初中三類函數(shù)的圖像及其性質(zhì)

1、初中三類函數(shù)的圖像及其性質(zhì)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 一、知識(shí)要點(diǎn)：1、一次函數(shù)：形如y=kx+b (k0, k, b為常數(shù))的函數(shù)。注意：（1）k0,否則自變量x的最高次項(xiàng)的系數(shù)不為1；（2）當(dāng)b=0時(shí)，y=kx，y叫x的正比例函數(shù)。2、圖象：一次函數(shù)的圖象是一條直線，（1）兩個(gè)常有的特殊點(diǎn)：與y軸交于（0，b）；與x軸交于（- ，0）（2）由圖象可以知道，直線y=kx+b與直線y=kx平行，例如直線：y=2x+3與直線y=2x-5都與直線y=2x平行。3、性質(zhì)：1圖象的位置: 2增減性k0時(shí)，y隨x增大而增大k0時(shí)，y隨x增大而減小3求一次函數(shù)解析式的方法求函數(shù)解析式的方法主要有三種一是由已知函

2、數(shù)推導(dǎo)或推證二是由實(shí)際問題列出二元方程，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，此類題一般在沒有寫出函數(shù)解析式前無法（或不易）判斷兩個(gè)變量之間具有什么樣的函數(shù)關(guān)系。三是用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式?！按ㄏ禂?shù)法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程（組）來解決，題目的已知恒等式中含有幾個(gè)等待確定的系數(shù)，一般就需列出幾個(gè)含有待定系數(shù)的方程，本單元構(gòu)造方程一般有下列幾種情況：（1）利用一次函數(shù)的定義構(gòu)造方程組。（2）利用一次函數(shù)y=kx+b中常數(shù)項(xiàng)b恰為函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即由b來定點(diǎn)；直線y=kx+b平行于y=kx，即由k來定方向（3）利用函數(shù)圖象上的點(diǎn)的

3、橫、縱坐標(biāo)滿足此函數(shù)解析式構(gòu)造方程（4）利用題目已知條件直接構(gòu)造方程反比例函數(shù)圖像及其性質(zhì)1.反比例函數(shù)：形如y（k為常數(shù)，k0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。其他形式xy=k 2.圖像：反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線。反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形。有兩條對(duì)稱軸：直線y=x和 y=-x。對(duì)稱中心是：原點(diǎn)3.性質(zhì):當(dāng)k0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減?。?當(dāng)k0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大。 二次函數(shù)圖像及其性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需

4、要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：a 的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值2. 的性質(zhì)：上加下減。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增

5、大；時(shí)，有最大值3. 的性質(zhì)：左加右減。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值向下X=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值4. 的性質(zhì)：的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值向下X=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值三、二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟：方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”概括成

6、八個(gè)字“左加右減，上加下減” 方法二：沿軸平移:向上（下）平移個(gè)單位，變成（或）沿軸平移：向左（右）平移個(gè)單位，變成（或）四、二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中五、二次函數(shù)圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（若與軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).六、二次函數(shù)的性質(zhì) 1. 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱

7、軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，有最小值 2. 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。划?dāng)時(shí)，有最大值七、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式：（，為常數(shù)，）；2. 頂點(diǎn)式：（，為常數(shù)，）；3. 兩根式：（，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系 1. 二次項(xiàng)系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然 當(dāng)時(shí)，

8、拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大總結(jié)起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負(fù)決定開口方向，的大小決定開口的大小2. 一次項(xiàng)系數(shù) 在二次項(xiàng)系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對(duì)稱軸 在的前提下，當(dāng)時(shí)，即拋物線的對(duì)稱軸在軸左側(cè)；當(dāng)時(shí)，即拋物線的對(duì)稱軸就是軸；當(dāng)時(shí)，即拋物線對(duì)稱軸在軸的右側(cè) 在的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)時(shí)，即拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)；當(dāng)時(shí)，即拋物線的對(duì)稱軸就是軸；當(dāng)時(shí)，即拋物線對(duì)稱軸在軸的左側(cè)總結(jié)起來，在確定的前提下，決定了拋物線對(duì)稱軸的位置的符號(hào)的判定：對(duì)稱軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，

9、概括的說就是“左同右異”總結(jié)： 3. 常數(shù)項(xiàng) 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為； 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù) 總結(jié)起來，決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)

10、式；3. 已知拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式九、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點(diǎn)情況）：一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時(shí)的特殊情況.圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)： 當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于兩點(diǎn)，其中的是一元二次方程的兩根這兩點(diǎn)間的距離. 當(dāng)時(shí)，圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，圖象與軸沒有交點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的上方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有； 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的下方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為，； 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，的符號(hào)，或由二次函數(shù)中，的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).拋物線與軸有兩個(gè)