概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第八章課后習(xí)題及參考答案

1概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 第 八 章 課 后 習(xí) 題 及 參 考 答 案1 設(shè) 某 產(chǎn) 品 指 標(biāo) 服 從 正 態(tài) 分 布 ， 它 的 均 方 差 已 知 為 150h， 今 從 一 批 產(chǎn) 品 中 隨機(jī) 抽 查 26 個 ， 測 得 指 標(biāo) 的 平 均 值 為 1637h 問 在 5%的 顯 著 性 水 平 ， 能 否 認(rèn) 為這 批 產(chǎn) 品 的 指 標(biāo) 為 1600h？解 ： 總 體 X )150,( 2N ， 檢 驗(yàn) 假 設(shè) 為0H ： 1600 ， 1H ： 1600 采 用 U 檢 驗(yàn) 法 ， 選 取 統(tǒng) 計(jì) 量 nXU /0 0 ，當(dāng)0H 成 立 時 ， U )1,0(N ， 由 已 知 ， 有 1637x ， 26n ， 05.0 ，查 正 態(tài) 分 布 表 得 96.1025.0 u ， 該 檢 驗(yàn) 法 的 拒 絕 域 為 96.1 u 將 觀 測 值 代 入 檢 驗(yàn) 統(tǒng) 計(jì) 量 得 2577.142.293726/150 16001637 u ，顯 然 96.12577.1 u ， 故 接 受 0H ， 即 可 認(rèn) 為 這 批 產(chǎn) 品 的 指 標(biāo) 為 1600h2 正 常 人 的 脈 搏 平 均 為 72 次 /min， 現(xiàn) 某 醫(yī) 生 從 鉛 中 毒 患 者 中 抽 取 10 個 人 ， 測得 其 脈 搏 (單 位 ： 次 /min)如 下 ：54， 67 ， 68， 78， 70 ， 66 ， 67 ， 70 ， 65， 69設(shè) 脈 搏 服 從 正 態(tài) 分 布 ， 問 在 顯 著 性 水 平 05.0 下 ， 鉛 中 毒 患 者 與 正 常 人 的 脈搏 是 否 有 顯 著 性 差 異 ？解 ： 本 題 是 在 未 知 方 差 2 的 條 件 下 ， 檢 驗(yàn) 總 體 均 值 72 取 檢 驗(yàn) 統(tǒng) 計(jì) 量 為 nSXT / 0 ，檢 驗(yàn) 假 設(shè) 為 0H ： 720 ， 1H ： 72 當(dāng) 0H 成 立 時 ， T )1( nt ， 由 已 知 ， 有 4.67x ， 93.5s ， 05.0 ，查 t分 布 表 得 262.2)9(025.0 t ， 將 觀 測 值 代 入 檢 驗(yàn) 統(tǒng) 計(jì) 量 得45.288.1 6.410/93.5 724.67/0 nsxt ，2顯 然 )9(262.2447.2 025.0tt ， 故 拒 絕 0H ， 即 鉛 中 毒 患 者 與 正 常 人 的 脈 搏有 顯 著 性 差 異 3 測 定 某 溶 液 中 的 水 分 ， 得 到 10 個 測 定 值 ， 經(jīng) 統(tǒng) 計(jì) %452.0x ， 22 037.0s ，該 溶 液 中 的 水 分 含 量 X ),( 2N ， 與 2 未 知 ， 試 問 在 顯 著 性 水 平 05.0下 該 溶 液 水 分 含 量 均 值 是 否 超 過 5%？解 ： 這 是 在 總 體 方 差 2 未 知 的 情 況 下 ， 關(guān) 于 均 值 的 單 側(cè) 檢 驗(yàn) 檢 驗(yàn) 假 設(shè) 為0H ： %5.0 ， 1H ： %5.0 此 假 設(shè) 等 價 于 檢 驗(yàn) 假 設(shè)0H ： %5.0 ， 1H ： %5.0 由 于 2 未 知 ， 取 檢 驗(yàn) 統(tǒng) 計(jì) 量 為 nSXT / 0 當(dāng) 0H 成 立 時 ， T )1( nt ， 拒 絕 域 為 )1(/ 0 ntnsx ，將 觀 測 值 代 入 檢 驗(yàn) 統(tǒng) 計(jì) 量 得 709.1037.0 )5.052.0(10/ 0 nsxt ，由 05.0 ， 查 t分 布 表 得 833.1)9(05.0 t ， 顯 然 )9(833.1709.1 05.0tt ，所 以 接 受 0H ， 即 該 溶 液 水 分 含 量 均 值 是 否 超 過 5%4 甲 、 乙 兩 個 品 種 作 物 ， 分 別 用 10 塊 地 試 種 ， 產(chǎn) 量 結(jié) 果 97.30x ， 79.21y ，7.2621 s ， 1.1222 s 設(shè) 甲 、 乙 品 種 產(chǎn) 量 分 別 服 從 正 態(tài) 分 布 ),( 21 N 和),( 22 N ， 試 問 在 01.0 下 ， 這 兩 種 品 種 的 產(chǎn) 量 是 否 有 顯 著 性 差 異 ？解 ： 這 是 在 方 差 相 等 但 未 知 的 情 況 下 檢 驗(yàn) 兩 正 態(tài) 總 體 的 均 值 是 否 相 等 的 問 題 檢 驗(yàn) 假 設(shè) 為 0H ： 21 ， 1H ： 21 由 題 可 知 ， 22221 未 知 ， 因 此 取 檢 驗(yàn) 統(tǒng) 計(jì) 量3nm nmmnSnSm YXT )2()1()1( 2221 ，當(dāng) 0H 為 真 時 ， T )2( nmt ， 該 檢 驗(yàn) 法 的 拒 絕 域 為 )2( 2/ nmtt 由 題 設(shè) ， 10nm ， 97.30x ， 79.21y ， 7.2621 s ， 1.1222 s 將 其 代 入 檢 驗(yàn) 統(tǒng) 計(jì) 量 得 nm nmmnSnSm yxt )2()1()1( 2221 66.420 1810101.1297.269 79.2197.30 ，由 01.0 ， 查 t分 布 表 得 878.2)18()2( 005.02/ tnmt 顯 然 )18(878.266.4 005.0 ttt ， 因 此 ， 拒 絕 0H ， 即 這 兩 種 品 種 的 產(chǎn) 量 有 顯著 性 差 異 5 某 純 凈 水 生 產(chǎn) 廠 用 自 動 灌 裝 機(jī) 裝 純 凈 水 ， 該 自 動 灌 裝 機(jī) 正 常 罐 裝 量 X )4.0,18( 2N ， 現(xiàn) 測 量 某 廠 9 個 罐 裝 樣 品 的 灌 裝 量 (單 位 ： L)如 下 ：0.18 ， 6.17 ， 3.17 ， 2.18 ， 1.18 ， 5.18 ， 9.17 ， 1.18 ， 3.18在 顯 著 性 水 平 05.0 下 ， 試 問 ：(1) 該 天 罐 裝 是 否 合 格 ？(2) 罐 裝 量 精 度 是 否 在 標(biāo) 準(zhǔn) 范 圍 內(nèi) ？解 ： (1) 檢 驗(yàn) 罐 裝 是 否 合 格 ， 即 檢 驗(yàn) 均 值 是 否 為 18， 故 提 出 假 設(shè)0H ： 18 ， 1H ： 18 ，由 于 方 差 22 4.0 已 知 ， 取 檢 驗(yàn) 統(tǒng) 計(jì) 量 為 nXU /0 0 ，當(dāng) 0H 為 真 時 ， U )1,0(N ， 該 檢 驗(yàn) 法 的 拒 絕 域 為 2/uu 由 題 可 知 ， 9n ， 18x ， 將 其 代 入 檢 驗(yàn) 統(tǒng) 計(jì) 量 得09/4.0 1818/0 0 nxu ，由 05.0 ， 查 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 表 得 96.1025.0 u ， 顯 然 ， 025.096.10 uu ，故 接 受 0H ， 即 該 天 罐 裝 合 格 4(2) 檢 驗(yàn) 罐 裝 量 精 度 是 否 在 標(biāo) 準(zhǔn) 范 圍 內(nèi) ， 即 檢 驗(yàn) 假 設(shè)0H ： 22 4.0 ， 1H ： 22 4.0 ，此 假 設(shè) 等 價 于 0H ： 22 4.0 ， 1H ： 22 4.0 由 于 18 已 知 ， 選 取 檢 驗(yàn) 統(tǒng) 計(jì) 量 為 ni iX1 2202 )18(1 ，當(dāng) 0H 為 真 時 ， 2 )(2 n ， 該 檢 驗(yàn) 法 的 拒 絕 域 為 )( 22 n 由 已 知 計(jì) 算 得 625.6)18(11 2202 ni ix ， 查 2 分 布 表 得 307.18)10(205.0 ，由 此 知 )10(307.18625.6 205.02 ， 故 接 受 0H ， 即 罐 裝 量 精 度 在 標(biāo) 準(zhǔn) 范 圍 內(nèi) 6 某 廠 生 產(chǎn) 某 型 號 電 池 ， 其 壽 命 長 期 以 來 服 從 方 差 22 1600h 的 正 態(tài) 分 布 ， 現(xiàn)從 中 抽 取 25 只 進(jìn) 行 測 量 ， 得 22 2500hs ， 問 在 顯 著 性 水 平 05.0 下 ， 這 批電 池 的 波 動 性 較 以 往 有 無 顯 著 變 化 ？解 ： 這 是 在 均 值 未 知 的 條 件 下 ， 對 正 態(tài) 總 體 方 差 的 檢 驗(yàn) 問 題 檢 驗(yàn) 假 設(shè) 為0H ： 202 ， 1H ： 202 ，其 中 160020 ， 取 檢 驗(yàn) 統(tǒng) 計(jì) 量 為 2 22 )1( Sn 當(dāng) 0H 為 真 時 ， 2 )(2 n ， 對 于 給 定 的 顯 著 性 水 平 ， 該 檢 驗(yàn) 法 的 拒 絕 域 為)1( 2 2/12 n 或 )1( 2 2/2 n 將 觀 測 值 25002 s 代 入 檢 驗(yàn) 統(tǒng) 計(jì) 量 得 5.371600250024)1( 2 22 sn 對 于 05.0 ， 查 2 分 布 表 得 401.12)24()1( 2975.02 2/1 n ， 364.39)24()1( 2025.02 2/ n ，由 于 )24(364.395.37401.12)24(2025.022975.0 ，故 接 受 0H ， 即 這 批 電 池 的 波 動 性 較 以 往 無 顯 著 變 化 57 某 工 廠 生 產(chǎn) 一 批 保 險(xiǎn) 絲 ， 從 中 任 取 10 根 試 驗(yàn) 熔 化 時 間 ， 得 60x ， 8.1202 s ，設(shè) 熔 化 時 間 服 從 正 態(tài) 分 布 ),( 2N ， 在 01.0 下 ， 試 問 熔 化 時 間 的 方 差 是 否大 于 100？解 ： 本 題 是 在 均 值 未 知 的 條 件 下 ， 檢 驗(yàn) 2 是 否 大 于 100， 是 關(guān) 于 2 的 單 側(cè) 檢 驗(yàn)問 題 檢 驗(yàn) 假 設(shè) 為 0H ： 1002 ， 1H ： 1002 ，此 假 設(shè) 等 價 于0H ： 1002 ， 1H ： 1002 ，這 是 左 側(cè) 檢 驗(yàn) 問 題 ， 取 檢 驗(yàn) 統(tǒng) 計(jì) 量 為 20 22 )1( Sn ，當(dāng) 0H 為 真 時 ， 2 )(2 n ， 該 檢 驗(yàn) 法 的 拒 絕 域 為 )1( 212 n 將 10n ， 10020 ， 8.1202 s ， 代 入 上 述 統(tǒng) 計(jì) 量 得87.10100 8.1209)1( 20 22 sn 對 于 01.0 ， 查 2 分 布 表 得 0879.2)9(299.0 ，顯 然 )9(0879.287.10299.02 ， 接 受 0H ， 即 熔 化 時 間 的 方 差 大 于 100本 題 如 果 將 檢 驗(yàn) 假 設(shè) 設(shè) 為0H ： 1002 ， 1H ： 1002 ，即 進(jìn) 行 右 側(cè) 檢 驗(yàn) ， 統(tǒng) 計(jì) 量 得 選 取 如 上 ， 則 該 檢 驗(yàn) 法 的 拒 絕 域 為 )1( 22 n 對 于 01.0 ， 查 2 分 布 表 得 666.21)9(201.0 ，顯 然 )9(666.2187.10 201.02 ， 接 受 0H ， 即 熔 化 時 間 的 方 差 不 大 于 100注 ： 若 選 取 的 顯 著 性 水 平 為 3.0 ， 用 MATLAB 計(jì) 算 得 6564.10)9(23.0 ， 從 而有 )9(6564.1087.1023.02 ， 則 應(yīng) 拒 絕 原 假 設(shè) ， 即 熔 化 時 間 的 方 差 大 于 1006上 述 結(jié) 果 說 明 了 在 觀 測 值 接 近 臨 界 值 時 ， 原 假 設(shè) 不 同 的 取 法 會 導(dǎo) 致 檢 驗(yàn) 結(jié) 果的 不 一 樣 ， 如 果 用 p 值 檢 驗(yàn) 法 則 可 避 免 上 述 矛 盾 8 設(shè) 有 兩 個 來 自 不 同 正 態(tài) 總 體 的 樣 本 ， 4m ， 5n ， 60.0x ， 25.2y ，07.1521 s ， 81.1022 s 在 顯 著 性 水 平 05.0 下 ， 試 檢 驗(yàn) 兩 個 樣 本 是 否 來 自相 同 方 差 的 總 體 ？解 ： 記 兩 正 態(tài) 總 體 為 ),( 211 N 和 ),( 222 N ， 其 中 1 和 2 未 知 檢 驗(yàn) 假 設(shè) 為0H ： 2221 ， 1H ： 2221 取 檢 驗(yàn) 統(tǒng) 計(jì) 量 為2221SSF ，當(dāng) 0H 為 真 時 ， F )1,1( nmF ， 該 檢 驗(yàn) 法 的 拒 絕 域 為)1,1( 2/1 nmFF 或 )1,1( 2/ nmFF 由 題 可 知 ， 05.0 ， 4m ， 5n ， 將 觀 測 值 代 入 檢 驗(yàn) 統(tǒng) 計(jì) 量 得39.181.10 07.152221 ssF ，查 F 分 布 表 得 98.9)4,3()1,1( 025.02/1 FnmF ， 066.010.151)3,4(1)4,3()1,1(025.0975.02/ FFnmF 由 此 知 )4,3(98.939.1066.0)4,3( 025.0975.0 FF ， 觀 測 值 沒 有 落 入 拒 絕 域 內(nèi) ，接 受 0H ， 即 兩 個 樣 本 來 自 相 同 方 差 的 總 體 9 某 廠 的 生 產(chǎn) 管 理 員 認(rèn) 為 該 廠 第 一 道 工 序 加 工 完 的 產(chǎn) 品 送 到 第 二 道 工 序 進(jìn) 行 加工 之 前 的 平 均 等 待 時 間 超 過 90min 現(xiàn) 對 100 件 產(chǎn) 品 的 隨 機(jī) 抽 樣 結(jié) 果 的 平 均 等待 時 間 為 96min， 樣 本 標(biāo) 準(zhǔn) 差 為 30min 問 抽 樣 的 結(jié) 果 是 否 支 持 該 管 理 員 的 看法 ？ ( 05.0 )解 ： 這 是 非 正 態(tài) 總 體 均 值 的 檢 驗(yàn) 問 題 ， 用 X 表 示 第 一 道 工 序 加 工 完 的 產(chǎn) 品 送 到第 二 道 工 序 進(jìn) 行 加 工 之 前 的 等 待 時 間 ， 設(shè) 其 均 值 為 ， 依 題 意 ， 檢 驗(yàn) 假 設(shè) 為0H ： 90 ， 1H ： 90 7由 于 100n 為 大 樣 本 ， 故 用 U 檢 驗(yàn) 法 總 體 標(biāo) 準(zhǔn) 差 未 知 ， 用 樣 本 標(biāo) 準(zhǔn) 差 S 代 替 取 檢 驗(yàn) 統(tǒng) 計(jì) 量 為 100/ 90SXU ，當(dāng) 0H 為 真 時 ， 近 似 地 有 U )1,0(N ， 該 檢 驗(yàn) 法 的 拒 絕 域 為 uu 由 題 可 知 ， 96x ， 30s ， 100n 對 于 05.0 ， 查 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 表 得 645.105.0 uu 將 觀 測 值 代 入 檢 驗(yàn) 統(tǒng) 計(jì) 量 得 2100/30 9096100/ 90 sxu ，顯 然 ， 05.0645.12 uu ， 故 拒 絕 0H ， 即 平 均 等 待 時 間 超 過 90 分 鐘 ， 也 即支 持 該 管 理 員 的 看 法 10 一 位 中 學(xué) 校 長 在 報(bào) 紙 上 看 到 這 樣 的 報(bào) 道 ： “ 這 一 城 市 的 初 中 學(xué) 生 平 均 每 周 看8h 電 視 ” 她 認(rèn) 為 她 所 領(lǐng) 導(dǎo) 的 學(xué) 校 ， 學(xué) 生 看 電 視 時 間 明 顯 小 于 該 數(shù) 字 為 此 ，她 向 學(xué) 校 的 100 名 初 中 學(xué) 生 作 了 調(diào) 查 ， 得 知 平 均 每 周 看 電 視 的 時 間 5.6x h，樣 本 標(biāo) 準(zhǔn) 差 為 2s h， 問 是 否 可 以 認(rèn) 為 校 長 的 看 法 是 對 的 ？ ( 05.0 )解 ： 初 中 生 每 周 看 電 視 的 時 間 不 服 從 正 態(tài) 分 布 ， 這 是 非 正 態(tài) 總 體 均 值 的 假 設(shè) 檢 驗(yàn)問 題 檢 驗(yàn) 假 設(shè) 為 0H ： 8 ， 1H ： 8 由 于 100n 為 大 樣 本 ， 故 用 U 檢 驗(yàn) 法 ， 取 檢 驗(yàn) 統(tǒng) 計(jì) 量 為 nSXU / ，當(dāng) 0H 為 真 時 ， 近 似 地 有 U )1,0(N ， 該 檢 驗(yàn) 法 的 拒 絕 域 為 uu 由 題 可 知 ， 5.6x ， 2s ， 100n 對 于 05.0 ， 查 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 表 得 645.105.0 uu 將 觀 測 值 代 入 檢 驗(yàn) 算 統(tǒng) 計(jì) 量 得 5.7100/2 85.6 u ，顯 然 ， 05.0645.15.7 uu ， 故 拒 絕 0H ， 即 初 中 生 平 均 每 周 看 電 視 的 時間 少 于 8 小 時 ， 這 位 校 長 的 看 法 是 對 的 811 已 知 某 種 電 子 元 件 的 使 用 壽 命 X (單 位 ： h)服 從 指 數(shù) 分 布 )(E 抽 查 100 個元 件 ， 得 樣 本 均 值 950x h 能 否 認(rèn) 為 參 數(shù) 001.0 ？ ( 05.0 )解 ： X )(E ， 1)( XE ， 21)( XD ， 由 中 心 極 限 定 理 知 ， 當(dāng) n充 分 大 時 ，近 似 地 有 nXnXU )1(/1 /1 )1,0(N 由 題 可 知 001.00 ， 檢 驗(yàn) 假 設(shè) 可 設(shè) 為0H ： 0 ， 1H ： 0 取 檢 驗(yàn) 統(tǒng) 計(jì) 量 為 nXnXU )1(/1 /1000 ，當(dāng) 0H 為 真 時 ， 近 似 地 有 U )1,0(N ， 該 檢 驗(yàn) 法 的 拒 絕 域 為 2/uu 由 題 知 ， 100n ， 950x ， 05.0 ， 查 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 表 知 96.1025.02/ uu 將 觀 測 值 代 入 檢 驗(yàn) 統(tǒng) 計(jì) 量 得 5.0u ， 顯 然 ， 025.096.15.0 uu ， 故 接 受0H ， 即 可 以 認(rèn) 為 參 數(shù) 001.0 12 某 地 區(qū) 主 管 工 業(yè) 的 負(fù) 責(zé) 人 收 到 一 份 報(bào) 告 ， 該 報(bào) 告 中 說 他 主 管 的 工 廠 中 執(zhí) 行 環(huán)境 保 護(hù) 條 例 的 廠 家 不 足 60%， 這 位 負(fù) 責(zé) 人 認(rèn) 為 應(yīng) 不 低 于 60%， 于 是 他 在 該地 區(qū) 眾 多 的 工 廠 中 隨 機(jī) 抽 查 了 60 個 廠 家 ， 結(jié) 果 發(fā) 現(xiàn) 有 33 家 執(zhí) 行 了 環(huán) 境 保 護(hù)條 例 ， 那 么 由 他 本 人 的 調(diào) 查 結(jié) 果 能 否 證 明 那 份 報(bào) 告 中 的 說 法 有 問 題 ？( 05.0 )解 ： 設(shè) 執(zhí) 行 環(huán) 境 保 護(hù) 條 例 的 廠 家 所 占 的 比 率 為 p ， 則 檢 驗(yàn) 假 設(shè) 為0H ： 6.0p ， 1H ： 6.0p ，上 述 假 設(shè) 等 價 于 0H ： 6.0p ， 1H ： 6.0p 引 入 隨 機(jī) 變 量 .,0 ,1 條 例抽 到 的 廠 家 為 執(zhí) 行 環(huán) 保 例抽 到 的 廠 家 執(zhí) 行 環(huán) 保 條X則 X ),1( pB ， pXE )( ， )1()( ppXD ， 由 中 心 極 限 定 理 ， 當(dāng) 0H 為 真9時 ， 統(tǒng) 計(jì) 量 60/)6.01(6.0 6.0/)1( 00 0 Xnpp pXU 近 似 地 服 從 )1,0(N 對 于 顯 著 性 水 平 05.0 ， 查 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 表 得 645.105.0 uu ，由 此 可 知 05.0645.16