三 簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

1、簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程,1、圓的極坐標(biāo)方程,3、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式,復(fù) 習(xí),1、極坐標(biāo)系的四要素,2、點(diǎn)與其極坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)的條件,極點(diǎn)；極軸；長(zhǎng)度單位；角度單位 及它的正方向。,1、極坐標(biāo) （，2k+） 與（，）表示同一個(gè)點(diǎn),2、點(diǎn) M（，） 關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（，+）,3、點(diǎn) M（，） 關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)的為（，-）,4、極坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn) 的距離公式,復(fù) 習(xí),曲線的極坐標(biāo)方程,一、定義：如果曲線上的點(diǎn)與方程f(,)=0有如下關(guān)系 ()曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)(所有坐標(biāo)中至少有一個(gè))符合方程f(,)=0 ； ()方程f(,)=0的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上。 則曲線的方程是f(,)=0 。,探 究

2、,如圖，半徑為a的圓的圓心坐標(biāo)為(a,0)(a0)，你能用一個(gè)等式表示圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)(,)滿足的條件？,x,C(a,0),O,。,x,（a,0）,o,。,圓經(jīng)過(guò)極點(diǎn)O,設(shè)圓和極軸的另 一個(gè)交點(diǎn)是A，那么|OA|=2a, 設(shè) 為圓上除點(diǎn)O外，A 以外的任意一點(diǎn)，則OM AM, 在 Rt 中, |OM|=|OA|,即,(1),等式(1)是圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足的條件,例1 求下列圓的極坐標(biāo)方程 ()中心在極點(diǎn)，半徑為2； ()中心在(a,0)，半徑為a； ()中心在(a,/2)，半徑為a； ()中心在(0,)，半徑為r。,2,2acos ,2asin ,2+ 0 2 -2 0 cos( -

3、 )= r2,思考 已知圓O的半徑為r，建立怎樣的坐標(biāo)系，可以使圓的極坐標(biāo)方程更簡(jiǎn)單？,練習(xí)1,以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)(1,1)為圓心，1為半徑的圓的方程是,C,你可以用極坐標(biāo)方程直接來(lái)求嗎？,題組練習(xí)2,（ ）,A、雙曲線 B、橢圓 C、拋物線 D、圓,D,（ ）,C,*小結(jié)* 1. 曲線的極坐標(biāo)方程概念 2. 怎樣求曲線的極坐標(biāo)方程 3. 圓的極坐標(biāo)方程,2、 直線的極坐標(biāo)方程,新課引入：,思考：在平面直角坐標(biāo)系中,1、過(guò)點(diǎn)(3,0)且與x軸垂直的直線方程為 ;過(guò)點(diǎn)(3,3)且與x軸垂直的直線方程為,x=3,x=3,2、過(guò)點(diǎn)（a,b）且垂直于x軸的直線方程為_(kāi),x=a,特點(diǎn)：所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是一

4、樣，縱坐標(biāo)可以取任意值。,答：與直角坐標(biāo)系里的情況一樣，求曲線的極坐標(biāo)方程就是找出曲線上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)與之間的關(guān)系，然后列出方程(,)=0 ，再化簡(jiǎn)并討論。,怎樣求曲線的極坐標(biāo)方程？,例題1：求過(guò)極點(diǎn)，傾角為 的射線的極坐標(biāo)方程。,分析：,如圖，所求的射線上任一點(diǎn)的極角都是 ，其,極徑可以取任意的非負(fù)數(shù)。故所求,直線的極坐標(biāo)方程為,新課講授,1、求過(guò)極點(diǎn)，傾角為 的射線的極坐標(biāo)方程。,易得,思考：,2、求過(guò)極點(diǎn)，傾角為 的直線的極坐標(biāo)方程。,和前面的直角坐標(biāo)系里直線方程的表示形式比較起來(lái)，極坐標(biāo)系里的直線表示起來(lái)很不方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？,為了彌補(bǔ)這個(gè)不足，可以考慮允許極徑可以取全

5、體實(shí)數(shù)。則上面的直線的極坐標(biāo)方程可以表示為,或,例1.求過(guò)點(diǎn)A（a,0）(a0),且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程。,）,0,a,A,X,M,解：設(shè)M( ， )為直線上 除A外的任意一點(diǎn)，連接 OM，在三角形MOA中， 即 （1）,式（1）就是所求直線的極坐標(biāo)方程,1、根據(jù)題意畫出草圖；,2、設(shè)點(diǎn) 是直線上任意一點(diǎn)；,3、連接MO；,4、根據(jù)幾何條件建立關(guān)于 的方 程，并化簡(jiǎn)；,5、檢驗(yàn)并確認(rèn)所得的方程即為所求。,解 題 基 本 步 驟,練習(xí)1 求過(guò)點(diǎn)A (a,/2)(a0)，且平行于 極軸的直線L的極坐標(biāo)方程。,解：如圖，建立極坐標(biāo)系， 設(shè)點(diǎn) 為直線L上除點(diǎn) A外的任意一點(diǎn)，連接OM,在 中有

6、,即,可以驗(yàn)證，點(diǎn)A的坐標(biāo)也滿足上式。,sina,IOMI sinAMO=IOAI,練習(xí)2：設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為A ，直線 過(guò)點(diǎn)P且與極軸所成的角為 ,求直線的極坐標(biāo)方程。,解：如圖，設(shè)點(diǎn),為直線 上異于的點(diǎn),連接OM，,在 中有,即,顯然A點(diǎn)也滿足上方程。,例題3設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為 ，直線 過(guò)點(diǎn)P且與極軸所成的角為 ,求直線 的極坐標(biāo)方程。,則 由點(diǎn)P的極坐標(biāo)知,由正弦定理得,顯然點(diǎn)P的坐標(biāo)也是它的解。,直線的幾種極坐標(biāo)方程,1、過(guò)極點(diǎn),2、過(guò)某個(gè)定點(diǎn)垂直于極軸,4、過(guò)某個(gè)定點(diǎn) ，且與極軸成的角度a,3、過(guò)某個(gè)定點(diǎn)平行于極軸, sin a,例4.把下列的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程 (1)2x+6y

7、-1=0 (2)x2 -y2=25,解：將公式 代入 所給的直角坐標(biāo)方程中，得,化簡(jiǎn)得,隨堂練習(xí),A、兩條相交的直線,B、兩條射線,C、一條直線,D、一條射線,A,3、,( ),B,( ),B,( ),C,小結(jié),1.圓的極坐標(biāo)方程的概念； 2.如何求圓的極坐標(biāo)方程； 3.會(huì)將直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程; 4.直線的極坐標(biāo)方程的幾種情況:,(1)過(guò)極點(diǎn),(2)過(guò)某個(gè)定點(diǎn)，且垂直于極軸,(4)過(guò)某個(gè)定點(diǎn)，且與極軸成一定的角度,(3)過(guò)某個(gè)定點(diǎn)，且平行于極軸,6.將下列直角坐標(biāo)方程化成極坐標(biāo)方程系,7.將下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,隨堂練習(xí),1（2007年高考）線 ,所圍成的圖形面積是（ ）,和,高考鏈接,D,2(2005年高考)在極坐標(biāo)系中,以 為圓心, 以 半徑的圓的方程為_(kāi),教材習(xí)題答案,2.解:,1.解: (1)表示圓心在極點(diǎn)，半徑為5的圓； (2)表示過(guò)極點(diǎn)，傾斜角為 的直線； (3)表示過(guò)極點(diǎn)，圓心在 半徑為1的圓,3.解:,4.解：（1） （2） （3） （4）,把點(diǎn)A 的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，得,化為直角坐標(biāo)方程，得,在平面直角坐標(biāo)系中，由點(diǎn)到直線的 距離公式，得點(diǎn)A 到直線 的距離,所以點(diǎn)A到這條直線的距離為,5.解：以極點(diǎn)為直角坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為X軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，把直線的極坐標(biāo)方程。,6.解 :(1)以橢圓中心O為直角坐