1、因式分解1(提套)

1、.第 1 講因式分解 (1)【競賽導航 】如果多項式的各項有公因式， 根據(jù)乘法分配律的逆運算， 可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式。本講主要涉及用 提公因式法 和公式法分解因式 .一、提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。 它的理論依據(jù)就是乘法分配律。多項式的公因式的確定方法是：（1）當多項式有相同字母時，取相同字母的最低次冪。（2）系數(shù)取各項系數(shù)的最大公約數(shù)，公因式可以是數(shù)、單項式，也可以是多項式。二、把乘法公式反過來，就可以得到因式分解的公式。主要有：22完全平方公式：a2 2ab+b2=(a b)2推廣公式： a2 +b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a

2、+b+c)2立方和、立方差公式 : a3 b3=(ab)( a22ab+b )和（差）的立方公式： a 33a2 b3ab 2b3( a b) 3補充：歐拉公式：a3+b3+c3= (a+b+c)(a2 +b2+c2-ab-ac-bc) +3abc1( a b c) a( b)2(b c) 2(c a)2 +3abc2特別地：（ 1）當 a+b+c=0 時，有 a3 +b3+c3=3abc（ 2）當 c 0 時，歐拉公式變?yōu)閮蓴?shù)立方和公式。運用公式法分解因式的關(guān)鍵是要弄清各個公式的形式和特點， 熟練地掌握公式。但有時需要經(jīng)過適當?shù)慕M合、變形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求代數(shù)式的值， 解

3、方程、幾何綜合題中也有廣泛的應(yīng)用。因此，正確掌握公式法因式分解，熟練靈活地運用它，對今后的學習很有幫助?！镜淅馕?】例 1. 把下列各式因式分解（ ）2xm 2abxm 1acxmaxm 3 ；（ 2） ()32a2 (b a)22(ba)1aa a bab例 2.987987987987計算： 1232684565211368136813681368;.例 3.2xy 3，求代數(shù)式 (2 xy)(2 x 3y) 3x( 2x y) 的值。不解方程組3y5x2例 4.證明：對于任意自然數(shù)n， 3n 22 n 23n2n 一定是 10 的倍數(shù)。例 5. 已知： x 2bxc（b、c 為整數(shù)）是

4、 x 46x225及 3x 44x 228x5的公因式，求 b、c 的值。例 6. 設(shè) x 為正整數(shù)，試判斷 105xx(x2) 是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，請說明理由。例 7.分解因式 a 22ab 22b =.例 8.已知多項式 2x 3x2m 有一個因式是 2x1 ，求 m 的值。例 9.已知 a、 b、 c 是 abc 的三條邊，且滿足 a 2b2c2ab bc ac 0 ，試判斷abc 的形狀。例 10. 兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差一定是8 的倍數(shù)。例 11. 已知 abc0， a 3b3c30 ， 求證： a5b5c50;.【沙場練兵】1、因式分解（ 1） 3x( x2)( 2 x) =.（ 2）

5、4q(1p) 32( p1) 2 =.（ 3）42312322=.m nm nmn（ 4） x34xy2 =.（ 5） 2x 3 y8x 2 y28xy3.（ 6） (a 2)2( 3a 1) 2 =.（ 7） x 5 ( x2 y)x2 (2 y x) =.2、計算：200020012001200120002000=.3. 計算： ( 2)11(2) 10 的結(jié)果是（）a.2100b.210c.2d. 14. 已知 x、y 都是正整數(shù)，且 x( xy) y( yx)12 ，求 x、y.5. 證明： 817279913 能被 45 整除 .6已知： a1 m 1，b1 m 2，c1 m 3 ，

6、 求 a 22ab b22ac c22bc222的值 .7若 x 3y 327， x2xyy 29 ，求 x 2y 2 的值 .;.8已知： x13 ，求 x414 的值 .xx【沖刺金牌】1、因式分解：（ 1） a 2 xn2abxn 1acxnadxn 1 （ n 為正整數(shù)） =.（ 2） a(ab) 32a2 (b a) 22ab(ba) 2 =.（ 3） a 2 ( x y) 22a( x y) 3(x y) 4 =.2. 化簡： 1xx(1x) x(1x)2x(1 x)20123. 若 a， b， c 是三角形的三條邊，求證：a 2b2c22bc04. 已知：21 0 ，求2013

7、的值。5. 已知 a， b， c 是不全相等的實數(shù)，且 abc0， a 3b3c33abc ，試求（1） a b c 的值；（2） a( 11)b( 11)c( 11) 的值 .bccaab6求證： n35n 是 6 的倍數(shù) .（其中 n 為整數(shù)）（法一：若 n35n 是 6 的倍數(shù)，則 n35n -6 也是 6 的倍數(shù)；法二：n35n = n3n6n ）.7已知： a、 b、 c 為三角形的三邊，比較a2b2c2和2ab 的大小 .;.8已知： a、b、c 是非零實數(shù)，且 a2b2c21， a( 11)b(11 )c( 11) 3 ，bccaab求 a+b+c 的值 .a( 11 )b( 1

8、1 )c( 11 )3 兩邊乘 abcbccaaba 2 (c+b)+b 2 (a+c)+c 2(a+b)+3abc=0ac(a+b+c)+ab(a+b+c)+cb(a+b+c)=0(a+b+c)(ac+bc+ab)=02222又因為 (a+b+c)=a +b +c +2ab+2bc+2ca=1+2(ab+bc+ca)所以 a+b+c=1繼續(xù)追問：a2(c+b)+b2(a+c)+c2(a+b)+3abc=0這一步到這一步怎么來的ac(a+b+c)+ab(a+b+c)+cb(a+b+c)=0繼續(xù)追問：a+b+c=1 都行？1/b+1/c 中就缺 a/a 就可因式分解 了 同理 得：a(1/b+1

9、/c)+a/a+b(1/a+1/c)+b/b+c(1/a+1/b)+c/c=0a(1/a+1/b+1/c)+b(1/a+1/b+1/c)+c(1/a+1/b+1/c)=0(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=0這就好辦了 a+b+c=0 或 1/a+1/b+1/c=0通分 (ab+bc+ac)/abc=0因為 abc 不等于 0 則 ab+bc+ac=0(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1a+b+c=1,-1所以 a+b+c=0,+1,-1a(1/c+1/b)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)= 3 兩邊乘 abc a2(c+b)+b2(a+c)+c2(a+b)+3abc