什么條件時系統(tǒng)為穩(wěn)定。答案 解 取積分器得輸出信號為狀態(tài)變量,故狀態(tài)方程與輸出方程為即故系統(tǒng)的特征多項式為羅斯陣列為故欲使系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng),就必須有故得答案 解 以為狀態(tài)變量,對節(jié)點a , b列KCL 方程為整理后得電路得狀態(tài)方程為故故故得單位階躍響應(yīng)為9.20 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程為試判斷系統(tǒng)的可控性與可觀測性。 答案 解故可見是滿秩的,故系統(tǒng)是完全可控的。故可見不滿秩,故系統(tǒng)是不完全可觀測的。9.21 已知離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程為(1) 求系統(tǒng)的差