概率論與數理統計第四版習題答案全

概率論與數理統計習題解答 第一章 隨機事件及其概率 1概率論與數理統計習（第四版）題解答第一章 隨機事件及其概率樣本空間事件的關系及運算一、任意拋擲一顆骰子，觀察出現的點數。設事件 表示“出現偶數點” ，事件 表示“出AB現的點數能被 3 整除” （1）寫出試驗的樣本點及樣本空間；（2）把事件 及 分別表示為樣本點的集合；AB（3）事件 分別表示什么事件？并把它們表示為樣本點的 ,集合解：設 表示“出現 點” ，則ii)6,21(（1）樣本點為 ；樣本空間為54321,.,654321（2） ； ,642A.63B（3） ，表示“出現奇數點” ； ，表示“出現的點數不531 ,5421B能被 3 整除” ； ，表示“出現的點數能被 2 或 3 整除” ； ，,6432 6AB表示“出現的點數能被 2 整除且能被 3 整除” ； ，表示“出現的點數既不能,A51被 2 整除也不能被 3 整除”二、寫出下列隨機試驗的樣本空間及各個事件中的樣本點：（1）同時擲三枚骰子，記錄三枚骰子的點數之和 “點數之和大于 10”， “點B數之和小于 15”（2）一盒中有 5 只外形相同的電子元件，分別標有號碼 1，2，3，4，5從中任取 3只， “最小號碼為 1”A解：(1) 設 表示“點數之和等于 ” ，則ii)8,4,3(；,1843；21 .,1443B(2) 設 表示“出現號碼為 ” ，則ijk kji );5,2( kjiji , 34235415314251423 .A三、設 為三個事件，用事件之間的運算表示下列事件：CB,(1) 發(fā)生 , 與 都不發(fā)生；(2) 都發(fā)生；(3) 中至少有兩個發(fā)生；A(4) 中至多有兩個發(fā)生,解：(1) ；B(2) ；C(3) 或ABCA(4) 或 或BCA .ABC四、一個工人生產了 n 個零件，以 表示他生產的第 個零件是合格品（ ） 用 表i i ni1i概率論與數理統計習題解答 第一章 隨機事件及其概率 2示下列事件：（1）沒有一個零件是不合格品；（2）至少有一個零件是不合格品；（3）僅有一個零件是不合格品；（4）至少有一個零件不是不合格品解：(1) ；nA21(2) 或 ； nA21(3) nnn 2121(4) 或 .21n第二章 概率的古典定義概率加法定理一、電話號碼由七個數字組成，每個數字可以是 0，1，2，9 中的任一個數（但第一個數字不能為 0） ，求電話號碼是由完全不同的數字組成的概率解：基本事件總數為 6101019 CC有利事件總數為 45789245678設 表示“電話號碼是由完全不同的數字組成” ，則A 06.1)(6AP二、把十本書任意地放在書架上，求其中指定的三本書放在一起的概率解：基本事件總數為 !10指定的三本書按某確定順序排在書架上的所有可能為 種；這三本書按確定的順!7A序放在書架上的所以可能的位置共 種；這三本書的排列順序數為 ；故有利81C!3A事件總數為 (亦可理解為!38!7)3P設 表示“指定的三本書放在一起” ，則A 067.15!)A三、為了減少比賽場次，把二十個隊任意分成兩組（每組十隊）進行比賽，求最強的兩個隊被分在不同組內的概率解：20 個隊任意分成兩組（每組 10 隊）的所以排法，構成基本事件總數 ；兩個最強的102C隊不被分在一組的所有排法，構成有利事件總數 9182C設 表示“最強的兩隊被分在不同組” ，則A 56.0)(10298AP四、某工廠生產的產品共有 100 個，其中有 5 個次品從這批產品中任取一半來檢查，求發(fā)現次品不多于 1 個的概率解：設 表示“出現的次品為 件” ， 表示“取出的產品中次品不多iAi ),43,10(A于 1 個” ，則 因為 ，所以 而.10AV).(10PP概率論與數理統計習題解答 第一章 隨機事件及其概率 30281.9743)(5019CAP 1529.079425)(019CAP故 8.2.)(五、一批產品共有 200 件, 其中有 6 件廢品求 (1) 任取 3 件產品恰有 1 件是廢品的概率; (2) 任取 3 件產品沒有廢品的概率; (3) 任取 3 件產品中廢品不少于 2 件的概率解：設 表示“取出的 3 件產品中恰有 1 件廢品” ； 表示“取出的 3 件產品中沒有廢品” ；AB表示“取出的 3 件產品中廢品不少于 2 件” ，則C(1) 085.912048)(1946 P(2) .320B(3) 023.198204)(194361946 C六、設 求 A, B, C 至少有一事件發(fā)生的41)( , ,3)()( BCP(A)PBBPA概率解：因為 ，所以 ，從而 可推出0V, V)( 0)(ABP設 表示“A, B, C 至少有一事件發(fā)生” ，則 ，于是有DD)()()() 75.4313第三章 條件概率與概率乘法定理全概率公式與貝葉斯公式一、設 求 ,6.0)|(,4.0)(,5.)( BAPAP )|(,)BAP解：因為 ，所以 ，即B(14.06.15.0 87.53.)4(.)()()()|( BAPAP二、某人忘記了電話號碼的最后一個數字，因而他隨意地撥號，求他撥號不超過兩次而接通所需電話的概率若已知最后一個數字是奇數，那么此概率是多少？解：設 表示“第一次撥通” ， 表示“第二次撥通” ， 表示“撥號不超過兩次而撥通”BC（1） 2.01)()( 1901CAPC（2） 4.5254概率論與數理統計習題解答 第一章 隨機事件及其概率 4三、兩臺車床加工同樣的零件，第一臺出現廢品的概率是 0.03，第二臺出現廢品的概率是0.02加工出來的零件放在一起，并且已知第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍（1）求任意取出的零件是合格品的概率；（2）如果任意取出的零件是廢品，求它是第二臺車床加工的概率解：設 表示“第 臺機床加工的零件” ； 表示“出現廢品” ； 表示“出現合iAi )2,1(iBC格品”（1） )()()()() 22112121 APACPAPCPC 973.0.30.3（2） 25.0.310.2)()()()( 211222 ABPABPAB四、獵人在距離 100 米處射擊一動物，擊中的概率為 0.6；如果第一次未擊中，則進行第二次射擊，但由于動物逃跑而使距離變?yōu)?150 米；如果第二次又未擊中，則進行第三次射擊，這時距離變?yōu)?200 米假定擊中的概率與距離成反比，求獵人三次之內擊中動物的概率解：設 表示“第 次擊中” ，則由題設，有 ，得 ，從iAi )3,21(i 106.)(1kAP60而有，4.0156)(2kP .306)(3kAP設 表示“三次之內擊中” ，則 ，故有3211)()()()( 321211A8.4.6.6.0（另解）設 表示“獵人三次均未擊中” ，則B160)(0)() P故所求為 832.1)(五、盒中放有 12 個乒乓球，其中有 9 個是新的第一次比賽時從其中任取 3 個來用，比賽后仍放回盒中第二次比賽時再從盒中任取 3 個，求第二次取出的都是新球的概率解：設 表示“第一次取得 個新球” ，則iAi ),10(i201)(30CP27)319CAP2018)(392CAP084(230設 表示“第二次取出的都是新球” ，則B 312631273128312930 08470)()( CCABPPi ii .560454271 概率論與數理統計習題解答 第一章 隨機事件及其概率 5第四章 隨機事件的獨立性獨立試驗序列一、一個工人看管三臺車床，在一小時內車床不需要工人照管的概率：第一臺等于 0.9，第二臺等于 0.8，第三臺等于 0.7求在一小時內三臺車床中最多有一臺需要工人照管的概率解：設 表示“第 臺機床不需要照管” ，則iAi )3,21(i9.0)(1P8.0AP7.0)(3AP再設 表示“在一小時內三臺車床中最多有一臺需要工人照管” ，則B 21321321321B于是有 )()()()()()()( 3213321 APA7.08.907.89.078.907.809. （另解）設 表示“有 臺機床需要照管” ， 表示“在一小時內三臺車床中iBi )1,(iB最多有一臺需要工人照管” ，則 且 、 互斥，另外有0B054.078.90)(P 398.0)7(8.97.)81(9)1 故 2354)(010 P二、電路由電池 與兩個并聯的電池 及 串聯而成設電池 損壞的概率分別是 0.3、abccba,0.2、0.2，求電路發(fā)生間斷的概率解：設 表示“ 損壞” ； 表示“ 損壞” ； 表示“ 損壞” ；則1A2A3A3.0)(P.0)(32P又設 表示“電路發(fā)生間斷” ，則B321B于是有 )()()() 321321 APA(21PA8.0.0.0三、三個人獨立地去破譯一個密碼，他們能譯出的概率分別為 、 、 ，求能將此密碼534譯出的概率解：設 表示“甲能譯出” ； 表示“乙能譯出” ； 表示“丙能譯出” ，則ABC51)(AP31)(P1)(P設 表示“此密碼能被譯出” ，則 ，從而有DBAD)()()()( ABCPC ()()(6.04131453145 概率論與數理統計習題解答 第一章 隨機事件及其概率 6（另解） ，從而有52)41(3)51()()() CPBACPD6.021D四、甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人的命中概率分別為 飛機被一7.0,.人擊中而被擊落的概率為 ，被兩人擊中而被擊落的概率為 ，若三人都擊中，則2.0飛機必被擊落求飛機被擊落的概率解：設 表示“甲命中” ； 表示“乙命中” ； 表示“丙命中” ；則1AA3A4.)(1P5.0)(2P7.0)(3P設 表示“ 人擊中飛機” ，則iBi ,1(i 9.1.(4.)() 3213210 P31 )()32121321 AA)()()( 321APPP36.075.4.07.5.047.05.4.0 ) 3213213212BP)()()(A)()(321321321 A41.075.4.07.5.047.05.4.0 )()()3 P設 表示“飛機被擊落” ，則由題設有)0BAP2.1B6.)(2B)(3BAP故有458.01.041.36.09.)(30 i ii五、某機構有一個 9 人組成的顧問小組，若每個顧問貢獻正確意見的概率都是 0.7，現在該機構內就某事可行與否個別征求每個顧問的意見，并按多數人意見作出決策，求作出正確決策的概率解：設 表示“第 人貢獻正確意見” ，則 iAi 7.0)(iAP)9,21(i又設 為作出正確意見的人數， 表示“作出正確決策” ，則m)98)6(5)() 99PP 279364 )3.0(.(.3.07. CCC9189 70 273645 .).).(.129()4.5.2.6.07.9六、每次試驗中事件 A 發(fā)生的概率為 p，為了使事件 A 在獨立試驗序列中至少發(fā)生一次的概率不小于 p，問至少需要進行多少次試驗？解：設做 次試驗，則n npPAP )1(1 一 次 都 不 發(fā) 生至 少 發(fā) 生 一 次概率論與數理統計習題解答 第一章 隨機事件及其概率 7要 ，即要 ，從而有pn)1( pn1)( .1)(log)1pn答：至少需要進行一次試驗第五章 離散隨機變量的概率分布超幾何分布二項分布泊松分布一、一批零件中有 9 個合格品與 3 個廢品安裝機器時從這批零件中任取 1 個如果每次取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的廢品數的概率分布解：設 表示“在取得合格品以前已取出的廢品數” ，則 的概率分布為XX0 1 2 3p129C923C109312C即 X0 1 2 3p43490920亦即0 1 2 375.205.41.4.二、自動生產線在調整以后出現廢品的概率為 生產過程中出現廢品時立即進行調整求在兩次調整p之間生產的合格品數的概率分布解：設 表示“在兩次調整之間生產的合格品數” ，且設 ，則 的概率分布為X pq0 1 2 nppq q三、已知一批產品共 20 個，其中有個次品（）不放回抽樣抽取個產品，求樣品中次品數的概率分布；（）放回抽樣抽取個產品，求樣品中次品數的概率分布解：（1）設 表示“取出的樣本中的次品數” ，則 服從超幾何分布，即 的概率函數為XXX)4,320()(62014xCxPx從而 的概率分布為0 1 2 3 4p485496521即 X0 1 2 3 4p26.458.0578.01.（2）設 表示“取出的樣本中的次品數” ，則 服從超幾何分布，即 的概率函數為XX概率論與數理統計習題解答 第一章 隨機事件及其概率 8)6,543,20()2.01().)( 66 xCxXPx從而 的概率分布為X0 1 2 3 4 5 6p5)4(6564656211即 X0 1 2 3 4 5 6p26.39.458.019.0.1.0.四、電話總機為 300 個電話用戶服務在一小時內每一電話用戶使用電話的概率等于 0.01，求在一小時內有 4 個用戶使用電話的概率（先用二項分布計算，再用泊松分布近似計算，并求相對誤差） 解：（1）用二項分布計算 )1.( 1687.0).1()0.()4 29443296430 CpCP（2）用泊松分布計算 .n835.!)(e相對誤差為 .51687.03. 0五、設事件 A 在每一次試驗中發(fā)生的概率為 0.3，當 A 發(fā)生次數不少于 3 次時，指示燈發(fā)出信號現進行了 5 次獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率解：設 表示“事件 發(fā)生的次數” ，則 ， ， 于是有X3.)(pP5n).0,(BX)4(3( PX52511pCC1638.02.8.0（另解） )2()()()()( XP254155p163.六、設隨機變量 的概率分布為；2, 10 ,!)(kakXP其中 0 為常數，試確定常數 a解：因為 ，即 ，亦即 ，所以01)(kXP01!ke.ea第六章 隨機變量的分布函數連續(xù)隨機變量的概率密度一、函數 可否是連續(xù)隨機變量 的分布函數？為什么？如果 的可能值充滿區(qū)間：21xXX（1） （ ） ；（2） （ ） , 0,概率論與數理統計習題解答 第一章 隨機事件及其概率 9解：（1）設 ，則21)(xF1)(0xF因為 ， ，所以 不能是 的分布函數limxli)(X（2）設 ，則 且 ，2)()(0limxx 1)(lixFx因為 ，所以 在（ ）上單增0 )1 xF)(F,綜上述，故 可作為 的分布函數(X二、函數 可否是連續(xù)隨機變量 的概率密度？為什么？如果 的可能值充滿區(qū)間：fsin) X（1） ； （2） ； （3） ,0,02,0解：（1）因為 ，所以 ；又因為 ，所以當,xsin)(xf 1cos)(2020xdxf2,0x時，函數 可作為某隨機變量 的概率密度xfsin)( X（2）因為 ，所以 ；但 ，所以當x, 0si)(f 12cos)(0xdxf x,0時，函數 不可能是某隨機變量 的概率密度fi)(（3）因為 ，所以 不是非負函數，從而它不可能是隨機變量 的概率密度23,0xfin)( X二、一批零件中有 9 個合格品與 3 個廢品安裝機器時從這批零件中任取 1 個如果每次取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的廢品數的分布函數，并作出分布函數的圖形解：設 表示“取出的廢品數” ，則 的分布律為XX0 1 2 3p434909201于是， 的分布函數為X其圖形見右： 3,1209,13,)(xxxF四、 （柯西分布）設連續(xù)隨機變量 的分布函數為XxBAF ,arctn)(求：（1）系數 A 及 B；（2）隨機變量 落在區(qū)間 內的概率；(3) 的概率密度)1(X解：(1) 由 ， ，解得0)