北京數(shù)學(xué)中考一模新定義創(chuàng)新題(帶答案)

1、.西城 29、給出如下規(guī)定：兩個圖形G1 和 G2 ，點(diǎn) P 為 G1 上任一點(diǎn)，點(diǎn) Q 為 G2 上任一點(diǎn)，如果線段 PQ 的長度存在最小值，就稱該最小值為兩個圖形G1 和 G2 之間的距離在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)（ 1）點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 A （1，0）則點(diǎn) B（2，3）和射線 OA 之間的距離為 _，點(diǎn) C（-2,3）和射線 OA 之間的距離為 _；（ 2）如果直線 y=x 和雙曲線 yk 之間的距離為 2 ，那么 k=_；（可在圖 1 中進(jìn)行研究）x（ 3）點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（ 1， 3 ），將射線 OE 繞原點(diǎn) O 逆時針旋轉(zhuǎn) 60 ，得到射線 OF，在坐標(biāo)平面內(nèi)所

2、有和射線 OE，OF 之間的距離相等的點(diǎn)所組成的圖形記為圖形 M 請?jiān)趫D 2 中畫出圖形 M ，并描述圖形 M 的組成部分；（若涉及平面中某個區(qū)域時可以用陰影表示）將射線 OE,OF 組成的圖形記為圖形 W，拋物線 yx22 與圖形 M 的公共部分記為圖形 N，請直接寫出圖形 W 和圖形 N 之間的距離yy5544332211x54321O 12x54321O 1 2 3 4 53 4 51122334455解析：29.解：（ 1） 3， 13 （每空各 1 分）（ 2） -1；（ 3）如圖 9，過點(diǎn) O 分別作射線 OE,OF 的垂線 OG、OH，則圖形 M 為：y 軸正半軸， GOH的邊及

3、其內(nèi)容的所有點(diǎn)（圖中的陰影部分）.說明：（畫圖 2 分，描述 1 分）（圖形 M 也可以描述為： y 軸正半軸，直線 y3 x 下方與直3.線 y 433 x 下方重疊的部分（含邊界） ）3y5432F E1Ox5432112345H1G2345東 城29 定 義 符 號 min a, b的 含 義 為： 當(dāng) a b 時 , min a, bb ； 當(dāng) ab 時 ,mina, ba 如： min 1 ,22 ， min 1, 21(1)求 minx2 -1,-2 ;(2)已知 min x22x k, 33 , 求實(shí)數(shù) k 的取值范圍 ;(3) 已知當(dāng)2 x 3 時， min x22x 15,

4、m( x 1)x22x 15 .直接寫出實(shí)數(shù) m 的取值范圍 .解析：29解：（ 1） x20 ， x2 -1 -1 . x2 -1 -2 . minx2 -1,-22 . 2 分(2) x22xkx 12k 1 , x121k1.k. min x22x k, 3 3 ， k1 3 . k 2 . 5 分(3)3m7 . 8 分朝陽 29定義 :對于平面直角坐標(biāo)系xOy 中的線段 PQ 和點(diǎn) M，在 MPQ 中，當(dāng) PQ 邊上的高為 2 時，稱 M 為 PQ 的 “等高點(diǎn) ”，稱此時 MP+MQ 為 PQ 的“等高距離 ”（ 1）若 P(1，2)，Q(4，2) 在點(diǎn) A(1，0)，B( 5 ，

5、 4)，C（0，3）中， PQ 的“等高點(diǎn) ”是；2若 M（t，0）為 PQ 的“等高點(diǎn) ”，求 PQ 的“等高距離 ”的最小值及此時t 的值 .（ 2）若 P(0，0)，PQ=2，當(dāng) PQ 的“等高點(diǎn) ”在 y 軸正半軸上且 “等高距離 ”最小時，直接寫出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)解析：29. 解 :（、2 分1） A B （ 2）如 ，作點(diǎn) P 關(guān)于 x 的 稱點(diǎn) P， 接 PQ， PQ 與 x 的交點(diǎn)即 “等高點(diǎn)”M，此 “等高距離”最小，最小 段PQ 的 . 3 分 P (1， 2)， P(1， 2). 直 PQ 的表達(dá)式 ykx b ，根據(jù) 意，有.kb2k434kb，解得2b10 .3直 PQ

6、 的表達(dá)式 y4 x10. 4 分33當(dāng) y0 ，解得5x.2即 t55 分. 2根據(jù) 意，可知PP4， PQ 3， PQ PP， PQPP2 PQ2 5.“等高距離”最小 5.6 分（ 3）Q（ 45 ， 25 ）或 Q（ - 45，25 ）. 8 分5555海淀 29在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，對于點(diǎn) P(a,b) 和點(diǎn) Q(a ,b ) ，給出如下定義：若 bba，則稱點(diǎn) Q 為點(diǎn) P 的限變點(diǎn)例如：點(diǎn)2,3 的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是2,3 ，點(diǎn) 2,5,1b ,a1的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是2, 5 （ 1）點(diǎn) 3,1 的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是 _；在點(diǎn) A 2, 1， B 1,2 中有一個點(diǎn)是函數(shù) y2 圖象

7、上某一個點(diǎn)的限變點(diǎn)，x這個點(diǎn)是 _（ 2）若點(diǎn) P 在函數(shù) yx 3( 2 x k, k2)的圖象上，其限變點(diǎn)Q 的縱坐標(biāo) b的取值范圍是5 b 2 ，求 k 的取值范圍；y622txt2t 的圖象上，其（ 3）若點(diǎn) P 在關(guān)于 x 的二次函數(shù) y x54限變點(diǎn) Q 的縱坐標(biāo) b 的取值范圍是 b m 或 bn ，其中 mn 令3216 5 4 3 2 1O 123456 x1.23456.s m n ，求 s關(guān)于 t 的函數(shù)解析式及 s 的取值范圍解析：29 (本小 分8 分 )解：（ 1）(3,1) ； 1分點(diǎn) B 2分x（ 2）依 意， yx 3( x 2) 象上的點(diǎn) P 的限 點(diǎn)必在函

8、數(shù)3,x 1y的 象上x3, 2 x1b 2 ，即當(dāng) x1 ， b 取最大 2當(dāng) b2 ，2x3 x5 3分y4321當(dāng) b5 ， 5x 3 或 5x 3x 2 或 x 8 4 分Q5b 2 ，由 象可知，k 的取 范 是5 k8 5分（ 3） Q yx22txt 2t( xt )2t ， 點(diǎn)坐 (t ,t ) 6分若 t1 ， b 的取 范 是b m 或 b n ，與 意不符若 t1 ，當(dāng) x1 ， y 的最小 t ，即 mt ；4321 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1234567當(dāng) x1 ， y 的 小于(1t) 2t ，即 n(1t )2t .22s m n t (1 t

9、 ) t t1s關(guān)于 t 的函數(shù)解析式 st 21 ( t 1) 7 分當(dāng) t= 1 ， s取最小 2s的取 范 是 s 28分豐臺 29. 設(shè)點(diǎn) Q 到圖形 W 上每一個點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)Q 到圖形 W 的距離 .例如正方形ABCD 滿足 A(1，0)， B(2， 0)，C(2，1)，D(1，1)，那么點(diǎn) O(0，0)到正方形 ABCD 的距離為 1.（ 1）如果 P 是以（ 3， 4）為圓心，1 為半徑的圓，那么點(diǎn)O(0 ， 0) 到 P 的距離為；（2）求點(diǎn) M (3,0) 到直線 y2x1的距離；如果點(diǎn) N (0, a) 到直線 y2 x1的距離為 3，那么 a 的值是（ 3）如果

10、點(diǎn) G(0, b) 到拋物線 yx2 的距離為 3，請直接寫出 b 的值 .y43214 3 2 1O12解析：3429. （ 1） 4； . .2 分（2）直 y2x 1記為 l ， 點(diǎn) M 作 MHl ，垂足 點(diǎn) H ，y設(shè) l 與 x, y 的交點(diǎn)分 E, F ， E(1 ,0)，F(xiàn) (0,1)2H EF51F . .3 分2E EOF MHE1O 2；1234xy=2x+1M3x. MHME ，即 MH77 52 MHOFEF1552點(diǎn) M 到直 y2x1的距離 75 . .4 分5a 13 5 . .6 分（3） b37. .8 分3 或 b4通州 29如 ，在平面直角坐 系中，已知

11、點(diǎn)A(2， 3)、B(6，3)， AB. 若 于平面內(nèi)一點(diǎn) P， 段 AB 上都存在點(diǎn) Q，使得 PQ1， 稱點(diǎn) P 是 段 AB 的“ 近點(diǎn) ”（1）判斷點(diǎn) D (7,19) ，是否 段 AB 的“ 近點(diǎn) ”（填 “是”或“否”）；55（ 2）若點(diǎn) H (m，n)在一次函數(shù) yx 1 的 象上，且是 段 AB 的“ 近點(diǎn) ”，求 m 的取 范 （ 3）若一次函數(shù)yxb 的 象上至少存在一個 近點(diǎn)，直接寫出b 的取 范 .解析：29. （ 1）點(diǎn) D 是 段 AB 的“ 近點(diǎn) ”； .(2 分)（ 2）點(diǎn) H（m，n）是 段 AB 的“ 近點(diǎn)”，點(diǎn) H（m，n）在直 yx1 上， nm1; .

12、(3 分).直 yx1 與 段 AB 交于（ 4， 3） 當(dāng) m4 ，有 nm13，又 ABx ， 此 點(diǎn) H（m，n）到 段 AB 的距離是 n3， 0n31， 4 m5， .(4 分) 當(dāng) m4 ，有 nm1n3，又 ABx ， 此 點(diǎn) H（m，n）到 段 AB 的距離是，3n 03n1， 3 m4，.(5分 ) 上所述， 3m5; .(6 分)(3)32b12 .(8分)房山 29.【探究】如 1，點(diǎn) N m,n 是拋物 y11 x2 1 上的任意一點(diǎn)， l 是 點(diǎn) 0, 2 且與 x4 平行的直 ， 點(diǎn)N 作直 NHl，垂足 H. 算 : m=0 ， NH=;m=4 ， NO=.猜想

13、: m 取任意 ， NONH(填“”、“”或“”).【定 】我 定 ：平面內(nèi)到一個定點(diǎn)F 和一條直 l（點(diǎn) F 不在直 l 上）距離相等的點(diǎn)的集合叫做拋物 ，其中點(diǎn) F 叫做拋物 的 “焦點(diǎn) ”，直 l 叫做拋物 的 “準(zhǔn) ”.如 1 中的點(diǎn) O 即 拋物 y1 的 “焦點(diǎn) ”，直 l: y 2即 拋物 y1 的 “準(zhǔn) ”.可以 “焦點(diǎn) ”F 在拋物 的 稱 上 .【應(yīng)用】（1）如圖 2，“焦點(diǎn) ”為 F(-4，-1)、“準(zhǔn)線 ”為 l 的拋物線 y212x+4k 與 y 軸交于點(diǎn)4N（ 0， 2），點(diǎn) M 為直線 FN 與拋物線的另一交點(diǎn) .MQl 于點(diǎn) Q，直線 l 交 y 軸于點(diǎn) H.直

14、接寫出拋物線 y2 的 “準(zhǔn)線 ”：；l11計(jì)算求值： MQ+NH =；（2）如圖 3，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，以原點(diǎn) O 為圓心，半徑為1 的 O 與 x 軸分別交于 A、B 兩點(diǎn)（A 在 B 的左側(cè)），直線 y=33 x+n與 O 只有一個公共點(diǎn) F，求以 F 為“焦點(diǎn) ”、x 軸為 “準(zhǔn)線 ”的拋物線 y3ax2bxc 的表達(dá)式 .yNyyNOxFOABxxO-2HlM圖 1圖 2圖 3解析：29.解：【探究】1;5; 2 分.3 分yN【 用】（ 1） y3 ； 4 分F 2 1 . 5 分（ 2）如 3， 直 y3 x n 與 x 相交于點(diǎn) C.3ABCOx由 意可知直 CF

15、切 O 于 F， 接 OF .F 1 OFC=90M COF= 60又 OF =1，圖 3 OC=2. C2，0“焦點(diǎn)”F11,3、F21,3. 6 分2222拋物 y 的 點(diǎn) 1,3或1,3 .32424當(dāng)“焦點(diǎn)” F11,3， 點(diǎn) 1,3 ， C2，0 ，2224易得直 CF1： y3 x23.33 點(diǎn) A 作 AM x ，交直 CF 1 于點(diǎn) M. MA MF1 M1，3 在拋物 y3上.123 ，將 M 點(diǎn)坐 代入可求得：3 拋物 y3axa32431233 x23 x3 y3x7 分324333當(dāng)“焦點(diǎn)” 13， 點(diǎn) 13， C2，0 ，F(xiàn)22,22, 4由中心 稱性可得：3x+ 1

16、233 x23 x3y38 分324333 上所述：拋物 y33 x23 x3 或 y33 x23 x3 .333333.懷柔 29. 對某種幾何圖形給出如下定義：符合一定條件的動點(diǎn)所形成的圖形，叫做符合這個條件的點(diǎn)的軌跡 .例如 ,平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡 ,是以定點(diǎn)為圓心 ,定長為半徑的圓 .（ 1）如圖 1，在 ABC 中， AB=AC ， BAC=90 ， A(0 ，2)，B 是 x 軸上一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B在 x 軸上運(yùn)動時，點(diǎn) C 在坐標(biāo)系中運(yùn)動，點(diǎn) C 運(yùn)動形成的軌跡是直線DE，且 DExy軸于點(diǎn) G.yD則直線 DE 的表達(dá)式是.ACCAOBxO BGxE（ 2）當(dāng) AB

17、C 是等邊三角形時，在（ 1）的條圖件1下，動點(diǎn) C 形成的軌跡也是一條直線 .圖 2當(dāng)點(diǎn) B 運(yùn)動到如圖 2 的位置時， AC x 軸，則 C 點(diǎn)的坐標(biāo)是.在備用圖中畫出動點(diǎn)C 形成直線的示意圖，并求出這條直線的表達(dá)式.設(shè)中這條直線分別與x,y 軸交于 E,F 兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) C 在線段 EF 上運(yùn)動時，點(diǎn) H 在線段OF 上運(yùn)動，（不與 O、F 重合），且 CH=CE,則 CE 的取值范圍是.yyAAOxOx備用圖 1備用圖 2.解析：29.解：（ 1） x=2. 1 分 .（2） C點(diǎn)坐 : （ 43 , 2）3 分 .3由 C 點(diǎn)坐 : （ 43y, 2）3A再求得其它一個點(diǎn)C的坐 ，如（

18、3 ， 1），或（ 0，-2 ）等b=-2OEx代入表達(dá)式 y=kx+b ，解得k3 .直 的表達(dá)式是y3x2 . 5 分.F 點(diǎn) C 運(yùn) 形成直 如 所示. 6 分 . 43 EC23 . 8 分 .93 溝 29如 ，在平面直角坐 系xOy 中，拋物 y=ax2（ ）的 點(diǎn) M，直 +bx+ca0y=m 與 x 平行，且與拋物 交于點(diǎn) A 和點(diǎn) B，如果 AMB 等腰直角三角形，我 把拋物 上 A、B 兩點(diǎn)之 部分與 段 AB 成的 形稱 拋物 的準(zhǔn)蝶形， 點(diǎn) M 稱 碟 ， 段 AB 的 稱 碟 yABy=mABMMOx準(zhǔn)蝶形 AMB（ 1）拋物 y1 x2 的碟 ，拋物 y=ax2（a

19、0）的碟 2（ 2）如果拋物 y=a(x1)2 6a（a0）的碟 6，那么 a=（ 3）將拋物 yn n 2 nn（n ）的準(zhǔn)蝶形 Fn（， ， ，），我 定 F1，2，=a x +b x+ca 0n=12 3FFn 相似準(zhǔn)蝶形，相 的碟 之比即 相似比如果Fn 與 Fn-1 的相似比 1 ，且 Fn 的2碟 是 Fn-1 的碟 的中點(diǎn)， 在將（ ）中求得的拋物 1，其 的準(zhǔn)蝶形 2y.F1 求拋物 y2 的表達(dá)式； 判斷 F1 ，F(xiàn)2，F(xiàn)n 的碟 的右端點(diǎn)是否在一條直 上？如果是，直接寫出 直 的表達(dá)式；如果不是， 明理由解析：29（本小 分 8 分）解：（ 1 ） 4 ， 2 ；2 分a（

20、 2 ） 1 ； 3 分3（ 3） F1 的碟 F2 的碟 =2： 1， 2 : 2 2 . a1 a2 1 a1= 1 ，3 a 2 = 2 . 4分3F 2 的碟 坐 （ 1 ， 1 ），5又y2由 意得分2 x 11 . 6 分23 F 1 ， F 2 ， ， F n 的碟 的 右端 點(diǎn)在一 條直 上 ； 7分其解析式 y= x+5 8 分石景山 29在平面直角坐 系 xOy 中，點(diǎn) A 在直 l 上，以 A 心， OA 半徑的 與 y 軸的另一個交點(diǎn) E 出如下定 ：若 段 OE ， A 和直 l 上分 存在點(diǎn) B ，點(diǎn) C 和.點(diǎn) D ，使得四邊形 ABCD 是矩形（點(diǎn) A, B,

21、C , D 順時針排列），則稱矩形 ABCD 為直線 l 的 “理想矩形 ”例如 ,下圖中的矩形 ABCD 為直線 l 的“理想矩形 ”yyClEBD876543AOx21-4-3-2-1O1234567x-1-2-3-4-5-6-7備用圖（1）若點(diǎn) A( 1,2) ，四邊形 ABCD 為直線 x1 的 “理想矩形 ”，則點(diǎn) D 的坐標(biāo)為；（ 2）若點(diǎn) A(3, 4) ，求直線 ykx1 (k0) 的“理想矩形 ”的面積；（ 3）若點(diǎn) A(1, 3) ，直線 l 的 “理想矩形 ”面積的最大值為，此時點(diǎn) D 的坐標(biāo)為解析：29解：（ 1） D1,0 2分y12（ 2） AO, AC ， 點(diǎn) A

22、 作 AFy 于點(diǎn) F 則 ACAO5， AF3 Q EF3145l10y= kx+1C8B6D4FA(3,4)2 11 EAE3 25O510x1520252在 RtAEB 中，由勾股定理4AB3 2 在 Rt ABC 中，由勾股定理得， BC7 ABBC 3 14ABCD面 所求 “理想矩形 ”5 分.（3） “理想矩形 ”面 的最大 是56 分D1, 2 或 3, 2 8分延慶 29. 對于平面直角坐標(biāo)系 xOy 中的點(diǎn) P 和線段 AB，給出如下定義：在線段 AB 外有一點(diǎn)P，如果在線段 AB 上存在兩點(diǎn) C、D，使得 CPD=90，那么就把點(diǎn) P 叫做線段 AB 的懸垂點(diǎn)（1）已知點(diǎn)

23、 A（ 2， 0），O（ 0， 0）若 C (1,1) ，D（ 1，1），E（1，2），在點(diǎn) C，D，E 中，線段 AO 的懸垂點(diǎn)是 _；2如果點(diǎn) P（ m，n）在直線 yx1上，且是線段AO 的懸垂點(diǎn)，求 m 的取值范圍；（2）如下圖是帽形 M（半圓與一條直徑組成，點(diǎn) M 是半圓的圓心），且圓 M 的半徑是 1，若帽形內(nèi)部的所有點(diǎn)是某一條線段的懸垂點(diǎn)，求此線段長的取值范圍.解析：29.-2 分（1）線段AO 的懸垂點(diǎn)是C，D；（2）以點(diǎn)D 為圓心，以1 為半徑做圓，設(shè) yx 1與 D交于點(diǎn) B ，C與 x 軸， y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1,0），（ 0， -1） ODB=45 DE=BE-3分在 Rt DBE 中，由勾股定理得：DE=22-4分 12m12 且 m1 -6分22（3）設(shè)這條線段的長為a當(dāng)當(dāng)當(dāng)a 2 時，如圖 1，凡是 D 外的點(diǎn)不滿足條件；a 2 時，如圖 2，所有的點(diǎn)均滿足條件； a 2 時，如