機(jī)械工程控制基礎(chǔ)修訂本陳康寧習(xí)題解答

1第 1 章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法 復(fù)習(xí)思考題1. 拉氏變換的線性性質(zhì)、微分定理、積分定理、時域的位移定理、復(fù)域位移定理、初值定理、終值定理、卷積定理是什么？如何應(yīng)用？解答：（1）線性性質(zhì)：若有常數(shù) K1，K 2，函數(shù) f1(t)，f 2(t)，且 Lf1(t)=F1(s)，Lf 2(t)=F2(s)，則* 121212()() )ftftLftftKsMERGEFORMAT (2-2)（2）微分定理：若 f(t)的拉氏變換為 F(s)，則* MERGEFORMAT (2-3)0ftff(0)為 t=0 時的 f(t)值。此定理需考慮在 t0 處是否有斷點(diǎn)。如果在 t0 處有斷點(diǎn)，f(0 )f(0 )，則該定理需修改成 ()()LftsFf 0f(0 )為由正向使 t0 時的 f(t)值；f(0 )為由負(fù)向使 t0 時的 f(t)值；進(jìn)而可推出 f(t)的各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換：* 2() 12(2)(1)()()00nnnnnnLftsFfLftsffff MERGEFORMAT (2-4)式中 f (i)(0)（0in）表示 f(t)的 i 階導(dǎo)數(shù)在 t=0 時的取值。如果在 t0 處有斷點(diǎn)，f(0 )f(0 )，則該定理需修改成2() 12(2)(1)()0)00nnnnnnLtsFffLftsFffff 22() 12(2)(1)()()000nnnnnnLftsFffLftsFffff 式中 f (i)(0 )（0in）表示 f(t)的 i 階導(dǎo)數(shù)在 t 從正向趨近于零時的取值。 f (i)(0)（0in）表示 f(t)的 i 階導(dǎo)數(shù)在 t 從負(fù)向趨近于零時的取值當(dāng)初始條件均為零時，即 (1)()0“()0nfff則有 2()()“()nnLftsFfts（3）積分定理若 f(t)的拉氏變換為 F(s)，則* MERGEFORMAT (2-5)(1)()d0FsLftf是對不定積分的拉普拉斯變換。式中 ，是在 t = 0 時的值。(1)0dt如果 f(t)在 t0 處包含一個脈沖函數(shù)，則 ，此時，必須將上述(1)(1)ff定理修正如下： (1)()()d0FsLftf()ftfs式中 ，是在 t = 0 時的值； ，是在 t = 0時的值。(1)0dt (1)0()dfft對于定積分的拉普拉斯變換，如果 f(t)是指數(shù)級的，則上述定理修改如下：0()()dtFsLf如果 f(t)在 t0 處包含一個脈沖函數(shù)，則 ，此時00()d()ttff0()dtLfts0()t ftLf3依此類推 2(1)(2)21()d()0LftFsffs ()()()1100n nnnft fffs 如果 ，該定理也要修正成00()d()tt(1)(2)()1011 1()0dn nnnknktLftFsfffsst （4）時域的位移定理若 f(t)的拉氏變換為 F(s)，對任一正實(shí)數(shù) a，有* MERGEFORMAT (2-6)()()sLfteFAf(t a)為延遲時間 a 的函數(shù) f(t)，當(dāng) ta 時，f( t)0。（5）復(fù)域位移定理f(t)的拉氏變換為 F(s)。對任一常數(shù) a（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)） ，有* MERGEFORMAT (2-7)()tLefFs（6）初值定理若函數(shù) f(t)及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，則函數(shù) f(t)的初值為* MERGEFORMAT (2-8)0()lim()litsff即原函數(shù) f(t)在自變量 t 趨于零（從正向趨于零）時的極限值，取決于其象函數(shù) F(s)的自變量 s 趨于無窮大時 sF(s)的極限值。（7）終值定理若函數(shù) f(t)及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，并且除在原點(diǎn)處唯一的極點(diǎn)外，sF(s)在包含 j軸的右半 s 平面內(nèi)是解析的（這意味著當(dāng) t 時 f(t)趨于一個確定的值） ，則函數(shù) f(t)的的終值為* MERGEFORMAT (2-9)0lim()li()tsfF（8）卷積定理若 ，()()FsLft)()GsLgt則有* MERGEFORMAT (2-10)0()d()tfFsG4式中，積分 ，稱作 f(t)和 g(t)的卷積。0()d()tfgftg2. 用部分分式法求拉氏反變換的方法。解答：（1）F(s )無重極點(diǎn)的情況F(s)總是能展開為下面簡單的部分分式之和：* MERGEFORMAT (2-12() nKKBsFApssp11)式中 K1、K 2、 、K n 為待定系數(shù)（系數(shù) Ki 為常數(shù)，稱作極點(diǎn) sp i 上的留數(shù)） 。11()spBA22()sps* MERGEFORMAT ()()(1,)iii ispBBKinAA(2-12)式中 pi 為 A(s)0 的根， 。d()(iisp求得各系數(shù)后，則 F(s)可用部分分式表示* MERGEFORMAT (2-13)1()()nii iBAsp因 1iptiLes從而可求得 F(s)的原函數(shù)為* MERGEFORMAT (2-14)11()()()inptiiBftLFseA當(dāng) F(s)的某極點(diǎn)等于零，或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)時，同樣可用上述方法。注意，由于 f(t)是個實(shí)函數(shù)。若 p1 和 p2 是一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，那么相應(yīng)的系數(shù) K1 和 K2 也是共軛復(fù)數(shù)，只要求出 K1 或 K2 中的一個值，另一值即可得。（2）F(s )有重極點(diǎn)的情況假設(shè) F(s)有 r 個重極點(diǎn) p1，其余極點(diǎn)均不相同，則51112 12()()()()rnrn nrrrrBsBsFAappKKKsssspsp 式中 K11、K 12、K 1r 的求法如下：* MERGEFORMAT (2-11111221311()d)(!d()()!rsprsprsprrr spFsKFs15)其余系數(shù) Kr 1、K r 2、 、K n 的求法與第一種情況所述的方法相同，即()() 1,2,)jj jspjBFsrAn 求得所有的待定系數(shù)后，F(xiàn)(s)的反變換為 112112()!()! nrr ptptptptrrrftLsttKeKee 3. 用拉氏變換求解微分方程的步驟。解答：用拉氏變換解線性常微分方程，首先通過拉氏變換將常微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程，進(jìn)而解出象函數(shù)，最后由拉氏反變換求得常微分方程的解。習(xí) 題（1） ()51cos3)ftt解：利用拉氏變化的線性疊加特性 22545()()()s3(9)sFsLfttLt（2） 0.5cos1te解法 1：利用 cos10t 的拉氏變換結(jié)果和復(fù)數(shù)域位移定理0.5220.50.5()()s()11t ssFsLft解法 2：直接按定義并與 cost的拉氏變換進(jìn)行比較60.5 (0.5)022()()cos1dcos1d. 5tst stFsLftete解法 3：直接按定義求解 0.5 10(0.5)(.1)(0.51)(0.51)(0.51) 00()cosd(d22.tstjtjtstsjt sjtsjtsjtFsLfteeeesjs 220.5.()115jss解法 4：直接套用教材表 2-1 中第 14 項(xiàng)結(jié)果0.522.()()cos1(05)0tFsLftes（3） （用和角公式展開）sin)3ftt解法 1：利用和角公式展開，然后利用拉氏變換的線性疊加性 13()si5)sicos5insi5cos32ftttttt所以 2235(in22()sFLfttLt 解法 2：直接利用定義求解，令 ，則有()sin5)si5()31fttt15t（1）()150 1515151500nsinsi()i()si()sstss s sFLf ededee e 而 （2）20in()sd7（3）5 (5)(5)151 1100 005515(5)(5)11 200 0sin() ddd22 )2sin1sjjssj sjsjjjjsjsjsedeeeeej jsejj 15 152001522cosinco53ss je 將（3）式和（2）式代入（1）得 235()()sFsLft【注】本題不可直接利用延時定理，因?yàn)楹瘮?shù)不是延時函數(shù)，如果使用了延時定理，則將改變定義域。（4） ()natfte解法 1： ，利用復(fù)域平移特性得1!,23nLs 1!() ,23()natnFLes解法 2：()000ddatatatssatLe s利用復(fù)域微分特性 得()()11,23nnFtfs 1d!()() ,23()nnat naFsLes 解法 3：直接按定義并與 tn 的拉氏變換進(jìn)行比較()100!()()dd,)natssatnFsLft 解法 4：直接按定義求解8() ()000()() ()1001() 10 1dddddnatnatsnsat nsatst sat stnnsat ntLeeeeteLes 得到遞推關(guān)系如下： 11210 2111()nat natt tat at atLeLesLeLLsssas所以 1!()natn解法 5：直接套用教材表 2-1 中第 9 項(xiàng)結(jié)果1!()natnLes（1） 3)2tftte解：設(shè) t0 時，f(t)0利用拉氏變換的線性特性 3324432 13!1()()261854()tFsLfttLessss（2） 33()coin(0)tttfteet解：利用拉氏變換的性質(zhì)：線性性質(zhì)，復(fù)域平移特性 3 34227654328()()cossin!1)()169875493509018012tt tFsLftLesssss s（3） 2()51)(tfttte9解：設(shè) t0 時，f(t)0。利用拉氏變換線性特性、延時特性和復(fù)域平移特性 222223()()51()(1)5()()ttt tsFsLftLetees【注】本題不可對第二項(xiàng)(t1) 2e2t 采用如下方法：因?yàn)?，利用時域位移定理得 ，再利用復(fù)域平移定理得23Lts23(1)sLte。這樣計(jì)算的結(jié)果是錯誤的，原因在于：在利用時域位移2(2)3(1)tte定理時，將(t 1)2 的定義域變成了 ，而原題中(t 1)2 的定義域?yàn)?(1)0tf。換句話說，這里 (t1)2 并不是 t2 的延時函數(shù)。1)0)ttf（4） sin(),tftt解法 1： ，如圖 2-2 所示。i()1tA所以 222()sini()1sFsLftLtee 2 3 4 5 6-1-0.500.51tf(t)圖題 2-2sin(t) sin(t)1( t)解法 2：直接按定義求解。10000()() () ()00 00() ()1()dsindd211122(1()2(2)st st jtjtstjst jst jst jstjs jsjsFsLffeeeejjeejjsjjs 2 2222 )()()11sincos()11jjjj