高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何初步2.2.1圓的方程課件蘇教版.pptx

1、1.圓的標準方程 (1)圓的定義:平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫圓.定點就是圓心,定長就是半徑. (2)圓的標準方程是(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中(a,b)為圓心,r為半徑. (3)圓心在原點,半徑為r的圓的標準方程為x2+y2=r2. 交流1 若圓的方程為(x+m)2+(y+n)2=a2(a0),則此圓的半徑一定是a嗎? 答案：不一定.若a0,則半徑為a;若a0,則半徑為-a,總之,半徑為|a|.,2.圓的一般方程,交流2 二元方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件是什么? 答案：二元方程表示圓的條件是: (1)A=C0; (2)B=0; (3)

2、D2+E2-4AF0.,3.點與圓的位置關(guān)系 設(shè)P(x0,y0)點到圓心的距離為d,半徑為r,則,交流3 (1)圓(x-2)2+(y+3)2=3的圓心坐標與半徑分別是什么? (2)試判斷點(0,0)與圓(x-3)2+y2=1的位置關(guān)系. (3)方程x2+y2+2bx-a2=0表示的幾何圖形是什么? 答案：(1)圓心坐標為(2,-3),半徑為 . (2)(0-3)2+02=91, 點(0,0)在圓(x-3)2+y2=1的外部. (3)原方程可化為(x+b)2+y2=a2+b2. 當a=b=0時,方程表示點(0,0); 當a2+b20時,方程表示以(-b,0)為圓心, 為半徑的圓.,典例導(dǎo)學(xué),一,

3、二,三,即時檢測,一、求圓的標準方程 求下列圓的標準方程. (1)圓心在原點,半徑為8; (2)圓心為(2,-1)且過原點. 思路分析：(1)直接套用圓的標準方程求解. (2)利用兩點間距離公式求半徑,再用圓的標準方程求解.,典例導(dǎo)學(xué),一,二,三,即時檢測,解：設(shè)圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2. (1)圓心在原點,半徑為8, 即a=0,b=0,r=8, 圓的方程為x2+y2=64. (2)圓心在(2,-1)且過原點, 圓的方程為(x-2)2+(y+1)2=5.,典例導(dǎo)學(xué),一,二,三,即時檢測,1.(2016吉林長春外國語學(xué)校高二期中)已知兩點P1(2,7),P2(6,5),則以

4、線段P1P2為直徑的圓的標準方程是() A.(x-4)2+(y-6)2=5B.(x-4)2+(y-6)2=10 C.(x-2)2+(y-1)2=5D.(x-6)2+(y-4)2=25 解析：設(shè)線段P1P2的中點為M, P1(2,7),P2(6,5),圓心M(4,6).,答案：A,典例導(dǎo)學(xué),一,二,三,即時檢測,2.求圓心在x軸上,且過點A(5,2)和B(3,-2)的圓的標準方程. (導(dǎo)學(xué)號51800085) 解：(方法一)設(shè)圓心坐標為M(a,0),則MA=MB, 即(a-5)2+(0-2)2=(a-3)2+(0+2)2, 解得a=4. 所以圓心坐標為(4,0),半徑r=MA= . 所以圓的標準

5、方程為(x-4)2+y2=5. (方法二)線段AB的垂直平分線方程為y=- (x-4), 即x+2y-4=0. 令y=0,得x=4, 所以圓心坐標為(4,0),半徑r=MA= . 所以圓的標準方程為 (x-4)2+y2=5.,典例導(dǎo)學(xué),一,二,三,即時檢測,這類題目的關(guān)鍵是求圓心和半徑,知道圓心和半徑后,可直接套用圓的標準方程.求解圓的標準方程主要用待定系數(shù)法,由題目給出的已知條件實現(xiàn)和參數(shù)a,b,r的聯(lián)系,從而得出方程并求出a,b,r,但此方法的計算量較大.,典例導(dǎo)學(xué),即時檢測,一,二,三,二、求圓的一般方程 求經(jīng)過A(4,2),B(-1,3)兩點,且在兩坐標軸上的四個截距之和為2的圓的方程

6、. (導(dǎo)學(xué)號51800086) 思路分析：由條件不易直接求得圓心和半徑,故可設(shè)圓的一般方程,用待定系數(shù)法解.,典例導(dǎo)學(xué),即時檢測,一,二,三,解：設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0. 令y=0,得x2+Dx+F=0, x1+x2=-D. 令x=0,得y2+Ey+F=0, y1+y2=-E. 由題知-D-E=2, 即D+E+2=0. 又圓過A,B兩點, 16+4+4D+2E+F=0, 1+9-D+3E+F=0. 解組成的方程組得D=-2,E=0,F=-12. 所求圓的方程為x2+y2-2x-12=0.,典例導(dǎo)學(xué),即時檢測,一,二,三,1.點M,N在圓x2+y2+kx+2y-4=0上,

7、且點M,N關(guān)于直線x-y+1=0對稱,則該圓面積等于.,答案：9,典例導(dǎo)學(xué),即時檢測,一,二,三,2.求過點A(2,-2),B(5,3),C(3,-1)的圓的方程.,解：設(shè)所求的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,將A(2,-2),B(5,3),C(3,-1)三點的坐標代入圓的方程,得,所以圓的方程為x2+y2+8x-10y-44=0.,典例導(dǎo)學(xué),即時檢測,一,二,三,應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程時: (1)如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑列方程的問題,一般采用圓的標準方程,再用待定系數(shù)法求出a,b,r. (2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系,一般采用圓的一

8、般方程,再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D,E,F.,典例導(dǎo)學(xué),即時檢測,一,二,三,三、圓的方程的綜合應(yīng)用 設(shè)ABC的頂點坐標為A(0,a),B(- ,0),C( ,0),其中a0,圓M為ABC的外接圓. (1)求圓M的方程; (2)當a變化時,圓M是否過某一定點?請說明理由. 思路分析：圓M過點A,B,C,利用待定系數(shù)法求圓的方程;探究圓M是否過某一定點,就是探究當a變化時圓M的特性,故可類比直線恒過定點進行求解.,典例導(dǎo)學(xué),即時檢測,一,二,三,典例導(dǎo)學(xué),即時檢測,一,二,三,1.如圖所示,ACB為一弓形,且A,B,C的坐標分別為(-4,0),(4,0),(0,2),那么弓形所在圓的方程為. 解析

9、：由題圖可知圓的圓心一定在y軸上. 故可設(shè)圓的方程為x2+(y-b)2=r2.,解得b=-3, r2=16+b2=25. 圓的方程為x2+(y+3)2=25. 答案：x2+(y+3)2=25,典例導(dǎo)學(xué),即時檢測,一,二,三,2.某河上有一座圓拱橋,其跨度為30 m,圓拱高為5 m,一船寬為10 m,上面載有貨物,水面到船頂高為4 m,問該船能否順利通過該橋? (導(dǎo)學(xué)號51800087) 解：建立如圖所示的平面直角坐標系,則圓心在y軸上. 設(shè)圓心坐標為(0,a),半徑為r(r0),則圓的方程為x2+(y-a)2=r2.,典例導(dǎo)學(xué),即時檢測,一,二,三,船寬為10 m,水面到船頂高為4 m, 判斷

10、該船能否通過該橋,即判斷點A(5,4)與圓的位置關(guān)系. 52+(4+20)2=601625, 點A在圓內(nèi),故該船能順利通過該橋. “數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)研究的兩類基本對象.由于坐標的建立,使“形”和“數(shù)”互相聯(lián)系、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化.由于圓具備其獨特的對稱性,在解決與圓有關(guān)的許多問題時,數(shù)形結(jié)合思想都能起到化難為易的效果.,典例導(dǎo)學(xué),1,2,3,4,5,即時檢測,1.(2016重慶名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知圓C的圓心坐標為(2,-3),且點(-1,-1)在圓上,則圓C的方程為() A.x2+y2-4x+6y+8=0 B.x2+y2-4x+6y-8=0 C.x2+y2-4x-6y=0 D.x2+y2-4x+6y=0 解析：易知圓C的半徑為 ,所以圓C的標準方程為(x-2)2+(y+3)2=13,展開得一般方程為x2+y2-4x+6y=0. 答案：D,典例導(dǎo)學(xué),即時檢測,1,2,3,4,5,2.圓x2+y2+2x-4y-6=0的圓心和半徑分別是,.,典例導(dǎo)學(xué),即時檢測,1,2,3,4,5,3.若方程x2+y2-x+y+m=0表示一個圓,則m的取值范圍是.,典例導(dǎo)學(xué),即時檢測,1,2,3,4,5,4.圓心在直線x-2y+7=0上的圓C與x軸交于兩點A(-2,0),B(-4,0),則圓C的方程為. 解析：直線AB的中垂線方程為x=-3,代入x-2y+7=0,得y=2, 故圓心的坐標為C(-3