數(shù)學(xué)問題雜談 (8).ppt

1、數(shù)學(xué)問題解決教學(xué),一、數(shù)學(xué)問題解決的教育含義,1、這是社會發(fā)展的需要 信息社會的來臨要求人們學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會創(chuàng)新、學(xué)會合作、學(xué)會適應(yīng)。數(shù)學(xué)教育必須努力提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識去解決實際問題的能力。,2、這是數(shù)學(xué)觀現(xiàn)代演變的需要。 20世紀(jì)50年代以來，動態(tài)的數(shù)學(xué)觀認為：數(shù)學(xué)是人類的一種創(chuàng)造性活動，在日常教學(xué)的數(shù)學(xué)活動中，解決問題無疑是最基本的形式和最核心的內(nèi)容，因此，“問題解決”也接成為數(shù)學(xué)觀轉(zhuǎn)變的直接產(chǎn)物。,3、這也是數(shù)學(xué)教育研究深入的必然結(jié)果。 學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)是“做數(shù)學(xué)”，即應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生通過問題解決來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，這就為問題解決作為數(shù)學(xué) 教育的中心提供了理論依據(jù)。,二、什么是“數(shù)學(xué)問題解決” 對于數(shù)學(xué)問題解

2、決，摘于不同的文件，出于不同的學(xué)科，源于不同的維度，提法很多。,第一，美國的貝格（Begle）教授認為“學(xué)習(xí)怎樣解決問題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的”，這是把數(shù)學(xué)問題解決作為一種學(xué)習(xí)目的的觀點。,第二，國教育咨詢委員會（NACOME）認為問題解決是一種數(shù)學(xué)基本技能，這是把數(shù)學(xué)問題解決作為一種技能的觀點。,第三，科克羅夫特等認為，“應(yīng)當(dāng)在教學(xué)形式中增加討論、研究、問題解決和探索等形式”，這是把數(shù)學(xué)問題解決作為一種教學(xué)形式的觀點。,第四，美國全國數(shù)學(xué)管理者大會（MCSM）把問題解決定義為“把先前獲得的知識用于心新的、不熟悉的過程”，這是把數(shù)學(xué)問題解決作為一種過程的觀點。,第五，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)中，問題解決是一

3、系列有目的指向的認知操作過程，是以思考為內(nèi)涵、以問題為目標(biāo)定向的心理活動過程。這是把數(shù)學(xué)問題解決理解為一種操作過程或心理過程。,數(shù)學(xué)問題解決是指綜合地、創(chuàng)造性地運用各種數(shù)學(xué)知識去解決那種并非單純練習(xí)題式的問題，包括實際問題和源于數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題。,在這個定義里面對問題作了描述： （1）對學(xué)生來說不是常規(guī)的，不能靠簡單模仿來解決；,（2）可以是一種情境，其中隱含的數(shù)學(xué)問題要學(xué)生自己去提出、求解并作出解釋；,（3）具有趣味和魅力，能引起學(xué)生的思考和向?qū)W生提出智力挑戰(zhàn)；,（4）不一定有終極的答案，各種不同水平的學(xué)生都可以由淺入深地作出回答； （5）解決它往往需伴以個人或小組的數(shù)學(xué)活動。,三、數(shù)學(xué)問題解

4、決的認知分析 （一）奧蘇貝爾的問題解決模式 現(xiàn)代認知心理學(xué)家認為，問題解決是一種以目標(biāo)為定向的搜尋問題空間的認知過程。奧蘇貝爾等人以幾何問題的解決為原型，提出了一個問題解決模式,根據(jù)奧蘇貝爾的模式，問題解決經(jīng)歷了四個階段： 1、呈現(xiàn)問題情境命題 奧蘇貝爾認為問題是由有意義的言語命題構(gòu)成的，其中包含了目標(biāo)和已知條件。,2、明確問題目標(biāo)和已知條件 學(xué)生將問題情境與自己的認知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來，從而理解所面臨問題的性質(zhì)與條件。這樣既明確了問題的初始狀態(tài)，又明確了解題的目標(biāo)。,3、填補空隙過程 學(xué)生在找出已知條件和目標(biāo)之間的空隙和差距之后，便利用背景命題，根據(jù)一定的推理規(guī)則和解題策略填補問題的固有空隙。,4

5、、解答之后的檢驗 問題一旦得到解決，通常便會出現(xiàn)一定形式的檢驗：查明推理時有無錯誤，空隙填補的途徑是否最簡，問題是否可以進一步推廣、拓展，等等。,設(shè) ，式中變量 、y 滿足下列條件 ， 求z的最大值和最小值。,第一，明確問題目標(biāo)和已知條件 首先學(xué)生一看到這個題就能判斷出這是一道線性規(guī)劃的題。并知道什么是已知條件，什么是要求的,第二，填補空隙 再仔細觀察此題的難點是目標(biāo)函數(shù)不是熟悉的形式。這道題應(yīng)該怎么做呢？,回憶老師講線性規(guī)劃時一直強調(diào)的一定要明確目標(biāo)函數(shù)的意義。聯(lián)想以前學(xué)過的知識，就發(fā)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)跟兩點 （ ），（ ）所在 直線的斜率 很像。,一比較發(fā)現(xiàn) 表示是點（x,y）和點（0，0）所在直

6、線的斜率。那么點（x,y）表示的是什么呢，表示的是可行域上的點。分析到這里此題也就解決了。,第三，解答之后的檢驗 “這個問題是否可以推廣呢”。實際上，這道題的方法是可以推廣的。比如當(dāng)以后我們看到形如 這樣的目標(biāo)函數(shù)時我們也知道怎么做了。因為這個目標(biāo)函數(shù)表示的是圓的半徑，圓心在原點,（二）波利亞（G.Polya）的解題框架 在怎樣解題這部不朽名著中，波利亞對問題解決過程進行了深刻的剖析和探索，將問題解決過程編制成一張“怎樣解題”表，其核心思想是啟發(fā)法,在“怎樣解題”表中，波利亞將問題解決過程分為四個階段： 弄清問題,擬定計劃,實現(xiàn)計劃,回顧,（三）數(shù)學(xué)問題解決的認知模式 通過以上分析，結(jié)合現(xiàn)代認

7、知心理學(xué)對問題解決的研究，我們可以將問題解決的認知模式概括為,工 作 記 憶,解決數(shù)學(xué)問題分四個階段：理解問題、選擇算子、應(yīng)用算子、結(jié)果評價。與此對應(yīng)，其認知過程分別為：問題表征、模式識別、解題遷移、解題監(jiān)控。,問題表征：問題表征指形成問題空間，包括明確問題的初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)及允許的操作。問題表征分問題的字面理解和問題的深層理解兩個層面。,模式識別：指當(dāng)主體接觸到數(shù)學(xué)問題之后，能將該問題歸類，使得與自己認知結(jié)構(gòu)中的某種數(shù)學(xué)模式相匹配的過程。,解題監(jiān)控：解題者為了達到解題目標(biāo)，在解題過程中對解題活動作為意識對象，對其進行積極主動的計劃、監(jiān)視、調(diào)節(jié)和控制的過程。,解題遷移：先前的解題學(xué)習(xí)對后繼的

8、解題學(xué)習(xí)的影響。解題遷移包括知識、解題記憶、解題方法及解題技巧的遷移。實現(xiàn)解題遷移的前提是有正確的模式識別。,解題策略主要包括下列七種： 1、歸類策略 2、化歸策略 3、算法策略 4、分類策略 5、類比策略 6、構(gòu)造策略 7、逆向策略,知識基礎(chǔ)：指解題者內(nèi)化的各種數(shù)學(xué)模式。 解題策略：為了有效的達到解題目標(biāo)，解題者采用的解題思想或方針。,1、歸類策略 在解決一個數(shù)學(xué)問題時，解題者在理解題意的過程中會自覺的將問題作出適當(dāng)?shù)臍w類，即把所有面臨的新問題歸結(jié)為先前所認識的某一“類型”，這種解題策略稱為歸類策略。,2、算法策略。 如果存在一套規(guī)則，而且使用這套規(guī)則就能解決問題，那么稱這種解題策略為算法策

9、略。,3、化歸策略 采用問題轉(zhuǎn)化的思想方法解決問題稱為化歸，這是解決數(shù)學(xué)問題使用最多的策略。具體的化歸策略則包括：特殊化、一般化、分割化歸、映射化歸。映射化歸又包括：恒等變化、幾何變換、三角變換、參數(shù)變換、極坐標(biāo)變換等。,4、分類策略。 按問題可能出現(xiàn)的種種情形進行分類，然后對由每種情形形成的子問題進行解答，從而達到解決原問題的目的。,5、類比策略 當(dāng)兩個數(shù)學(xué)問題之間不存在抽象關(guān)系，但存在某中潛在聯(lián)系時，在解答其中一個問題的過程中，往往可參照另一個問題的解答方法或解題途徑，這即為類比策略。,6、構(gòu)造策略。 通過構(gòu)造一種模型解決問題的策略稱為構(gòu)造策略?！澳Ｐ汀笨梢允嵌喾N類型的，如函數(shù)模型、圖形模

10、型、三角模型、向量模型、復(fù)數(shù)模型、方程模型等。,7、逆向策略 采用逆向分析的方法解決問題就是逆向策略。分析法、逆推法、反證法、同一法、反駁、公式的逆用等都是逆向策略的具體運用。,這些策略不是完全獨立的，解答一個數(shù)學(xué)問題，會先后采用多種策略。如： 設(shè) 為實，函數(shù) 在 和 都是增函數(shù)，求 的取值范圍。（06年高考文科數(shù)學(xué)）,讀完這道題后，先把這道題歸為導(dǎo)數(shù) 應(yīng)用一類的題。即是利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)將這道題轉(zhuǎn)為 ， 求 的取值范圍。,將一個三次函數(shù)題轉(zhuǎn)化成我們熟悉的一元二次不等式類型的題。利用不等式與函數(shù)間的關(guān)系，作出二次函數(shù)的圖象加以分析，從而得出此題應(yīng)按 三種情況來討論，最終完成此題。 因此這道題用到了

11、歸類策略、化歸策略、分類策略、類比策略、算法策略。,（四）影響問題解決的因素 1、認知結(jié)構(gòu)因素（CPFS結(jié)構(gòu)） 2、問題表征因素 3、知識遷移因素 4、解題策略因素,1、認知結(jié)構(gòu)因素（CPFS結(jié)構(gòu)） CPFS結(jié)構(gòu)是優(yōu)良的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，它是知識理解的基礎(chǔ)，有助于知識的存貯和提取，它融知識與方法于一體，有助于知識的遷移。,2、問題表征因素 （1）正確的問題表征是解決問題的必要前提，在錯誤的或者不完整的問題空間中搜索不可能求得問題的正確。,（2）問題表征是對問題信息的提取和理解的過程，問題規(guī)則在問題表征中起重要作用。,（3）在問題表征過程中，導(dǎo)致建構(gòu)出錯誤的或者不完整的問題空間的因素包括：信息遺漏、信息誤解、隱喻干擾（問題信息中潛在的歧義性使被試?yán)Щ蠡蛘`導(dǎo)被試的解題思路）,（4）問題表征受個體數(shù)學(xué)知識背景的影響。 （5）問題表征受思維水平的影響。,3、知識遷移因素 能否擁有可遷移的知識和技能迷失否能激活與當(dāng)前問題有關(guān)的圖式，是否能將當(dāng)前問題與頭腦中已形成的