2020版新教材高中數(shù)學(xué)第二章等式與不等式2.2.4.2均值不等式的應(yīng)用課件新人教B版必修1.pptx

1、第2課時(shí) 均值不等式的應(yīng)用,類型一“常數(shù)代換法” 求最值 【典例】若點(diǎn)A(1，1)在直線mx+ny-1=0(mn0)上，則 的最小值為_(kāi).世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào),【思維引】由已知條件得到m，n的關(guān)系，構(gòu)造均值不等式求最值.,【解析】因?yàn)锳(1，1)在直線mx+ny-1=0(mn0)上， 所以m+n=1，而 2+2=4， 當(dāng)且僅當(dāng)m=n= 時(shí)取“=”，所以 的最小值為4. 答案：4,【內(nèi)化悟】 “常數(shù)代換法”適合什么樣的問(wèn)題求解？ 提示：有條件的求最值問(wèn)題.,【類題通】 常數(shù)代換法求最值的方法步驟 常數(shù)代換法適用于求解條件最值問(wèn)題.應(yīng)用此種方法求解最值的基本步驟為： (1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(

2、常數(shù)). (2)把確定的定值(常數(shù))變形為1.,(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式. (4)利用均值不等式求最值.,【習(xí)練破】 已知x ，y均為正數(shù)，且 =1，求x +y的最小值.,【解析】x+y=(x+y) =10+ 10+2 =16， 當(dāng)且僅當(dāng) = 且 =1， 即x=4， y=12時(shí)取等號(hào)，所以x+y的最小值為16.,【加練固】 若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是 () A. B. C.5D.6,【解析】選C.由x+3y=5xy， 可得 =1， 所以3x+4y=(3x+4y) = =5，當(dāng)且僅當(dāng)x=1，y= 時(shí)取等 號(hào)，故3x+4

3、y的最小值是5.,類型二利用均值不等式證明不等式 【典例】已知a，b，c均大于0，且a+b+c=1， 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào) 求證： 9.,【思維引】將“1”換為a+b+c，轉(zhuǎn)化成積為常數(shù)的特點(diǎn)，利用均值不等式證明.,【證明】因?yàn)閍，b，c均大于0且a+b+c=1，所以 3+2 +2+2=9.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c= 時(shí)，等號(hào)成立.,【內(nèi)化悟】 結(jié)合均值不等式判斷： 和 的大小關(guān)系. 提示： .,【類題通】 利用均值不等式證明不等式的策略與注意事項(xiàng) (1)策略：從已證不等式和問(wèn)題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所求問(wèn)題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知

4、”.,(2)注意事項(xiàng)： 多次使用均值不等式時(shí)，要注意等號(hào)能否成立； 累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時(shí)注意使用； 對(duì)不能直接使用均值不等式的證明可重新組合，形成均值不等式模型，再使用.,【習(xí)練破】 已知a，b，c都是正數(shù)，求證：(a+b)(b+c)(c+a) 8abc.,【證明】因?yàn)閍，b，c都是正數(shù)， 所以a+b2 0，b+c2 0，c+a2 0，所 以(a+b)(b+c)(c+a)2 2 2 =8abc，即 (a+b)(b+c)(c+a)8abc，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.,【加練固】 已知a，b，c為正數(shù)， 求證： 3.,【證明】左邊= = . 因?yàn)閍，b，c為正數(shù)，

5、所以 2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”)； 2(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取“=”)； 2(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取“=”).,從而 6(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)). 所以 -33， 即 3.,類型三均值不等式的實(shí)際應(yīng)用 【典例】玩具所需成本費(fèi)用為P元，且P與生產(chǎn)套數(shù)x的 關(guān)系為P=1 000+5x+ x2，而每套售出的價(jià)格為Q元， 其中Q(x)=a+ (a，bR)，世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào) (1) 問(wèn)：該玩具廠生產(chǎn)多少套時(shí)，使得每套所需成本 費(fèi)用最少？,(2)若生產(chǎn)出的玩具能全部售出，且當(dāng)產(chǎn)量為150套時(shí)利潤(rùn)最大，此時(shí)每套價(jià)格為30元，求a，b的值.(利潤(rùn)=銷售收入-成本),【思維引】列出每套玩具的成本費(fèi)用 以及利潤(rùn)

6、xQ(x)-P的式子，可進(jìn)行求解.,【解析】(1)每套玩具所需成本費(fèi)用為 +5=25，當(dāng) ，即x=100時(shí) 等號(hào)成立，故該玩具廠生產(chǎn)100套時(shí)每套所需成本最少.,(2)利潤(rùn)為xQ(x)-P = = x2+(a-5)x-1 000，,由題意得 解得a=25，b=30.,【內(nèi)化悟】 均值不等式的實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用的關(guān)鍵是什么？ 提示：結(jié)合實(shí)際問(wèn)題建立對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題抽象成函數(shù)的最大、最小值問(wèn)題.,【類題通】 應(yīng)用均值不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意如下思路和方法 (1)先理解題意，設(shè)出變量，一般把要求最值的量定為函數(shù).,(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題抽象成函數(shù)的最大值或最小值

7、問(wèn)題. (3)在題目要求的范圍內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值. (4)正確寫出答案.,【習(xí)練破】 近年來(lái)，某企業(yè)每年需要向自來(lái)水廠繳納水費(fèi)約4萬(wàn) 元，為了緩解供水壓力，決定安裝一個(gè)可使用4年的自 動(dòng)污水凈化設(shè)備，安裝這種凈水設(shè)備的成本費(fèi)(單位： 萬(wàn)元)與管線、主體裝置的占地面積(單位：平方米)成 正比，比例系數(shù)約為0.2.為了保證正常用水，安裝后,采用凈水裝置凈水和自來(lái)水廠供水互補(bǔ)的用水模式.假 設(shè)在此模式下，安裝后該企業(yè)每年向自來(lái)水廠繳納的 水費(fèi) C(單位：萬(wàn)元)與安裝的這種凈水設(shè)備的占地面 積x(單位：平方米)之間的函數(shù)關(guān)系是C(x)= (x0，k為常數(shù)).記y(單位：萬(wàn)元)為該企業(yè)安裝這種 凈水設(shè)備的費(fèi)用與該企業(yè)4年共將消耗的水費(fèi)之和.,(1) 試解釋C(0)的實(shí)際意義，請(qǐng)建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并化簡(jiǎn). (2) 當(dāng)x為多少平方米時(shí)，y取得最小值？最小值是多少萬(wàn)元？,【解析】(1) C(0)表示不安裝凈水設(shè)備時(shí)每年繳納的 水費(fèi)為4萬(wàn)元.