GH 哈代的數(shù)學(xué)觀及其當(dāng)代數(shù)學(xué)教育意義——兼論我國中小學(xué)《 國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》 的修改與完善.doc

1.哈代的數(shù)學(xué)觀及其當(dāng)代數(shù)學(xué)教育意義1兼論我國中小學(xué)國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的修改與完善徐文彬，楊玉東（1.南京師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院，江蘇南京210097；2.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海200062）摘要：辨證地理解.哈代的數(shù)學(xué)觀，對當(dāng)代數(shù)學(xué)教育和修訂我國的國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)極具啟發(fā)意義。關(guān)于數(shù)學(xué)對象，哈代持極端的實在論觀點，它有利于理解數(shù)學(xué)“主觀的”客觀實在性；關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)，哈代持極端的完美主義，它有利于理解“為數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)”的理性追求和理性批判精神；關(guān)于數(shù)學(xué)證明，哈代持“內(nèi)部的”和“外部的”兩種證明的觀點，它有利于理解數(shù)學(xué)的“整體觀”和“文化功能”。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)的對象，數(shù)學(xué)的本質(zhì)，數(shù)學(xué)證明，國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中圖分類號：G423文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A.哈代1877年2月7日生于英國薩里郡克蘭利地區(qū)的一個教師家庭，1947年12月1日病逝于劍橋大學(xué)他是數(shù)學(xué)史上“劍橋分析學(xué)派”后期以分析為目的的“純數(shù)學(xué)學(xué)派”的領(lǐng)袖人物之一1他在解析數(shù)論、調(diào)和分析和函數(shù)論等諸多領(lǐng)域都做出了巨大貢獻(xiàn)；而且，經(jīng)由他創(chuàng)立的一些重要數(shù)學(xué)方法2現(xiàn)已滲透到其他數(shù)學(xué)分支或領(lǐng)域不僅如此，哈代還對數(shù)學(xué)的對象、本質(zhì)、意義和價值等進(jìn)行了深入、細(xì)致的研究，對從19世紀(jì)后期開始的數(shù)學(xué)純粹化趨勢起到了推波助瀾的作用這種數(shù)學(xué)純粹化趨勢及其結(jié)果不僅影響了20世紀(jì)中后期的世界數(shù)學(xué)教育，而且還對當(dāng)今世界的數(shù)學(xué)教育改革發(fā)揮著巨大的潛在作用因此，要理解20世紀(jì)上半葉作為一種文化現(xiàn)象的純數(shù)學(xué)的發(fā)展對數(shù)學(xué)教育的影響3，研究哈代的數(shù)學(xué)觀及其當(dāng)代數(shù)學(xué)教育意義是不無裨益的關(guān)于數(shù)學(xué)的對象關(guān)于數(shù)學(xué)的對象，哈代所持有的觀點是極端的實在論或柏拉圖主義者的觀念4他認(rèn)為，“數(shù)學(xué)實在（即數(shù)學(xué)的對象）存在于我們之外，我們的作用是去發(fā)現(xiàn)或觀察它，那些被夸張地描述成我們的創(chuàng)造物的定理，僅僅是我們觀察的記錄”5他甚至還認(rèn)為，“當(dāng)我們知道了一個定理，我們就是知道了某種東西，某種客觀的東西；當(dāng)我們相信了一個定理，我們就是相信了某種東西；至于我們相信的東西究竟正確與否，那是無所謂的”6而恩格斯則認(rèn)為，“純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系，所以是非常現(xiàn)實的材基金項目：全國教育科學(xué)“十五”規(guī)劃重點課題（BHA010079）作者簡介：徐文彬（1966），男，安徽宣城人，南京師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院副教授，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究。2料”7由此可見，哈代的觀點與恩格斯的看法不無一致之處：（純）數(shù)學(xué)的對象是外在于我們的（現(xiàn)實世界的）存在，即事物的量任何事物都是質(zhì)與量的統(tǒng)一體，既沒有離開量的質(zhì)，也沒有脫離質(zhì)的量；如同事物的質(zhì)一樣，事物的量也是豐富和多樣的而這種豐富多樣的事物的量正是數(shù)學(xué)的對象從數(shù)學(xué)發(fā)展史的角度來看，隨著人類數(shù)學(xué)思維水平的不斷提升，數(shù)學(xué)對事物的量的揭示經(jīng)歷了以下幾個階段：名數(shù)、常數(shù)、變數(shù)和關(guān)系結(jié)構(gòu)（至于“空間形式和數(shù)量關(guān)系”，本質(zhì)上它們都屬于事物的量，是量的兩種不同表現(xiàn)形式）8名數(shù)（約公元前3000年以前），與具體事物的質(zhì)緊密相連，具有多少的意思，即“具體的不同質(zhì)的表達(dá)多寡的（數(shù)）概念”9常數(shù)（約公元前3000年16世紀(jì)），與具體事物的質(zhì)相脫離，表示單個的數(shù)，具有多少的含義懷特海曾高度評價“常數(shù)”概念在人類思想史上的重大意義：“首先注意到7條魚和7天的共同點的人必然使（人類）思想史前進(jìn)了一大步他是第一個具有純數(shù)學(xué)觀念的人”10變數(shù)（1718世紀(jì)），表示一類的數(shù)或一定取值范圍內(nèi)的數(shù)及其關(guān)系對此，恩格斯給予了極其肯定和積極的評價：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)有了變數(shù)，運動進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了”11關(guān)系結(jié)構(gòu)（19世紀(jì)），是對變數(shù)及其關(guān)系的揚棄，否定了其中的“數(shù)”，而保留了具有一定性質(zhì)的特定“關(guān)系”，即結(jié)構(gòu)12布爾巴基學(xué)派對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的揭示，充分體現(xiàn)了該階段數(shù)學(xué)的“自由的”創(chuàng)造性，而“希爾伯特計劃”13則充滿著對這種自由創(chuàng)造的自信，可是歌德爾等人的“數(shù)學(xué)結(jié)論”14卻很可能反映了對這種自由創(chuàng)造的某種限制或約束或界限那么，純數(shù)學(xué)的對象是否就是“非?，F(xiàn)實的材料”呢？關(guān)于這個問題，哈代認(rèn)為，數(shù)學(xué)的對象是一種獨立的客觀實在，因此我們只能“觀察”與“記錄”，而不能創(chuàng)造與發(fā)明其實，任何理論學(xué)科（比如，物理學(xué)、宇宙學(xué)、社會學(xué)、歷史學(xué)、教育學(xué)，甚至課程理論與教學(xué)理論等），都不是以“非?，F(xiàn)實的材料”為其直接的研究對象，而是以“思想事物（雖然它們是現(xiàn)實的摹寫）”15為其直接的研究對象數(shù)學(xué)也絲毫不例外因此，數(shù)學(xué)的對象就有兩個：一個是直接對象，即像“數(shù)”、“序”、“空間”、“關(guān)系”、“結(jié)構(gòu)”等思想事物，另一個則是這些思想事物所反映的現(xiàn)實事物的量，即間接對象因為如同所有的其他學(xué)科一樣，數(shù)學(xué)的最終目的也不是研究這些思想事物，而是要反映現(xiàn)實事物的某個側(cè)面或某類特性（就數(shù)學(xué)而言，這個側(cè)面或這類特性就是客觀現(xiàn)實事物的質(zhì)的量）由此可見，哈代混淆了數(shù)學(xué)的直接對象與間接對象，把間接對象視為直接對象，因而就必然得出：我們只能觀察與記錄數(shù)學(xué)對象、而不能創(chuàng)造與發(fā)明它們事實上，“思想事物”都是我們?nèi)祟惖膭?chuàng)造與發(fā)明，只是有些思想事物一經(jīng)創(chuàng)造與發(fā)明，就獲得了某種“外在于我們的”特性，即（“主觀的”）客觀實在性，而源自這些思想事物的其他思想事物仿佛就成了“僅僅是我們觀察的記錄”：“也許可以說，一個數(shù)系是人的創(chuàng)造或發(fā)明但是奇數(shù)和偶數(shù)、可除數(shù)和素數(shù)之間的區(qū)別是一個發(fā)現(xiàn)：一旦數(shù)系存在，作為構(gòu)成這個系統(tǒng)的（意想不到的）結(jié)果，客觀上就有這些獨特數(shù)字集合；而它們的性質(zhì)就會被人發(fā)現(xiàn)”163數(shù)學(xué)，作為學(xué)校教育課程的數(shù)學(xué)，在某種程度上肯定是“外在于我們的”學(xué)生甚至教師的因而這種數(shù)學(xué)也就必然具有上述所謂的“主觀的”客觀實在性所以，正是在這個意義上，我們完全贊同并欣賞荷蘭學(xué)者弗賴登塔爾所倡導(dǎo)的關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“再創(chuàng)造”或“數(shù)學(xué)化”理論但是，這是研究的學(xué)術(shù)結(jié)論，而非教學(xué)的實踐結(jié)果因此，這里的關(guān)鍵問題不是要不要“再創(chuàng)造”或“數(shù)學(xué)化”，而是如何進(jìn)行“再創(chuàng)造”或“數(shù)學(xué)化”而這正是數(shù)學(xué)教學(xué)論所要著力思考與解決的問題弗賴登塔爾對此所給出的答案是，“數(shù)學(xué)的根源是常識，人們通過自己的實踐把這些常識通過反思，組成起來，不斷地進(jìn)行系統(tǒng)化（橫向的或縱向的）”17，以及“有指導(dǎo)的”和“結(jié)合現(xiàn)實”的“再創(chuàng)造”18我國中、小學(xué)新的國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)都在不同程度上吸收了弗賴登塔爾的思想，十分強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)化”過程：“經(jīng)歷（感受）、體驗（體會）和探索”19，“經(jīng)歷模仿、發(fā)現(xiàn)探索、反應(yīng)認(rèn)同和領(lǐng)悟內(nèi)化”20，但是卻都沒有設(shè)計相對應(yīng)的范例，只給出了內(nèi)容（參考）案例這顯然需要改進(jìn)此外，作為“數(shù)學(xué)化”理論的前提之一，即生物學(xué)上的“個體發(fā)展過程是群體發(fā)展過程的重現(xiàn)”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的體現(xiàn)“數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程也應(yīng)在個人身上重現(xiàn)”是否真的成立？還僅僅是一個假說或猜測！即使成立，它也只具有發(fā)生學(xué)和統(tǒng)計學(xué)的意義倒是哈代的“僅僅是我們觀察的記錄”對“數(shù)學(xué)化”之后具有一定的啟發(fā)意義數(shù)學(xué)對象的“主觀的”客觀實在性應(yīng)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)中有所反映也就是說，我們新的國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)過于強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的間接對象，而忽視了它的直接對象我們認(rèn)為，在這個問題上，每一次數(shù)學(xué)課程改革都應(yīng)該尋求或重新尋找數(shù)學(xué)的直接對象和間接對象兩者間的和諧關(guān)系，在它們之間保持必要的張力關(guān)于數(shù)學(xué)的本質(zhì)哈代認(rèn)為，純數(shù)學(xué)是無用和無害的，是“真正的”和“好的”數(shù)學(xué)，而應(yīng)用數(shù)學(xué)則是有用和有害的，因而是“不足稱道的”或“壞的”數(shù)學(xué)其實，純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)之間的必要張力是數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的不竭動力和源泉哈代之所以有如此看法，是與他關(guān)于數(shù)學(xué)的本質(zhì)、目的、意義和價值的觀點分不開的首先，他認(rèn)為，“數(shù)學(xué)家跟畫家或詩人一樣，也是造型家，如果說數(shù)學(xué)家的造型比畫家和詩人的造型更能經(jīng)受時間的考驗，這是因為前者是由概念塑造的畫家造型用形與色，詩人則用語言一幅畫可以表示一種意境，但畫意通常是老生常談，無足輕重，相比之下詩意則重要得多然而，詩意的重要性往往言過其實，這是豪斯曼（18561936，英國古典文學(xué)家和詩人）堅定不移的看法，他說：我無法確信竟然存在詩意這樣的東西詩歌不在于表達(dá)了什么，而在于怎樣表達(dá)”“另一方面，數(shù)學(xué)家除了概念之外不與任何東西打交道，因此數(shù)學(xué)家的造型可能更持久因為概念不會像語言那樣快地變成陳詞濫調(diào)”“數(shù)學(xué)家的造型與畫家或詩人的造型一樣，必須美；概念也像色彩或語言一樣，必須和諧一致美是首要的標(biāo)準(zhǔn)；不美的數(shù)學(xué)在世界上是找不到容身之地的”21其次，他還認(rèn)為，“最好的數(shù)學(xué)既是美的，同時又是嚴(yán)肅的”22，即數(shù)學(xué)定理要具有4一定的普遍性和深刻性，也即，“數(shù)學(xué)定理的嚴(yán)肅性在于它所涉及的那些數(shù)學(xué)概念的意義，（）而一個數(shù)學(xué)概念有意義，如果它同形形色色的其他數(shù)學(xué)概念有一種自然而鮮明的聯(lián)系因此，嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)定理，即是把有意義的概念聯(lián)系起來的定理，很可能在數(shù)學(xué)本身以及其他科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)產(chǎn)生重大進(jìn)展”23應(yīng)該說，這一點對我們選擇什么樣的數(shù)學(xué)材料以構(gòu)成課程內(nèi)容、以及怎樣編排這些材料以形成教材等，都具有一定的借鑒或指導(dǎo)意義關(guān)于數(shù)學(xué)美，哈代認(rèn)為，并不像人們普遍認(rèn)同的那樣，很少有人能夠欣賞它其實，“現(xiàn)在也許很難找到一個受過教育的人對數(shù)學(xué)美的魅力全然無動于衷”24，不僅如此，而且“大多數(shù)人都能欣賞一點數(shù)學(xué)，正如多數(shù)人能欣賞一支令人愉快的曲調(diào)一樣對數(shù)學(xué)真正有興趣的人很可能比對音樂有興趣的人要多表面看來可能與此相反，但這是很容易理解的音樂可用來激發(fā)群眾的情緒，而數(shù)學(xué)卻不能；音樂上缺乏才能是公認(rèn)為不太體面的事（這無疑是正確的），而大多數(shù)人一聽到數(shù)學(xué)就害怕，所以他們隨時都會由衷地強(qiáng)調(diào)自己在數(shù)學(xué)上不高明”25就“對數(shù)學(xué)美的欣賞”而言，哈代的看法的確反映出他對普通人心理的敏銳感悟和深刻洞察26由此可以看出，我們的數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)在有意或無意之間表現(xiàn)出與哈代看法的某種程度的一致性：“人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)”、“人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)”和“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”27然而，龐加萊卻認(rèn)為，數(shù)學(xué)的本質(zhì)命系“三重目的”，即“數(shù)學(xué)的目標(biāo)和意義有三個方面：首先，數(shù)學(xué)提供了研究自然界的有力工具；其次，數(shù)學(xué)的研究有重要的哲學(xué)意義；再則，我敢冒昧地說，數(shù)學(xué)的探索還有深刻的美學(xué)原則毫無疑問，數(shù)學(xué)的發(fā)展充分地激勵著哲學(xué)家們?nèi)ヌ剿鲾?shù)量、空間和時間的概念因此，我毫不猶豫地認(rèn)為，任何一個人要想有教養(yǎng)，就要去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，即使是那些在物理學(xué)或其他學(xué)科中暫無任何應(yīng)用的數(shù)學(xué)理論，也是值得去學(xué)習(xí)和探索的”28由此可見，哈代關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的看法是極端的完美主義，而龐加萊的看法則顯得更為全面和合理但是，哈代的這種“為藝術(shù)而藝術(shù)”或“為數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)”的精神與傾向?qū)τ谂懦龜?shù)學(xué)及數(shù)學(xué)研究中的功利主義和實用主義觀點、推動20世紀(jì)上半葉純數(shù)學(xué)的獨立發(fā)展，起到了積極的作用不僅如此，我們還認(rèn)為，在實用主義（為了考試、職業(yè)、利益、權(quán)力）泛濫的當(dāng)代中國數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域急需引進(jìn)并培植一種哈代式的“為數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)”的精神與傾向在這灼熱的實用主義氛圍中，它無疑是一副涼爽的清潔劑！當(dāng)然，如果數(shù)學(xué)的“重要的哲學(xué)意義”能夠貫徹數(shù)學(xué)教育教學(xué)的始終，那么，通過數(shù)學(xué)，我們就不僅能夠“形成理性思維”29的基礎(chǔ)，而且還能夠養(yǎng)成追尋理性并批判、反思理性的哲學(xué)精神！我們認(rèn)為，所有這一切都應(yīng)該在新課程標(biāo)準(zhǔn)中有所體現(xiàn)，并切實落實于教材和課程與教學(xué)的評價之中關(guān)于數(shù)學(xué)證明關(guān)于數(shù)學(xué)證明，G.H.哈代認(rèn)為，它至少有兩種不同含義：首先是數(shù)學(xué)系統(tǒng)內(nèi)部的證明（demonstration），其次是數(shù)學(xué)系統(tǒng)外部的證明（proof）30我們認(rèn)為，前者意味著某種5數(shù)學(xué)能力，而后者則意味著某種數(shù)學(xué)智慧因為數(shù)學(xué)系統(tǒng)外部的證明是以數(shù)學(xué)內(nèi)部的所有證明為其研究對象，并追求一種無矛盾的信念；盡管這種追求的結(jié)果往往都是一些否定性的結(jié)論，比如，歌德爾不完全性定理、歐幾里得第五公設(shè)的不可證明或獨立性及非歐幾何的確立這好象又是一種“肯定”性的結(jié)論，等等為了便于理解，我們試做一個不太恰當(dāng)?shù)谋扔鳎喝绻皵?shù)學(xué)如下棋”，那么“單車難破士象全”就是一個下棋系統(tǒng)外部證明的結(jié)論前者是數(shù)學(xué)的證明，而后者則是關(guān)于數(shù)學(xué)的證明；前者是內(nèi)在的，而后者則是外在的；前者是數(shù)學(xué)研究，而后者則是研究數(shù)學(xué)“注重聯(lián)系，提高（學(xué)生）對數(shù)學(xué)整體的認(rèn)識”是普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）中的教學(xué)建議之一它不僅強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的發(fā)展既有內(nèi)在的需要、又有外在的推動，而且還認(rèn)為，在教學(xué)中，“要注重數(shù)學(xué)的不同分支和不同內(nèi)容之間的聯(lián)系，數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系”31但是，我們認(rèn)為，如果要想真正提高學(xué)生（甚至教師）對數(shù)學(xué)整體的認(rèn)識，只靠上述“三重聯(lián)系”是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還非得考慮哈代所謂的“數(shù)學(xué)系統(tǒng)的外部證明”不可因為“任何水平的數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的無疑是使學(xué)生對他所要處理的數(shù)學(xué)對象有一個可靠的直覺”32否則，“對數(shù)學(xué)整體的認(rèn)識”最多只能停留在“某種數(shù)學(xué)能力”的水平上，而不可能達(dá)到“某種數(shù)學(xué)智慧”的層次此外，包括“了解數(shù)學(xué)真理的相對性”在內(nèi)的“正確的數(shù)學(xué)觀”（這些都是普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）基本理念中的“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值”和滲透于各模塊之中的“數(shù)學(xué)文化內(nèi)容”的有機(jī)構(gòu)成）的“逐步形成”是非得有這種數(shù)學(xué)智慧的“攪和”或引領(lǐng)不可這是毫無疑問的至于如何在課標(biāo)中陳述、如何在教材中呈現(xiàn)、以及如何在課程、教學(xué)和評價中貫徹，都是一些很值得我們做專題研究的G.H.哈代關(guān)于數(shù)學(xué)證明的認(rèn)識與他關(guān)于數(shù)學(xué)的對象和數(shù)學(xué)的本質(zhì)的認(rèn)識不無一致：“我本人常常認(rèn)為數(shù)學(xué)家首先是一個觀察家，凝視著遠(yuǎn)處的山脈，寫下觀察的記錄他的目的是盡可能清楚地識別出不同的山峰，并向他人報告有一些山峰他很容易就能識別，其他有些山峰就顯得模糊不清山峰A他看得很清楚，山峰B卻只能瞥見隱約的輪廓終于他辨認(rèn)出一條山脊，由A出發(fā)延伸到頭，在B處達(dá)到頂峰現(xiàn)在B被固定在他的視野，從這一點出發(fā)他又可以做出進(jìn)一步的發(fā)現(xiàn)在其他情形，他也許能識別出一條消失在遠(yuǎn)方的山脊，并猜測它通向一座隱沒在云海中或地平線下的山峰但當(dāng)他看見一座山峰，他相信它在那兒無非是因為他看見了它如果他希望別的人也能看見這座山峰，他就直接指出它來，或者通過那條幫助他自己認(rèn)出山峰的山脊來指點當(dāng)他的學(xué)生也看見了這座山峰，那么他的研究，他的論證與證明也就大功告成”33我們認(rèn)為，在這個過程中，還必定充滿著對數(shù)學(xué)美、以及數(shù)學(xué)的普遍性和深刻性的追求與欣賞關(guān)于上述比喻，正如G.H.哈代自己所言：如果我們把它推向極端，就會得出非常矛盾的結(jié)論嚴(yán)格地說，并沒有數(shù)學(xué)證明這樣的東西但是，這個比喻卻能賦予我們?nèi)齻€方面的想象一是對數(shù)學(xué)教學(xué)過程的想象，二是對數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程的很好近似，三是對數(shù)學(xué)外部6證明的粗略圖像34從某種角度來看，這“三種想象”正是我們新課程標(biāo)準(zhǔn)及其指導(dǎo)下的教材編寫、課堂教學(xué)、課程與教學(xué)評價等所需要的指引和方向批判地理解G.H.哈代關(guān)于數(shù)學(xué)的對象、數(shù)學(xué)的本質(zhì)和數(shù)學(xué)證明的認(rèn)識，對于重新審視我們這個時代的數(shù)學(xué)教育研究和當(dāng)前的數(shù)學(xué)課程改革，具有非常積極的意義。從某種意義上來說，這個時代并不缺少新念頭、新理念、新思想、新方法和新理論，所缺少的是如何從不同角度吸收大數(shù)學(xué)家們的思想的合理性、所缺少的是類似于G.H.哈代擁有的“為數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)”或“為藝術(shù)而藝術(shù)”的一以貫之的精神、思想和踐行注釋：1另一個領(lǐng)袖人物是利特爾伍德；“劍橋分析學(xué)派”前期的“數(shù)學(xué)物理學(xué)派”主要以分析為工具，其代表人物是巴貝奇和麥克斯韋.2如，哈代元法、哈代定理和哈代空間等.3影響或促進(jìn)數(shù)學(xué)教育發(fā)展的主要因素，除了數(shù)學(xué)本身之外，還有社會、政治、經(jīng)濟(jì)、科技、文化，以及教育方面等.4這是人類思想史上最著名的哲學(xué)爭論之一，爭論的另一方是唯名論.唯名論者僅僅承認(rèn)殊相的存在，而實在論或柏拉圖主義者還承認(rèn)共相的實在性.5（英）.哈代.一個數(shù)學(xué)家的辯白M.李文林等編譯.南京：江蘇教育出版社，1996.P47.括號內(nèi)的文字由引者所加.6（英）.哈代.一個數(shù)學(xué)家的辯白M.李文林等編譯.南京：江蘇教育出版社，1996.P67.7恩格斯.反杜林論M.北京：人民出版社，1970.P35.8可參見：林夏水.數(shù)學(xué)的對象與性質(zhì)M.北京：社會科學(xué)文獻(xiàn)出版社，1994.括號內(nèi)的文字由引者所加.9（美）.丹齊爾.數(shù)科學(xué)的語言M.蘇仲湘譯.北京：商務(wù)印書館，1985.P5.括號內(nèi)的文字由引者所加.10（英）.懷特海.科學(xué)與近代世界M.北京：商務(wù)印書館，1989.P20.括號內(nèi)的文字由引者所加.11恩格斯.自然辯證法M.北京：人民出版社，1971.P236.12可參見：胡作玄（編著）.布爾巴基學(xué)派的興衰現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的一條主線M.上海：知識出版社，1984；布爾巴基等.數(shù)學(xué)的建筑M.胡作玄等編譯.南京：江蘇教育出版社，1999.13“希爾伯特計劃”是指，用有窮方法去論證具有無窮對象域的古典數(shù)學(xué)的形式系統(tǒng)不可能導(dǎo)致邏輯矛盾.具體來說就是，為了證明整個數(shù)學(xué)的和諧性或一致性或無矛盾，首先把古典數(shù)學(xué)的某一基本理論嚴(yán)格形式化，再加上邏輯演算，并把這兩部分綜合起來，整理為一個形7式公理系統(tǒng)，然后再進(jìn)一步形式化，構(gòu)成一個相當(dāng)于以上公理系統(tǒng)的形式語言系統(tǒng)；其次從不假定實無窮的有窮觀點出發(fā)，建立一個邏輯系統(tǒng)作為研究上述形式語言系統(tǒng)的工具（由于研究形式語言系統(tǒng)的邏輯性質(zhì)需要用到數(shù)論，因此也要建立一個不假定實無窮的初等數(shù)論.這樣建立起來的邏輯和數(shù)論就是通常我們所謂的“元數(shù)學(xué)”或“有窮邏輯”）；最后運用元數(shù)學(xué)來研究形式語言系統(tǒng)的邏輯性質(zhì)，特別是其中的證明，這也就是所謂的“證明論”（其目的是論證某一形式語言系統(tǒng)不包含邏輯矛盾.如果這個目的達(dá)到了，我們就可以保證那個形式語言系統(tǒng)所表達(dá)的數(shù)學(xué)理論是不會產(chǎn)生矛盾的）.14歌德