北京數(shù)學中考一模新定義創(chuàng)新題(帶答案)

1、.西城 29、給出如下規(guī)定：兩個圖形G1 和 G2 ，點 P 為 G1 上任一點，點 Q 為 G2 上任一點，如果線段 PQ 的長度存在最小值，就稱該最小值為兩個圖形G1 和 G2 之間的距離在平面直角坐標系 xOy 中， O 為坐標原點（ 1）點 A 的坐標為 A （1，0）則點 B（2，3）和射線 OA 之間的距離為 _，點 C（-2,3）和射線 OA 之間的距離為 _；（ 2）如果直線 y=x 和雙曲線 yk 之間的距離為 2 ，那么 k=_；（可在圖 1 中進行研究）x（ 3）點 E 的坐標為（ 1， 3 ），將射線 OE 繞原點 O 逆時針旋轉 60 ，得到射線 OF，在坐標平面內(nèi)所

2、有和射線 OE，OF 之間的距離相等的點所組成的圖形記為圖形 M 請在圖 2 中畫出圖形 M ，并描述圖形 M 的組成部分；（若涉及平面中某個區(qū)域時可以用陰影表示）將射線 OE,OF 組成的圖形記為圖形 W，拋物線 yx22 與圖形 M 的公共部分記為圖形 N，請直接寫出圖形 W 和圖形 N 之間的距離yy5544332211x54321O 12x54321O 1 2 3 4 53 4 51122334455解析：29.解：（ 1） 3， 13 （每空各 1 分）（ 2） -1；（ 3）如圖 9，過點 O 分別作射線 OE,OF 的垂線 OG、OH，則圖形 M 為：y 軸正半軸， GOH的邊及

3、其內(nèi)容的所有點（圖中的陰影部分）.說明：（畫圖 2 分，描述 1 分）（圖形 M 也可以描述為： y 軸正半軸，直線 y3 x 下方與直3.線 y 433 x 下方重疊的部分（含邊界） ）3y5432F E1Ox5432112345H1G2345東 城29 定 義 符 號 min a, b的 含 義 為： 當 a b 時 , min a, bb ； 當 ab 時 ,mina, ba 如： min 1 ,22 ， min 1, 21(1)求 minx2 -1,-2 ;(2)已知 min x22x k, 33 , 求實數(shù) k 的取值范圍 ;(3) 已知當2 x 3 時， min x22x 15,

4、m( x 1)x22x 15 .直接寫出實數(shù) m 的取值范圍 .解析：29解：（ 1） x20 ， x2 -1 -1 . x2 -1 -2 . minx2 -1,-22 . 2 分(2) x22xkx 12k 1 , x121k1.k. min x22x k, 3 3 ， k1 3 . k 2 . 5 分(3)3m7 . 8 分朝陽 29定義 :對于平面直角坐標系xOy 中的線段 PQ 和點 M，在 MPQ 中，當 PQ 邊上的高為 2 時，稱 M 為 PQ 的 “等高點 ”，稱此時 MP+MQ 為 PQ 的“等高距離 ”（ 1）若 P(1，2)，Q(4，2) 在點 A(1，0)，B( 5 ，

5、 4)，C（0，3）中， PQ 的“等高點 ”是；2若 M（t，0）為 PQ 的“等高點 ”，求 PQ 的“等高距離 ”的最小值及此時t 的值 .（ 2）若 P(0，0)，PQ=2，當 PQ 的“等高點 ”在 y 軸正半軸上且 “等高距離 ”最小時，直接寫出點 Q 的坐標解析：29. 解 :（、2 分1） A B （ 2）如 ，作點 P 關于 x 的 稱點 P， 接 PQ， PQ 與 x 的交點即 “等高點”M，此 “等高距離”最小，最小 段PQ 的 . 3 分 P (1， 2)， P(1， 2). 直 PQ 的表達式 ykx b ，根據(jù) 意，有.kb2k434kb，解得2b10 .3直 PQ

6、 的表達式 y4 x10. 4 分33當 y0 ，解得5x.2即 t55 分. 2根據(jù) 意，可知PP4， PQ 3， PQ PP， PQPP2 PQ2 5.“等高距離”最小 5.6 分（ 3）Q（ 45 ， 25 ）或 Q（ - 45，25 ）. 8 分5555海淀 29在平面直角坐標系xOy 中，對于點 P(a,b) 和點 Q(a ,b ) ，給出如下定義：若 bba，則稱點 Q 為點 P 的限變點例如：點2,3 的限變點的坐標是2,3 ，點 2,5,1b ,a1的限變點的坐標是2, 5 （ 1）點 3,1 的限變點的坐標是 _；在點 A 2, 1， B 1,2 中有一個點是函數(shù) y2 圖象

7、上某一個點的限變點，x這個點是 _（ 2）若點 P 在函數(shù) yx 3( 2 x k, k2)的圖象上，其限變點Q 的縱坐標 b的取值范圍是5 b 2 ，求 k 的取值范圍；y622txt2t 的圖象上，其（ 3）若點 P 在關于 x 的二次函數(shù) y x54限變點 Q 的縱坐標 b 的取值范圍是 b m 或 bn ，其中 mn 令3216 5 4 3 2 1O 123456 x1.23456.s m n ，求 s關于 t 的函數(shù)解析式及 s 的取值范圍解析：29 (本小 分8 分 )解：（ 1）(3,1) ； 1分點 B 2分x（ 2）依 意， yx 3( x 2) 象上的點 P 的限 點必在函

8、數(shù)3,x 1y的 象上x3, 2 x1b 2 ，即當 x1 ， b 取最大 2當 b2 ，2x3 x5 3分y4321當 b5 ， 5x 3 或 5x 3x 2 或 x 8 4 分Q5b 2 ，由 象可知，k 的取 范 是5 k8 5分（ 3） Q yx22txt 2t( xt )2t ， 點坐 (t ,t ) 6分若 t1 ， b 的取 范 是b m 或 b n ，與 意不符若 t1 ，當 x1 ， y 的最小 t ，即 mt ；4321 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1234567當 x1 ， y 的 小于(1t) 2t ，即 n(1t )2t .22s m n t (1 t

9、 ) t t1s關于 t 的函數(shù)解析式 st 21 ( t 1) 7 分當 t= 1 ， s取最小 2s的取 范 是 s 28分豐臺 29. 設點 Q 到圖形 W 上每一個點的距離的最小值稱為點Q 到圖形 W 的距離 .例如正方形ABCD 滿足 A(1，0)， B(2， 0)，C(2，1)，D(1，1)，那么點 O(0，0)到正方形 ABCD 的距離為 1.（ 1）如果 P 是以（ 3， 4）為圓心，1 為半徑的圓，那么點O(0 ， 0) 到 P 的距離為；（2）求點 M (3,0) 到直線 y2x1的距離；如果點 N (0, a) 到直線 y2 x1的距離為 3，那么 a 的值是（ 3）如果

10、點 G(0, b) 到拋物線 yx2 的距離為 3，請直接寫出 b 的值 .y43214 3 2 1O12解析：3429. （ 1） 4； . .2 分（2）直 y2x 1記為 l ， 點 M 作 MHl ，垂足 點 H ，y設 l 與 x, y 的交點分 E, F ， E(1 ,0)，F(xiàn) (0,1)2H EF51F . .3 分2E EOF MHE1O 2；1234xy=2x+1M3x. MHME ，即 MH77 52 MHOFEF1552點 M 到直 y2x1的距離 75 . .4 分5a 13 5 . .6 分（3） b37. .8 分3 或 b4通州 29如 ，在平面直角坐 系中，已知

11、點A(2， 3)、B(6，3)， AB. 若 于平面內(nèi)一點 P， 段 AB 上都存在點 Q，使得 PQ1， 稱點 P 是 段 AB 的“ 近點 ”（1）判斷點 D (7,19) ，是否 段 AB 的“ 近點 ”（填 “是”或“否”）；55（ 2）若點 H (m，n)在一次函數(shù) yx 1 的 象上，且是 段 AB 的“ 近點 ”，求 m 的取 范 （ 3）若一次函數(shù)yxb 的 象上至少存在一個 近點，直接寫出b 的取 范 .解析：29. （ 1）點 D 是 段 AB 的“ 近點 ”； .(2 分)（ 2）點 H（m，n）是 段 AB 的“ 近點”，點 H（m，n）在直 yx1 上， nm1; .

12、(3 分).直 yx1 與 段 AB 交于（ 4， 3） 當 m4 ，有 nm13，又 ABx ， 此 點 H（m，n）到 段 AB 的距離是 n3， 0n31， 4 m5， .(4 分) 當 m4 ，有 nm1n3，又 ABx ， 此 點 H（m，n）到 段 AB 的距離是，3n 03n1， 3 m4，.(5分 ) 上所述， 3m5; .(6 分)(3)32b12 .(8分)房山 29.【探究】如 1，點 N m,n 是拋物 y11 x2 1 上的任意一點， l 是 點 0, 2 且與 x4 平行的直 ， 點N 作直 NHl，垂足 H. 算 : m=0 ， NH=;m=4 ， NO=.猜想

13、: m 取任意 ， NONH(填“”、“”或“”).【定 】我 定 ：平面內(nèi)到一個定點F 和一條直 l（點 F 不在直 l 上）距離相等的點的集合叫做拋物 ，其中點 F 叫做拋物 的 “焦點 ”，直 l 叫做拋物 的 “準 ”.如 1 中的點 O 即 拋物 y1 的 “焦點 ”，直 l: y 2即 拋物 y1 的 “準 ”.可以 “焦點 ”F 在拋物 的 稱 上 .【應用】（1）如圖 2，“焦點 ”為 F(-4，-1)、“準線 ”為 l 的拋物線 y212x+4k 與 y 軸交于點4N（ 0， 2），點 M 為直線 FN 與拋物線的另一交點 .MQl 于點 Q，直線 l 交 y 軸于點 H.直

14、接寫出拋物線 y2 的 “準線 ”：；l11計算求值： MQ+NH =；（2）如圖 3，在平面直角坐標系 xOy 中，以原點 O 為圓心，半徑為1 的 O 與 x 軸分別交于 A、B 兩點（A 在 B 的左側），直線 y=33 x+n與 O 只有一個公共點 F，求以 F 為“焦點 ”、x 軸為 “準線 ”的拋物線 y3ax2bxc 的表達式 .yNyyNOxFOABxxO-2HlM圖 1圖 2圖 3解析：29.解：【探究】1;5; 2 分.3 分yN【 用】（ 1） y3 ； 4 分F 2 1 . 5 分（ 2）如 3， 直 y3 x n 與 x 相交于點 C.3ABCOx由 意可知直 CF

15、切 O 于 F， 接 OF .F 1 OFC=90M COF= 60又 OF =1，圖 3 OC=2. C2，0“焦點”F11,3、F21,3. 6 分2222拋物 y 的 點 1,3或1,3 .32424當“焦點” F11,3， 點 1,3 ， C2，0 ，2224易得直 CF1： y3 x23.33 點 A 作 AM x ，交直 CF 1 于點 M. MA MF1 M1，3 在拋物 y3上.123 ，將 M 點坐 代入可求得：3 拋物 y3axa32431233 x23 x3 y3x7 分324333當“焦點” 13， 點 13， C2，0 ，F(xiàn)22,22, 4由中心 稱性可得：3x+ 1

16、233 x23 x3y38 分324333 上所述：拋物 y33 x23 x3 或 y33 x23 x3 .333333.懷柔 29. 對某種幾何圖形給出如下定義：符合一定條件的動點所形成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡 .例如 ,平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡 ,是以定點為圓心 ,定長為半徑的圓 .（ 1）如圖 1，在 ABC 中， AB=AC ， BAC=90 ， A(0 ，2)，B 是 x 軸上一動點，當點B在 x 軸上運動時，點 C 在坐標系中運動，點 C 運動形成的軌跡是直線DE，且 DExy軸于點 G.yD則直線 DE 的表達式是.ACCAOBxO BGxE（ 2）當 AB

17、C 是等邊三角形時，在（ 1）的條圖件1下，動點 C 形成的軌跡也是一條直線 .圖 2當點 B 運動到如圖 2 的位置時， AC x 軸，則 C 點的坐標是.在備用圖中畫出動點C 形成直線的示意圖，并求出這條直線的表達式.設中這條直線分別與x,y 軸交于 E,F 兩點，當點 C 在線段 EF 上運動時，點 H 在線段OF 上運動，（不與 O、F 重合），且 CH=CE,則 CE 的取值范圍是.yyAAOxOx備用圖 1備用圖 2.解析：29.解：（ 1） x=2. 1 分 .（2） C點坐 : （ 43 , 2）3 分 .3由 C 點坐 : （ 43y, 2）3A再求得其它一個點C的坐 ，如（

18、3 ， 1），或（ 0，-2 ）等b=-2OEx代入表達式 y=kx+b ，解得k3 .直 的表達式是y3x2 . 5 分.F 點 C 運 形成直 如 所示. 6 分 . 43 EC23 . 8 分 .93 溝 29如 ，在平面直角坐 系xOy 中，拋物 y=ax2（ ）的 點 M，直 +bx+ca0y=m 與 x 平行，且與拋物 交于點 A 和點 B，如果 AMB 等腰直角三角形，我 把拋物 上 A、B 兩點之 部分與 段 AB 成的 形稱 拋物 的準蝶形， 點 M 稱 碟 ， 段 AB 的 稱 碟 yABy=mABMMOx準蝶形 AMB（ 1）拋物 y1 x2 的碟 ，拋物 y=ax2（a

19、0）的碟 2（ 2）如果拋物 y=a(x1)2 6a（a0）的碟 6，那么 a=（ 3）將拋物 yn n 2 nn（n ）的準蝶形 Fn（， ， ，），我 定 F1，2，=a x +b x+ca 0n=12 3FFn 相似準蝶形，相 的碟 之比即 相似比如果Fn 與 Fn-1 的相似比 1 ，且 Fn 的2碟 是 Fn-1 的碟 的中點， 在將（ ）中求得的拋物 1，其 的準蝶形 2y.F1 求拋物 y2 的表達式； 判斷 F1 ，F(xiàn)2，F(xiàn)n 的碟 的右端點是否在一條直 上？如果是，直接寫出 直 的表達式；如果不是， 明理由解析：29（本小 分 8 分）解：（ 1 ） 4 ， 2 ；2 分a（

20、 2 ） 1 ； 3 分3（ 3） F1 的碟 F2 的碟 =2： 1， 2 : 2 2 . a1 a2 1 a1= 1 ，3 a 2 = 2 . 4分3F 2 的碟 坐 （ 1 ， 1 ），5又y2由 意得分2 x 11 . 6 分23 F 1 ， F 2 ， ， F n 的碟 的 右端 點在一 條直 上 ； 7分其解析式 y= x+5 8 分石景山 29在平面直角坐 系 xOy 中，點 A 在直 l 上，以 A 心， OA 半徑的 與 y 軸的另一個交點 E 出如下定 ：若 段 OE ， A 和直 l 上分 存在點 B ，點 C 和.點 D ，使得四邊形 ABCD 是矩形（點 A, B,

21、C , D 順時針排列），則稱矩形 ABCD 為直線 l 的 “理想矩形 ”例如 ,下圖中的矩形 ABCD 為直線 l 的“理想矩形 ”yyClEBD876543AOx21-4-3-2-1O1234567x-1-2-3-4-5-6-7備用圖（1）若點 A( 1,2) ，四邊形 ABCD 為直線 x1 的 “理想矩形 ”，則點 D 的坐標為；（ 2）若點 A(3, 4) ，求直線 ykx1 (k0) 的“理想矩形 ”的面積；（ 3）若點 A(1, 3) ，直線 l 的 “理想矩形 ”面積的最大值為，此時點 D 的坐標為解析：29解：（ 1） D1,0 2分y12（ 2） AO, AC ， 點 A

22、 作 AFy 于點 F 則 ACAO5， AF3 Q EF3145l10y= kx+1C8B6D4FA(3,4)2 11 EAE3 25O510x1520252在 RtAEB 中，由勾股定理4AB3 2 在 Rt ABC 中，由勾股定理得， BC7 ABBC 3 14ABCD面 所求 “理想矩形 ”5 分.（3） “理想矩形 ”面 的最大 是56 分D1, 2 或 3, 2 8分延慶 29. 對于平面直角坐標系 xOy 中的點 P 和線段 AB，給出如下定義：在線段 AB 外有一點P，如果在線段 AB 上存在兩點 C、D，使得 CPD=90，那么就把點 P 叫做線段 AB 的懸垂點（1）已知點

23、 A（ 2， 0），O（ 0， 0）若 C (1,1) ，D（ 1，1），E（1，2），在點 C，D，E 中，線段 AO 的懸垂點是 _；2如果點 P（ m，n）在直線 yx1上，且是線段AO 的懸垂點，求 m 的取值范圍；（2）如下圖是帽形 M（半圓與一條直徑組成，點 M 是半圓的圓心），且圓 M 的半徑是 1，若帽形內(nèi)部的所有點是某一條線段的懸垂點，求此線段長的取值范圍.解析：29.-2 分（1）線段AO 的懸垂點是C，D；（2）以點D 為圓心，以1 為半徑做圓，設 yx 1與 D交于點 B ，C與 x 軸， y 軸的交點坐標為（ 1,0），（ 0， -1） ODB=45 DE=BE-3分在 Rt DBE 中，由勾股定理得：DE=22-4分 12m12 且 m1 -6分22（3）設這條線段的長為a當當當a 2 時，如圖 1，凡是 D 外的點不滿足條件；a 2 時，如圖 2，所有的點均滿足條件； a 2 時，如