八年級下冊數(shù)學(xué)勾股定理練習題

精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨家原創(chuàng) 1 / 23 八年級下冊數(shù)學(xué)勾股定理練習題 一、基礎(chǔ)達標 : 1. 下列說法正確的是 a、 b、 c 是 三邊，則 a、 b、 c 是 三邊，則 a、b、 c 是 三邊， ?A?90?，則 a、b、 c 是 三邊， ?C?90?，則 b、 c， 2. 三條邊長分別是 a、則下列各式成立的是 A a?b?a?b?a?b?a2?b2? 如果 的兩直角邊長分別為 1， 2k，那么它的斜邊長是 A、 2k+1C、 1D、 . 已知 a， b， c 為 滿足 0，則它的形狀為 直角三角形中一直角邊的長為 9，另兩邊為連續(xù)自然數(shù)，則直角三角形的周長為 A 121B 120 C 90D不能確定 ， 5， 13，高 12，則 周長為 A 42B 32C 4或 D 3 或 3. 直角三角形的面積為 S，斜邊上的中線長為 d，則這個三角形周長為 精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨家原創(chuàng) 2 / 23 2d d 8、在平面直角坐標系中，已知點 P 的坐標是，則 A： 3B： 4C： 5D： 9若 ， 56 4,則 A 1 B. 10已知 a、 b、 c 是三角形的三邊長， 如果滿足 2c?10?0 則三角形的形狀是 A：底與邊不相等的等腰三角形 B：等邊三角形 C：鈍角三角形 D：直角三角形 11斜邊的邊長為 17條直角邊長為 8 12. 等腰三角形的腰長為 13，底邊長為 10，則頂角的平分線為 . 13. 一個直角三角形的三邊長的平方和為200，則斜邊長為 14一個三角形三邊之比是 10:8:6，則按角分類它是 三角形 15. 一個三角形的三邊之比為51213 ，它的周長為 60，則它的面積是 . 16. 在 ，斜邊 ，則 _ 17若三角形的三個內(nèi)角的比是 1:2:3，最短邊長為1長邊長為 精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨家原創(chuàng) 3 / 23 2這個三角形三個角度數(shù)分別是，另外一邊的平方 是 18如圖，已知 ?C?90?， 5， 2，以直角邊 B 這個半圓的面積是 19 一長方形的一邊長為 3積為 12么它的一條對角線長 2 C A 是 二、綜合發(fā)展 : 1如圖，一個高 4m、寬 3要在對角線的頂點間加固一個木條，求木條的長 2、有一個直角三角形紙片，兩直角邊 C=8將直角邊 角平分線 疊，使它落在斜邊與 合，你能求出 52025個三角形最長邊上的高是多少？ 4如圖，要修建一個育苗棚，棚高 h=3m，棚寬 a=4m，精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨家原創(chuàng) 4 / 23 棚的長為 12m，現(xiàn)要在棚頂上覆蓋塑料薄膜，試求需要多少平方米塑料薄膜？ B E A 5如圖，有一只小鳥在一棵高 13m 的大樹樹梢上捉蟲子，它的伙伴在離該樹 12m，高 8立刻以 2m/s 的速度飛向小樹樹梢，它最短要飛多遠？這只小鳥至少幾秒才可能到達小樹和伙伴在一起？ 15 “ 中華人民共和國道路交通管理條例 ” 規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過 70km/一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢 測儀正前方 30m 處，過了 2s 后，測得小汽車與車速檢測儀間距離為 50m，這輛小汽車超速了嗎？ 小汽車 小汽車 觀測點 答案 : 一、基礎(chǔ)達標 1. 解析 :利用勾股定理正確書寫三角形三邊關(guān)系的關(guān)鍵是看清誰是直角 精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨家原創(chuàng) 5 / 23 答案 : D. 2. 解析：本題考察三角形的三邊關(guān)系和勾股定理 . 答案： B. 3 解析：設(shè)另一條直角邊為 x，則斜邊為利用勾股定理可得方程，可以求出 x然 后再求它的周長 . 答 案： C 4解析：解決本題關(guān)鍵是要畫出圖形來，作圖時應(yīng)注意高 形的外部，有兩種情況，分別求解 . 答案： C. 222 5 解析 : 勾股定理得到： 17?8?15，另一條直角邊是15， 1 ?15?8?60 所求直角三角形面積為 2答案 :0 6 解析：本題目主要是強調(diào)直角三角形中直角對的邊是最長邊 ,反過來也是成立 答案 :a2?b2?c， 直角，斜，直角 7 解析 :本題由邊長之比是 10:8:可知滿足勾股定理，即是直角三角形答案：直角 解析：由三角形的內(nèi)角和定理知三個角的度數(shù) ,斷定是直角三角形答案： 30?、 60?、 精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨家原創(chuàng) 6 / 23 90?， 3 222222 9 解析：由勾股定理知道： B?5?12?9，所以以直角邊 為直徑的半圓面積為 答案： 10 解析 :長方形面積長 寬，即 12 長 3 ，長 ?4，所以一條對角線長為 5 答案 ： 5 二、綜合發(fā)展 11 解析：木條長的平方 =門高長的平方 +門寬長的平方 答案： 5m 222 12解析：因為 15?20?25，所以這三角形是直角三角形，設(shè)最長邊上的高為 直角三角形面積關(guān)系，可得 1?15?20?1?25?x，x?12 答案： 12 2 13解析：透陽光最大面積是塑料薄膜的面積，需要求出它的另一邊的長是多少，可以借助 勾股定理求出 . 答案：在直 角三角形中，由勾股定理可得：直角三角精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨家原創(chuàng) 7 / 23 形的斜邊長為 5m, 2 所以矩形塑料薄膜的面積是： 520=100 14解析：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求斜邊的值是 13m，也就是兩樹樹梢之間的距離是 13m，兩再利用時間關(guān)系式求解 . 答案： 15解析：本題和 14題相似，可以求出 利用速度等于路程除以時間后比較 0 米，時間是 2s，可得速度是 20m/s=72km/h 70km/h 答案：這輛小汽車超速了 八年級下冊勾股定理全 章知識點和典型習題 一、基礎(chǔ)知識： 勾股定理 內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方； 表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為 a， b，斜邊為 c，那么 a2?b2?c 勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了 “ 勾三，股四，弦五 ” 形式的勾股定理，后來人們進一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 定理的證明 勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法 用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是 D 精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨家原創(chuàng) 8 / 23 H 圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變 E 根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理 b 常見方法如下： A c C B 1 方法一： 4S?正方形 4?簡可證 2 方法二： 四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個直角三 ba c a b b 品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨家原創(chuàng) 9 / 23 a a 角形的面積與小正方形面積的和為 S?4?ab?ab?c 大正方形面 2 積為 S?2a?2 B b 11 S 梯形 ?， S 梯形 ?2S?ab?簡得證 222 勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形 已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在 ?C?90? 精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨家原創(chuàng) 10 / 23 ，則 c ， b ， a 知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量 關(guān)系 可運用勾股定理解決一些實際問題 如果三角形三邊長 a， b， c 滿足 a2?b2?么這個三角形是直角三角形，其中 c 為斜邊 勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過 “ 數(shù)轉(zhuǎn)化為形 ” 來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和 a2?較長邊的平方 比較，若它們相等時，以 a， b， c 為三邊的三角形是直角三角形；若 a2?b2?，以 a， b， c 為三邊的三角形是鈍角三角形；若 a2?b2?，以 a， b， c 為三邊的三角形是銳角三角形； 定理中 a， b， c 及 a2?b2?是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長 a， b， c 滿足 a2?c2?么以 a， b， c 為三邊的三角形是直角三角形，但是 b 為斜邊 勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形 能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨家原創(chuàng) 11 / 23 股數(shù)，即 a2?b2?， a， b， c 為正整數(shù)時，稱 a， b， c 為一組勾股數(shù) 記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5； 6,8,10； 5,12,13； 7,24,25 等 用含字母的代數(shù)式表示 n 組勾股數(shù)： ,2n,； 2n?1,2n,2n?1m2?mn,m2?股定理的應(yīng)用 勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題在使用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運用勾股定理進行計算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進行求解 .勾股定理逆定理的應(yīng)用 勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論 C 勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個整體通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決常 B D 精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨家原創(chuàng) 12 / 23 見圖形： C A C A B D A 10、互逆命題的概念 如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。 二、經(jīng)典例題精講 題型一：直接考查勾股定理 例 ?C?90? 已知 ， 求 已知 7， 5，求 長分 析：直接應(yīng)用勾股定理 a2?b2?： 0 詳細解題步驟如下： 解：設(shè)正方形 品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨家原創(chuàng) 13 / 23 的邊長為 4a, 則 E=a,AF=a,a 在 ，D+=20 a 同理 a, 5a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 在 ， a+0a=25a=222 直角三角形，且 0. 注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習題。 題型四：利用勾股定理求線段長度 例題如圖 4，已知長方形 C=10邊 取一點 E，將 疊使點 D 恰好落在 上的點 F，求 解析：解題之前先弄清楚折疊中的不變量。精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨家原創(chuàng) 14 / 23 合理設(shè)元是 詳細解題過程如下： 解：根據(jù)題意得 t0, 0E 設(shè) CE= 則 F= x 在 由勾股定理得： F= 8+0， C 0 6=4 在 由勾股定理可得： E+ =x+64 16x+x=2+1x=3, 即 CE=：本題接下來還可以折痕的長度和求重疊部分的面積。 題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直 例題如圖 5，王師傅想要檢測桌子的表面 是否垂直與 測得 0000樣去驗證 2 2 2 2 2 2 2 2 2 精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨家原創(chuàng) 15 / 23 2 2 2 2 關(guān)鍵。 解析：由于實物一般比較大，長度不容易用直尺來方便測量。我們通常截取部分長度來驗證。如圖 4，矩形 截取 2 截取 結(jié) 量 如果 5,則 N=以 如果 MN=a15, 則 9+12=81+144=225, a225, 即9+12 a ，所以 A 不是直角。利用勾股定理解決實際問題 例題有一個傳感器控制的燈，安裝在門上方，何東西只要移至 5 米以內(nèi)，燈就自動打開，一個身高 的學(xué)生，要走到離門多遠的地方燈剛好打開？ 解析：首先要弄清楚人走過 去，是頭先距離燈 5 米還是腳先距離燈 5 米，可想而知應(yīng)該是頭先距離燈 5 米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖所示， A 點表示控制燈， CC 精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨家原創(chuàng) 16 / 23 頭距離 A 有 5 米時，求 長度。已知 ,所以 米，由勾股定理，可計算 米 米的時候燈剛好打開。 題型六：旋轉(zhuǎn)問題： 例 1、如圖， 斜邊，將 逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與 重合，若 ，求 的長。 變式 1：如圖， P 是等邊三角形 , 邊長 . 分析：利用旋轉(zhuǎn)變換，將 點 B 逆時針選擇 60 ，將三條線段集中到同一個三角形中， 根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個直角三角形 . 變式 2、如圖， 等腰直角三角形， 0 ，E、 F 是 的點，且 5 ， 試探究 的關(guān)系，并說明理由 . 題型七：關(guān)于翻折問題 例 1、如圖，矩形紙片 B=10C 上一點 ，將矩形紙片沿 疊，點 B 恰好落在 上的點 G 處，求 變式：如圖， 中線， 5 ，把 C 落在點 C 的位置， ,求 的長 . 精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨家原創(chuàng) 17 / 23 題型八：關(guān)于勾股定理在實際中的應(yīng)用： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 新人教版八年級下冊勾股定理典型例習題 一 、經(jīng)典例題精講 題型一：直接考查勾股定理 例 ， ?C?90? 已知 ， 求 已知 7， 5，求 長分析：直接應(yīng)用勾股定理 a2?b2?： 0 精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨家原創(chuàng) 18 / 23 解析：首先要弄清楚人走過去，是頭先距離燈 5 米還是腳先距離燈 5 米，可想而知應(yīng)該 是頭先距離燈 5 米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖所示， B CN 當頭距離 A 有 5 米時，求 長度。已知 所以 米， 由勾股定理，可計算 米 米的時候燈剛好打開。 題型六：旋轉(zhuǎn)問題： 例 1、如圖， 直角三角形， 逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與 重合，若 ，求 長。 變式 1：如圖， P 是等邊三角形 , 邊長 . 分析：利用旋轉(zhuǎn)變換，將 點 0 ，將三條線段集中到同一個三角形 中， 根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個直角三角形 . 變式 2、如圖， 等腰直角三角形， 0 ，E、 F 是 5 ， 試探究 說明理由 . 精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨家原創(chuàng) 19 / 23 題型七：關(guān)于翻折問題 例 1、如圖，矩形紙片 B=10矩形紙片沿 疊，點 B 恰好落在 處，求 長 . 變式：如圖， 中線， 5 ，把 C 落在點 C 的位置， ,求 的長 . 題型八：關(guān)于勾股定理在實際中的應(yīng)用： 例 1、如圖，公路 公路 P 點處交匯，點 60 米，點 A 到公路 0米，假使拖拉機行駛時， 周圍 100 米以內(nèi)會受到噪音影響，那么拖拉機在公路向行駛時，學(xué)校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知 拖拉機的速度是 18 千米 /小時，那么學(xué)校受到影響的時間 為多少？ 題型九：關(guān)于最短性問題 例 5 、如右圖 1 19，壁虎在一座底面半徑為 2 米，高為 4精品文檔 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨家原創(chuàng) 20 / 23 米的油罐的下底邊沿 A 處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的 B 處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲， 為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從 背后對害蟲進行突然襲擊結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐請問 壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲 ?變式：如圖為一棱長為 3所有面都分為 9 個 小正方 形，其邊長都是 1設(shè)一只螞蟻每秒爬行 2它從下地面 A 點沿表面爬行至右側(cè)面的 B 點，最少要花幾秒鐘？ 22 三、課后訓(xùn)練： 一、填空題 1如圖，在高 2 米，坡角為 30 的樓梯表面鋪地毯，地毯的長至少需 E 第 4 題圖 第 3 題圖 圖 2種盛飲料的圓柱形杯，測得內(nèi)部底面半徑為 高為 12 ，吸管放進杯里，杯口外面至少要露出 ，問吸管要做 。 3已知：如圖， ， C =0 ，點 O 為 2016 全新精品資料 全程指導(dǎo)寫作 獨家原創(chuàng) 21 / 23 的三條角平分線的交點， C ， C ， D、 E、 F 分別是垂足，且 點 O 到三邊 在一棵樹的 10 米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹