[初三數(shù)學(xué)]圓的知識(shí)總結(jié)

A圖 2BDMEO1CF初 三 數(shù) 學(xué)（第五周） 【教學(xué)內(nèi)容】 圓的定義及有關(guān)性質(zhì)（二）【教學(xué)要求】 1使學(xué)生理解圓的中心對(duì)稱性及旋轉(zhuǎn)不變性，掌握?qǐng)A心角、弦、弧，弦心距的相等關(guān)系定理及其推論。2使學(xué)生掌握?qǐng)A周角定理及其推論。3使學(xué)生掌握?qǐng)A的內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理?！窘虒W(xué)內(nèi)容】 一、知識(shí)點(diǎn)分析： 1將圓繞圓心 O 旋轉(zhuǎn) 180后，每條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)交換位置，得到的圖形與原圖形重合。所以圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形。不僅如此，繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后都能與原來(lái)的圖形重合，這是圓的又一特性旋轉(zhuǎn)不變性，它是本書(shū)的理論基礎(chǔ)。 2在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。定理中“在同圓或等圓中”這一前提必不可少。由這個(gè)定理，在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦、弦心距之間就可以實(shí)現(xiàn)等量的相互轉(zhuǎn)化，任意兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。本定理及推論給解決有關(guān)圓的問(wèn)題帶來(lái)很大方便，它是本單元的重點(diǎn)之一。 3圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)。4圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半，本定理的證明過(guò)程中用到了完全歸納法，所以這是本節(jié)的難點(diǎn)之一。 5圓周角定理的推論：推論 1 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。推論 2 半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角。90的圓周角所對(duì)的弦為直徑。推論 3 若三角形一邊上中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。推論 1 是圓中證明兩角，兩條線段，兩條弧相等的重要依據(jù)。推論 2 揭示了半圓，90的圓周角及直徑之間的內(nèi)在聯(lián)系。推論 3 是直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)定理的逆定定理，是判定直角三角形或垂直關(guān)系的又一依據(jù)。這一組推論應(yīng)用極為廣泛，也是本節(jié)的重點(diǎn)之一。 6圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。這一定理是在圓中探求角的相等或互補(bǔ)關(guān)系時(shí)常用的定理，使用本定理時(shí)要注意識(shí)圖，不要弄錯(cuò)四邊形的外角和它的內(nèi)對(duì)角的位置。 二、例題精講例 1設(shè)O 的半徑長(zhǎng)為 1，直徑 AB直徑 CD，E 為 OB 中點(diǎn)，弦 CF 過(guò) E 點(diǎn)，求 EF 之長(zhǎng)。解：如圖 1，連 DF DC 為O 直徑 CFD=90 COE=CFD=90 又 ABCD 又1=1 COECFD 即 CF= EF=CF-CE= - =CDEFO2)1(F545425103說(shuō) 明 ： 連 DF， 構(gòu) 成 直 徑 所 對(duì) 的 圓 周 角 ， 這 是 圓 中 常 添 加 的 輔 助 線 。 另 外 ， 通 過(guò) CF-CE 來(lái) 求 EF， 這 種 間 接 求 值 的 方 法 要 注意 。 例 2如圖：O 1與O 2為兩個(gè)等圓，M 為 O1O2中點(diǎn)，過(guò) M 的直線分別交O 1與O 2于 A、B、C、D。ACB圖求證：AB=CD分 析 ： AB、 CD 分 別 是 等 圓 O1和 O2的 弦 。 聯(lián) 系 條 件 “M 是 O1O2的 中 點(diǎn) ”， 易 知 證 明 相 應(yīng) 的 弦 心 距 相 等 是 本 題 的 最 佳 方案 。證明：過(guò) O1作 O1EAB，過(guò) O2作 O2FCD1=2 O 1EM=O 2FM=90又 M 為 O1O2中點(diǎn) O 1M=O2MO 1EMO 2FM O 1E=O2F 又O 1與O 2是等圓 AB=CD例 3如圖 3，O 是ABC 的外接圓，AO 是O 的半徑，AD 是ABC 一邊上的高。求證：BAO=DAC。分析：分別延長(zhǎng) AO，AD 交O 于 E、F，構(gòu)成圓周角的基本圖形證法一：延長(zhǎng) AO 交O 于 E，連 BE，則BEA=CAO 是O 半徑 AE 為O 直徑EBA=90 BAO+BEA=90在ABC 中 ADBC 于 D C+DAC=90又C=BEA BAO=CAD證法二：過(guò) O 作 OGAB 于 G，交O 于 H，連 OB由垂徑定理 AH=BH= AB21AOH= AOB又AOB 與C 分別是 AB 所對(duì)的圓心角與圓周角C= AOB C=AOH21又 OGAB，ADBCBAO+AOH=90 DAC+C=90BAO=DAC證法三：延長(zhǎng) AO，AD 分別交O 于 E，F(xiàn)，連結(jié) EFAE 是直徑 F=90 又 ADBCADB=90 EFBCBE=CF BAO=CAF說(shuō)明：三種不同的證法從不同的角度利用了圓周角定理及其推論，證法二和證法三還運(yùn)用到了垂徑定理及其推論，這體現(xiàn)了運(yùn)用知識(shí)的靈活性。另外，證題中一些常用的輔助線的作法，如作出弦的弦心距，構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角等等要認(rèn)真體會(huì)。例 4如圖 4，已知ABC 內(nèi)接于O，AB 為直徑，CD 是ABC 的高，H 為圓周上任意一點(diǎn)，AH 交 CD 于 G，求證：AC2=AGAH分析：由本題條件，很容易根據(jù)直角三角形中的母子相似構(gòu)圖在 RtABC 中證得 AC2=ADAB 對(duì)照結(jié)論，我們只需證 ADAB=AGAH，所以我們只要連結(jié) BH，證明ABHAGD 即可。另外，由于 AC2=AGAH ，所以我們ACH也可以嘗試證明ACGAHC。證法一：連結(jié) BHAB 為直徑 AHB=90AHB=ADGCD 是高 ADG=90 HAB=GADAHBADG ABAD=AGAHADHGBAB 為直徑 ACB=90ACDABCCD 為高 CDA=90 AC2=ABADACBA圖 3EBFOCDHG圖 4EBDOABDOE123圖 6FCB圖 7OADCFE AC2=AGAH 又 ABAD=AGAH證法二：延長(zhǎng) CD 交圓于 E，連結(jié) AE，HCAB 是直徑 AC=AE AHC=ACD CEAB ACGAHG CAH=CAG AC2= AHAGACGH說(shuō)明：提高幾何解題能力一個(gè)重要的方面就是提高識(shí)圖能力。在本題的證明過(guò)程中，基本圖形發(fā)揮了極為重要的作用。另外本題證明過(guò)程中還體現(xiàn)了等比式與等積式的互化。以下是從本題中分離出的基本圖形。 （見(jiàn)圖 5）例 5如圖 6，AD，AE 分別平分O 內(nèi)接三角形 ABC 的內(nèi)角BAC 和外角BAF，交圓于 D，E，求證：1）DE 是ABC外接圓直徑 2）DE 是 BC 的中垂線證明：1）AD、AE 分別平分ABC 的內(nèi)角BAC 和外角BAF1+2= (BAC+BAF)=90 即EAD=90 ED 為O 直徑212）如圖，AD 平分BAC 2=3 BD=DC又DE 是O 直徑，DE 平分弦 BC 所對(duì)的一條弧 DE 垂直平分 BC。說(shuō) 明 ： 本 題 很 巧 妙 地 運(yùn) 用 圓 周 角 定 理 的 推 論 ： 90的 圓 周 角 所 對(duì) 的 弦 是 直 徑 ， 同 圓 或 等 圓 中 ， 相 等 的 圓 周 角 所 對(duì) 的弧 相 等 。 第 2） 小 問(wèn) 的 證 明 則 運(yùn) 用 了 垂 徑 定 理 的 推 論 ： 平 分 弦 所 對(duì) 的 一 條 弧 的 直 徑 垂 直 平 分 弦 ， 再 次 體 現(xiàn) 了 垂 徑 定 理 的 重 要性 。例 6如圖 7，AB 是半圓 O 的直徑，E、O、F 是 AB 的四等分點(diǎn)，CEAB 交O 于 C，DFAB 交O 于 D，求證：1）CE=DF 2）C、D 是 AB 的三等分點(diǎn)BDHG圖 5CCABDO圖 8CABDOEF21圖 9C證明：1）連 OC、OD 在EOC 和FOD 中： E、O、F 是 AB 的四等分點(diǎn) EO=FO 又CEO=DFO=90 OC=OD EOCFOD CE=DF2）連 AC CEAO CE 垂直平分 AO AC=OC AE=EO OAC 為等邊三角形 又 OA=OC AOC=60 AC 的度數(shù)是 60 C 是 AB 的三等分點(diǎn) 同理可得 D 是 AB 的三等分點(diǎn)。說(shuō)明：證明 C，D 是 AB 的三等分點(diǎn)，只需證AOC=BOD= AOB 即可。31例 7如圖 8，圓內(nèi)接四邊形 ABCD 中，若 AB:BC:CD:DA 2:5:4:1，試求四邊形 ABCD 各內(nèi)角。解：設(shè) AD 的度數(shù)為 x由 AB:BC:CD:DA 2:5:4:1可得 AB 的度數(shù)為 2x，BC 的度數(shù)為 5x，CD 的度數(shù)為 4x，由于整個(gè)圓周為 360，所以 x+2x+4x+5x=360 x=30所以 AB 度數(shù)為 60，BC 的度數(shù)是 150，CD 度數(shù)為 120所以A 的度數(shù)= BCD 的度數(shù)= (150+120)=1352121又四邊形 ABCD 內(nèi)接于圓 故A+C=180C=180-135=45 同理D=105，B=75說(shuō)明：圓的內(nèi)接四邊形的四個(gè)內(nèi)角都是圓周角。所以在求內(nèi)角時(shí)常用到圓周角定理。另外本題中所給的是弧的度數(shù)之比，不要當(dāng)作是四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比。例 8如圖 9，BC 是半圓的直徑，A 是半圓上任意一點(diǎn)，D 是 AC 中點(diǎn)。DEBC 于 E，求證：AB=BE-ECBN=2AEE圖 1BODCAFP分析：證明線段的和差問(wèn)題時(shí)常用手法是“截長(zhǎng)補(bǔ)短” 。證明：在 BE 上截取 BF=BA，連 AD、DC、DFD 是 AC 中點(diǎn) AD=DC 1=2 AD=DC 又在ABD 和FBD 中 BD=BD 1=2 AB=BFABDFBD AD=FD DC=DF 等腰DCF 中 DECF EC=EFBF=BE-EF=BE-EC 即 AB=BE-EC說(shuō)明：本證明的核心部分是“弧等 弦等，圓周角等” ，借助于截長(zhǎng)的手法實(shí)施了一次全等變換，從而將 BA“翻折”到 BF 的位置，將 DA“翻折”到 DF 的位置，最后又靈活運(yùn)用等腰三角形三線合一的性質(zhì)。例 9如圖 10，在ABC 中，AB=AC，BD 是 AC 邊上的中線，ADB 的平分線交 AB 于 E，AED 的外接圓交 BD 于 N，求證：BN=2AE 分析：由條件及構(gòu)圖，我們很難將 BN 與 AE 聯(lián)系起來(lái)，結(jié)合圓周角定理易得 AE=EN。于是本題可轉(zhuǎn)化證明 BN=2EN，由“AB=AC 及 D 為 AC 中點(diǎn)”可知 AB=2AD，根據(jù)例 4 中所分離的基本圖形，可證得BENBDA。證明：連 EN，DE 平分ADB 1=2 AE=EN AE=EN四邊形 ENDA 內(nèi)接于圓 3=ABENBDA BADNE又ABD=NBEBANE又 D 為 AC 中點(diǎn) 21DAB=AC例 10 如 圖 11， O 與 O相 交 于 A、 B， 過(guò) A 引 直 線 CD， EF 分 別 交 兩 圓 于 C、 D、 E、 F， EC 與 DF 的 延 長(zhǎng) 線 相 交 于 P求證：P+CBD=180分析：PEF 中，P+E+PFE=180，故要證P+CBD=180只需證CBD=E+PFE，連 AB 易證之。證明：連 AB，E 與CBA 是O 中 AC 所對(duì)的圓周角 E=CBA又四邊形 ABDF 內(nèi)接于O PFA=ABDAE圖 10C23E+PFE=CBA+ABD=CBD又E+P+PFE=180 P+CBD=180例 11如圖 12，O 是ABC 的外心，弦 AB 的垂直平分線與 AC、AB 相交于 D 和 M，與 BC 的延長(zhǎng)線相交于 E求證：（1）ODDE=ADDC（2）OA 2=ODOE證明：（1）連 AO，BO，在O 中AOB、ACB 分別是 AB 所對(duì)的圓心角與圓周角 ACB= AOB又EM 垂直平分 AB EM 過(guò)圓心 O AO=OB又AM=BM AOM= AOB21AOM=ACB ECD=AOD又1=2 AODECD ADCD=ODDECDEOA（2）連 AE，由 1）AODECD 知CED=OADEM 垂直平分 AB AE=BE又 AM=BM AED=CED OAD=AED又DOA=AOE AODEOA OA2=ODOEOEA說(shuō)明：在證明乘積式或比例式時(shí)常要找相似三角形，在證明三角形相似時(shí)要充分利用與圓有關(guān)的角。另外本題（2）中還可以連 OC，證OCDDEC，利用 OA=OC 代換即得。【課外練習(xí)】一、填空1一條弦把圓分成 1:2 兩部分，則劣弧所對(duì)的圓心角是 。2在直徑為 12cm 的圓中，AB 是 60，弦 AB 的長(zhǎng)是 ，弦心距是 。3如圖 13，在O 的內(nèi)接三角形 ABC 中，OEAB，OFAC，垂足分別為 E、F，若 OE=OF，ABC 是 三角形，若 BC=5cm，EF= cm。4在圓內(nèi)接三角形 ABC 中，AB=AC，AB 是 130，A= 。5如圖 14，C=135，O= 。6如圖 15，AB 是O 的直徑，AB=AC，A=50，BD 是 ，AE 是 。7圓內(nèi)接四邊形 ABCD 中，A:B:C=1:3:5，則A= ，D= 。8如圖 16，O 1和O 2相交于點(diǎn) A、B，點(diǎn) O1在O 2上，D=50，C= 。二、解答下列各題：1如圖 17，AB、CD 是O 兩條直徑，弦 AECD，AE 是 100，求BOD 的度數(shù)。2BMA圖 1OCD圖 15O圖 圖 4CABFODCA2如圖 18，已知O 的半徑 OC 垂直于直徑 AB，弦 EFAB，交 OC 于 G，且 OG=GC，求CBE 的度數(shù)。3如圖 19，AB 是O 直徑，BC 是弦，F(xiàn) 是 BC 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 CF=CB，F(xiàn)A 的延長(zhǎng)線交O 于點(diǎn) E，求證：BC=BE。4如圖 20，O 的弦 AB、CD 的延長(zhǎng)線相交于 P，AD、CB 相交于點(diǎn) M，求證：（1）AMC 的度數(shù)= (AC+BD)的度數(shù)21（2）P 的度數(shù)= (AC-BD)的度數(shù)5如圖 21，AOB=90，C，D 是 AB 的三等分點(diǎn)，AB 分別交 OC、OD 于點(diǎn) E、F，求證：AE=BF=CD。ACBD圖 16OBC圖 7EACF圖 18O2圖 20OCADPBEOFB圖 9DEO圖 21FCAPOC2B4圖5F圖 3E13AD6如圖 22，ABC 內(nèi)接于O，AB=AC，D 為 BC 上任意一點(diǎn)，AD 交 BC 于 E，求證：（1）BDCD=ADDE（2）AB 2=ADAE（3）AD 2=AB2+BDDC7如圖 23，O 1與O 2相交于點(diǎn) A、B，且 O1點(diǎn)在O 2上，過(guò)點(diǎn) A 的直線 CD分別與O 1，O 2交于 C、D，過(guò)點(diǎn) B 的直線 EF 分別與O 1，O 2交于 E、F，O 2的弦 O1D 交 AB 于 P 點(diǎn)求證：1）CEDF 2）O 1A2=O1PO1D參考答案一、填空題：1. 120 2